階次線性微分方程課件

1、階次線性微分方程PPT課件一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第七章微第七章微 分分 方方 程程第四節(jié)第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例階次線性微分方程PPT課件一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階微分方程的如下形式二階微分方程的如下形式y(tǒng) + p(x)y + q(x)y = f (x) 稱為二階線性微分方程稱為二階線性微分方程，簡稱簡稱二階線性方程二階線性方程. f (x) 稱為稱為自由項(xiàng)自由項(xiàng)，當(dāng)當(dāng) f (x) 0 時時，稱為稱為二階線性非齊次

2、二階線性非齊次微分方程微分方程， 簡稱簡稱二階線性非齊次方程二階線性非齊次方程. . 當(dāng)當(dāng) f (x) 恒為恒為 0 時時，稱為稱為二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程， 簡稱簡稱二階線性二階線性齊次方程齊次方程. 方程中方程中 p(x)、 q(x) 和和 f (x) 都是自變量都是自變量的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù). 這類方程的特點(diǎn)是：右邊是已知這類方程的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊每一項(xiàng)含函數(shù)或零，左邊每一項(xiàng)含 y 或或 y 或或 y， 且每項(xiàng)均為且每項(xiàng)均為 y 或或 y 或或 y 的一次項(xiàng)，的一次項(xiàng)， 例如例如 y + + xy + + y = x2 就就是二是二階線性非齊次方程

3、階線性非齊次方程. 而而 y + + x(y )2 + + y = x2 就不是二就不是二階線性方程階線性方程.階次線性微分方程PPT課件定理定理 1如果函數(shù)如果函數(shù) y1 與與 y2 是線性齊次方程的是線性齊次方程的兩個解，兩個解，y = C1 y1 + + C2 y2仍為該方程的解仍為該方程的解，證證因?yàn)橐驗(yàn)?y1 與與 y2 是方程是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個解，的兩個解，, 0)()(111 yxqyxpy與與. 0)()(222 yxqyxpy所以有所以有其中其中 C1， C2 是任意常數(shù)是任意常數(shù).則函數(shù)則函數(shù)階次線性微分方程PPT課件,2211yCy

4、Cy 又又因因?yàn)闉?2211yCyCy 于是有于是有y + p(x)y + q(x)y )()()(221122112211yCyCxqyCyCxpyCyC )()()()(22221111yxqyxpyCyxqyxpyC = 0所以所以 y = C1y1 + C2y2 是是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解的解.階次線性微分方程PPT課件定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y1(x) 和和 y2(x) 是定義在某區(qū)間是定義在某區(qū)間 I 上上的兩個函數(shù)，的兩個函數(shù)，k1 y1(x) + + k2 y2(x) = 0不失一般性，不失一般性，考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)，考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)，

5、我們往往采用另一種我們往往采用另一種簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)，簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)， 事實(shí)上，事實(shí)上，當(dāng)當(dāng) y1(x) 與與 y2(x) 線性相關(guān)時，有線性相關(guān)時，有 k1 y1 + + k2 y2 = 0， 其中其中 k1, k2 不全為不全為 0，, 012211kkyyk 則則設(shè)設(shè)如果存在兩個不全為如果存在兩個不全為 0 的常數(shù)的常數(shù) k1和和 k2， 使使在區(qū)間在區(qū)間 I 上恒成立上恒成立.則稱函數(shù)則稱函數(shù) y1(x) 與與 y2(x) 在區(qū)間在區(qū)間 上上是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱為的，否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).階次線性微分方程PPT課件即即 y1

6、與與 y2 之比為常數(shù)之比為常數(shù). 反之，若反之，若y1 與與 y2 之比為常數(shù)，之比為常數(shù)，,21 yy設(shè)設(shè)則則 y1 = y2，即，即 y1 - - y2 = 0. 所以所以 y1 與與 y2 線性相關(guān)線性相關(guān). 因此，如果兩個函數(shù)的比是常數(shù)，則它們因此，如果兩個函數(shù)的比是常數(shù)，則它們線性相關(guān)；線性相關(guān)；例如函例如函數(shù)數(shù) y1 = ex，y2 = e - -x，常數(shù)，常數(shù)，而而 21yy所以，它們是線所以，它們是線性無關(guān)的性無關(guān)的.如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān)如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān).階次線性微分方程PPT課件定理定理 2如果函數(shù)如果函數(shù) y1 與與 y2 是二階線性齊次方程是二階線性

7、齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個線性無關(guān)的特解，的兩個線性無關(guān)的特解，y = C1 y1 + C2 y2是該方程的通解，是該方程的通解，證證因?yàn)橐驗(yàn)?y1 與與 y2 是方程是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的的解，解， 所以，由定理所以，由定理 1 知知 y = C1 y1 + C2 y2 也是該方程的解也是該方程的解.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?y1 與與 y2 線性無關(guān)，即線性無關(guān)，即 y1 與與 y2 之比不為常數(shù)，之比不為常數(shù)，故故C1 與與C2不能合并為一個任意常數(shù)，不能合并為一個任意常數(shù)，因此因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二階線性齊次

8、方程的通解是二階線性齊次方程的通解.則則其中其中 C1, C2為任意常數(shù)為任意常數(shù).所以它們中任一個都不能用另一個所以它們中任一個都不能用另一個 ( ( 形如形如 y1 = ky2 或或 y2 = k1 y) ) 來表示來表示.階次線性微分方程PPT課件定理定理 3如果函數(shù)如果函數(shù) y* 是線性非齊次方程的一個是線性非齊次方程的一個特解，特解，y = Y + y*，是線性非齊次方程的通解是線性非齊次方程的通解.證證因?yàn)橐驗(yàn)?y*與與 Y 分別是線性非齊次方程分別是線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和線性齊次方程和線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y

9、 = 0 的解，的解，所以有所以有y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .Y 是該方程所對應(yīng)的線性齊次方程的通解，是該方程所對應(yīng)的線性齊次方程的通解，則則階次線性微分方程PPT課件又因?yàn)橛忠驗(yàn)?y = = Y + + y* ， y = Y + + y* ， 所以所以y + p(x)y + q(x)y = (Y + + y* ) + p(x)(Y + + y* ) + q(x)(Y + + y*)= (Y + p(x) Y + q(x)Y) + + ( y* + p(x) y* + q(x)y*)= f (x).階次線性微分方程PP

10、T課件求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：( (1) ) 求線性齊次方程求線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的線性的線性無關(guān)的兩個特解無關(guān)的兩個特解 y1 與與 y2，得該方程的通解得該方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.( (2) ) 求線性非齊次方程求線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的的一個特解一個特解 y*.那么，線性非齊次方程的通解為那么，線性非齊次方程的通解為 y = Y + y*. 又又 Y 是二階線性齊次方程的通解，它含有兩個任意常是二階線性齊次方程的通解，它含有兩個任意常

11、數(shù)，數(shù)，故故 y = Y + y* 中含有兩個任意常數(shù)中含有兩個任意常數(shù). 即即 y = Y + y* 是線性非齊次方程是線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解的通解.這說明函數(shù)這說明函數(shù) y = Y + y* 是線性非齊次方程的解，是線性非齊次方程的解，階次線性微分方程PPT課件y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，分分別別是是與與且且*2*1yyy + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和和y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)則則*2*1yy 是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4設(shè)二階線性

12、非齊次方程為設(shè)二階線性非齊次方程為的特解，的特解，階次線性微分方程PPT課件證證因?yàn)橐驗(yàn)?y1* 與與 y2* 分別是分別是 與與 的特解，的特解，y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)，與與y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) .于是有于是有)()()(*2*1*2*1*2*1yyxqyyxpyy = f 1(x) + + f 2(x) ， 所以有所以有= y1* + p(x)y1* + q(x)y1*+ y2* + p(x)y2* + q(x)y2*即即 y1* + y2* 滿足方程滿足方程 ，階次線性微分方程PPT課件二、二階常系數(shù)線

13、性微分方程的解法二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法如果二階線性微分方程為如果二階線性微分方程為y + py + qy = f(x) ，其中其中 p、 q 均為常數(shù)，均為常數(shù)， 則稱該方程為則稱該方程為二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性微分方程性微分方程.階次線性微分方程PPT課件設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為y + py + qy = 0 .考慮到左邊考慮到左邊 p，q 均為常數(shù)，均為常數(shù)， 我們可以猜想該方程我們可以猜想該方程具有具有 y = erx 形式的解，其中形式的解，其中 r 為待定常數(shù)為待定常數(shù). 將將 y = rerx, y = r2erx 及及 y = erx 代入

14、上式，代入上式，erx (r2 + pr + q) = 0 . 1. .二階常系數(shù)線性齊次方程的解法二階常系數(shù)線性齊次方程的解法由于由于erx 0，因此，只要，因此，只要 r 滿足方程滿足方程r2 + pr + q = 0，即即 r 是上述一元二次方程的根時，是上述一元二次方程的根時，y = erx 就是就是式的解式的解.方程方程稱為方程稱為方程的的特征方程特征方程. 特征方特征方程根稱為程根稱為特征根特征根.得得階次線性微分方程PPT課件1 特征方程具有兩個不相等的實(shí)根特征方程具有兩個不相等的實(shí)根 r1 與與 r2，xrxryy21ee21 和和,e)(2121常數(shù)常數(shù)且且 xrryy.ee

15、21211xrxrCCy 2 特征方程具有兩個相等的實(shí)根，特征方程具有兩個相等的實(shí)根，這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個特解特解 y1 = erx.還需再找一個與還需再找一個與 y1 線性無關(guān)的特解線性無關(guān)的特解 y2，為此，設(shè)為此，設(shè) y2 = u(x)y1，其中其中 u(x)為待定函數(shù)為待定函數(shù). 將將 y2 及及其一階、二階導(dǎo)數(shù)其一階、二階導(dǎo)數(shù) y 2 = (uerx) = erx(u (x) + ru(x)，y 2 = erx (u (x) + 2ru (x) + r2u(x)， 代入方程代入方程 y + py + qy = 0 中

16、，得中，得因而它的通解為因而它的通解為所以所以 y1 與與 y2 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 都是都是 的解，的解， 即即 r1 r2. 那么，這時函數(shù)那么，這時函數(shù).221prr 即即階次線性微分方程PPT課件. 0)()2(e2 uqprruprurx2pr 注意到注意到 是特征方程的重根，是特征方程的重根， 所以有所以有 r2 + + pr + + q = 0及及 2r + + p = 0.且且 er x 0，因此只要因此只要 u(x) 滿足滿足, 0)( xu則則 y2 = uerx就是就是 式的解，式的解，.e )(ee2121rxrxrxxCCxCCy 為簡便起見，取方程為簡便起見，取方

17、程 u (x) = 0 的一個解的一個解 u = x， 于是得到方程于是得到方程 且與且與 y1 = erx 線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解 y2 = xerx. 因此，因此，式的通式的通解為解為階次線性微分方程PPT課件3 特征方程具有一對共軛復(fù)根特征方程具有一對共軛復(fù)根 r1 = a a + + ib b 與與 r2 = a a ib .b . 這時有兩個線性無關(guān)的特解這時有兩個線性無關(guān)的特解 y1 = e(a a + + ib b )x 與與 y2 = e(a a - - ib b )x. 這是兩個復(fù)數(shù)解，這是兩個復(fù)數(shù)解， 為了便于在實(shí)數(shù)為了便于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論問題，范圍內(nèi)討論問題，我們再找兩

18、個線性無關(guān)的實(shí)數(shù)解我們再找兩個線性無關(guān)的實(shí)數(shù)解. 由歐拉公式由歐拉公式xxxsinicosei ( (這公式我們將在無窮級數(shù)章中補(bǔ)證這公式我們將在無窮級數(shù)章中補(bǔ)證) )，可得，可得),sini(cose1xxyxb bb ba a )sini(cose2xxyxb bb ba a 階次線性微分方程PPT課件于是有于是有,cose)(2121xyyxb ba a .sine)(i 2121xyyxb ba a 由定理由定理 1 知，以上兩個函數(shù)知，以上兩個函數(shù) ea ax cosb bx 與與 ea ax sinb bx均為均為 式的解，式的解，).sincos(e21xCxCyxb bb ba

19、 a 且它們線性無關(guān)且它們線性無關(guān). 因此，這時方程因此，這時方程的通解為的通解為階次線性微分方程PPT課件 上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是：為特征根法，其步驟是：( (1) ) 寫出所給方程的特征方程；寫出所給方程的特征方程；( (2) ) 求出特征根；求出特征根； ( (3) ) 根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應(yīng)的根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應(yīng)的特解，并寫出其通解特解，并寫出其通解.階次線性微分方程PPT課件例例 1求方程求方程 y - - 2y - - 3y = 0 的通解的通解.解解該方程的特征方程為該方程的特

20、征方程為 r2 - - 2r 3 = 0, 它有兩它有兩個不等的實(shí)根個不等的實(shí)根 r1 = - - 1， r2 = = 3, 其對應(yīng)的兩個線性無其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為關(guān)的特解為 y1 = e- - x 與與 y2 = e3x, 所以方程的通解為所以方程的通解為.ee321xxCCy 階次線性微分方程PPT課件例例 2求方程求方程 y - - 4y + + 4y = 0 的滿足初始條件的滿足初始條件 y(0) = 1， y (0) = 4 的特解的特解.解解該方程的特征方程為該方程的特征方程為 r2 - - 4r + + 4 = 0，,e )221xxCCy （.e )(2e22122xx

21、xCCCy 將將 y(0) = 1，y (0) = 4 代入上兩式，得代入上兩式，得 C1 = 1，C2 = 2，y = (1 + + 2x)e2x. 其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為 y1 = e2x 與與 y2 = xe2x因此，所求特解為因此，所求特解為 它有它有重根重根 r = 2.階次線性微分方程PPT課件例例 3求方程求方程 2y + + 2y + + 3y = 0 的通的通解解.解解該方程的特征方程為該方程的特征方程為 2r2 + + 2r + + 3 = 0，它，它有共軛復(fù)根有共軛復(fù)根424422, 1 r. i 52121 ,21 a a即即,521

22、b b對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解為對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解為,25cose211xyx ,25sine212xyx .521sin521cose2121 xCxCyx階次線性微分方程PPT課件例例 4求方程求方程 y + + 4y = 0 的通解的通解.解解該方程的特征方程為該方程的特征方程為 r2 + + 4 = 0，它有共軛，它有共軛復(fù)根復(fù)根 r1,2 = 2i. 即即a a = 0，b b = 2. 對應(yīng)的兩個線性對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解無關(guān)的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解為所以方程的通解為.2sin2cos21xCxCy 階次線性微分方程PPT課件 2.

23、 .二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法1 自由項(xiàng)自由項(xiàng) f (x) 為多項(xiàng)式為多項(xiàng)式 Pn(x).設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y + + py + + qy = Pn(x),其中其中 Pn(x) 為為 x 的的 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式. ),(*xQxynk 當(dāng)原方程當(dāng)原方程 中中 y 項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù) q 0 時時， k 取取 0；當(dāng)當(dāng) q = 0，但但 p 0 時時，k 取取 1；當(dāng)當(dāng) p = 0， q = 0 時，時，k 取取 2. 因?yàn)榉匠讨幸驗(yàn)榉匠讨?p、q 均為均為常數(shù)且多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式，常數(shù)且多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式， 所以

24、可設(shè)所以可設(shè) 式的式的特解為特解為其中其中 Qn(x) 與與 Pn(x) 是同次多項(xiàng)式，是同次多項(xiàng)式，階次線性微分方程PPT課件例例 5求方程求方程 y - - 2y + y = x2 的一個特解的一個特解.解解因?yàn)樽杂身?xiàng)因?yàn)樽杂身?xiàng) f (x) = x2 是是 x 的二次多項(xiàng)式，的二次多項(xiàng)式，,2*CBxAxy 則則,2*BAxy ,2*Ay 代入原方程后，有代入原方程后，有.)22()4(22xCBAxBAAx 且且 y 的系數(shù)的系數(shù) q = 1 0，取，取 k = 0 . 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為階次線性微分方程PPT課件比較兩端比較兩端 x 同次冪的系數(shù)，有同次冪的系數(shù)，有 . 022,

25、 04, 1CBABAA解得解得A = 1，B = 4，C = 6.故所求特解為故所求特解為. 642* xxy階次線性微分方程PPT課件例例 6求方程求方程 y + + y = x3 x + + 1 的一個特解的一個特解.解解因?yàn)樽杂身?xiàng)因?yàn)樽杂身?xiàng) f (x) = x3 x + + 1 是一個是一個 x 的三的三次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，).(*23DCxBxAxxy 則則,234*23DCxBxAxy ,2612*2CBxAxy 代入原方程后，有代入原方程后，有)2()26()312(423DCxCBxBAAx . 13 xx且且 y 的系數(shù)的系數(shù) q = 0， p = 1 0，取取 k = 1.

26、所以設(shè)方程的特解為所以設(shè)方程的特解為階次線性微分方程PPT課件比較兩端比較兩端 x 同次冪的系數(shù)：同次冪的系數(shù)： . 12, 126, 0312, 14DCCBBAA解得解得. 4,25, 1,41 DCBA故所求特解為故所求特解為.4254123* xxxxy階次線性微分方程PPT課件2 自由項(xiàng)自由項(xiàng) f (x) 為為 Aea ax 型型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y + + py + + qy = Aea ax，其中其中 a a，A 均為常數(shù)均為常數(shù).由于由于 p，q 為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，數(shù)函數(shù)，其中其中 B 為待

27、定常數(shù)，為待定常數(shù)，.e*xkBxya a 當(dāng)當(dāng) a a 不是不是 式所對應(yīng)的線性齊式所對應(yīng)的線性齊次方程的特征方程次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根時的根時，取取 k = 0；當(dāng)當(dāng) a a 是其特征方程單根時是其特征方程單根時，取取 k = 1； 當(dāng)當(dāng) a a 是其特征是其特征方程重根時方程重根時，取取 k = 2.因此，我們可以設(shè)因此，我們可以設(shè) 的特解的特解階次線性微分方程PPT課件例例 7求方程求方程 y + + y + y = 2e2x 的通解的通解.解解a a = = 2 它不是特征方程它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，的根，取取 k = 0，

28、,e2*xBy 則則,e2*2xBy ,e4*2xBy 代入方程，得代入方程，得故原方程的特解為故原方程的特解為.e72*2xy 所以，設(shè)特解為所以，設(shè)特解為.B72 階次線性微分方程PPT課件例例 8求方程求方程 y + + 2y - - 3y = ex 的特解的特解.解解a a = = 1 是特征方程是特征方程 r2 + 2r - - 3 = 0 的單根，的單根，取取 k = 1，,e*xBxy 則則,ee*xxBxBy ,ee2*xxBxBy 代入方程，得代入方程，得故原方程的特解為故原方程的特解為.e41*xxy 所以，設(shè)特解為所以，設(shè)特解為,41 B階次線性微分方程PPT課件3 自由

29、項(xiàng)自由項(xiàng) f (x) 為為 ea ax (Acos w wx + Bsin w wx)型型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y + + py + + qy = ea ax (Acos w wx + Bsin w wx)，其中其中 a a，A ，B 均為常數(shù)均為常數(shù).由于由于 p，q 為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，為指數(shù)函數(shù)， 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，因此因此, 我們可以設(shè)我們可以設(shè) 有特解有特解).sincos(e*xDxCxyxkw ww wa a 其中

30、其中 C，D 為待定常數(shù)為待定常數(shù).取取 k = 0， 是根時是根時，取取 k = 1，代入代入 式，求得式，求得 C 及及 D. 當(dāng)當(dāng) a a + w wi 不是不是 式所對式所對應(yīng)的齊次方程的特征方程的根時應(yīng)的齊次方程的特征方程的根時，階次線性微分方程PPT課件例例 9求方程求方程 y + + 3y - - y = ex cos 2x 的一個特解的一個特解.解解自由項(xiàng)自由項(xiàng) f (x) = ex cos 2x 為為 ea ax( (Acosw wx + Bsinw wx) ) 型的函數(shù)，型的函數(shù)，),2sin2cos(e*xDxCyx 則則,2sin)2(2cos)2(e*xCDxDCyx

31、 .2sin)34(2cos)34(e*xDCxCDyx 且且 a a + + w wi = 1 + + 2i，它不是對應(yīng)的，它不是對應(yīng)的常系數(shù)線性齊次方程的特征方程常系數(shù)線性齊次方程的特征方程 r2 + + 3r 1 = 0 的根，的根，取取 k = 0，所以設(shè)特解為，所以設(shè)特解為階次線性微分方程PPT課件代入原方程，得代入原方程，得.2cos2sin)10(2cos)10(xxCDxCD 比較兩端比較兩端 cos 2x 與與 sin 2x 的系數(shù)，得的系數(shù)，得 . 010, 110CDCD解此方程組，得解此方程組，得.10110,1011 DC故所求特解為故所求特解為. 2sin10110

32、2cos1011e* xxyx階次線性微分方程PPT課件例例 10求方程求方程 y + + y = sin x 的一個特解的一個特解.解解自由項(xiàng)自由項(xiàng) f (x) = sin x 為為 ea ax(Acosw wx + Bsinw wx) 型的函數(shù)，型的函數(shù)，且且 a a = 0，w w = 1，).sincos(*xDxCxy 則則),sincos(sincos*xCxDxxDxCy ).sincos(sin2cos2*xDxCxxCxDy 代入原方程，得代入原方程，得.sincos2sin2xxDxC 且且 a a + + w wi = i 是特征是特征方程方程 r2 + 1 = 0 的根

33、，的根，取取 k = 1，所以，設(shè)特解為，所以，設(shè)特解為階次線性微分方程PPT課件比較兩端比較兩端 sinx 與與 cosx 的系數(shù)，得的系數(shù)，得. 021 DC，故原方程的特解為故原方程的特解為.cos21*xxy 而對應(yīng)齊次方程而對應(yīng)齊次方程 y + + y = 0 的通解為的通解為Y = C1cosx + C2sinx.故原方程的通解為故原方程的通解為.sincoscos2121*xCxCxxYyy 階次線性微分方程PPT課件例例 11方程方程 y + + 4y = x +1 + sinx 的通解的通解.解解自由項(xiàng)自由項(xiàng) f (x) = x +1 + sinx可以看成可以看成 f1 (x

34、) = x +1 和和 f2 (x) = sin x 之和，之和，y + + 4y = x +1，y + + 4y = sin x .和和方程方程 的特解易求得，的特解易求得，,sin*2xAy 設(shè)方程設(shè)方程 的特解為的特解為,cos*2xAy .sin*2xAy ,4141*1 xy的特解的特解.所以分別求方程所以分別求方程階次線性微分方程PPT課件代入代入，得得3Asin x = sin x. .31 A所以所以.sin31*2xy 得原方程的特解得原方程的特解.sin314141*2*1*xxyyy 階次線性微分方程PPT課件原方程所對應(yīng)的線性齊次方程為原方程所對應(yīng)的線性齊次方程為 y

35、+ + 4y = 0，其通解為其通解為Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故原方程的通解為故原方程的通解為.2sin2cossin31414121*xCxCxxYyy 階次線性微分方程PPT課件三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例例 12 彈簧振動問題彈簧振動問題設(shè)有一個彈簧上端固定，下端掛著一個質(zhì)量為設(shè)有一個彈簧上端固定，下端掛著一個質(zhì)量為 m 的物體，的物體，當(dāng)彈簧處于平衡位置時，物體所受的重力與當(dāng)彈簧處于平衡位置時，物體所受的重力與彈性恢復(fù)力大小相等，方向相反，彈性恢復(fù)力大小相等，方向相反，設(shè)給物體一個初始位移設(shè)給物體一個初始位移 x0 初速初速度度 v0， 則物體便在其平衡位置附則物

36、體便在其平衡位置附近上下振動近上下振動. 已知阻力與其速度已知阻力與其速度成正比，成正比，O 試求振動過程中位移試求振動過程中位移 x 的變化規(guī)律的變化規(guī)律.階次線性微分方程PPT課件物體在振動過程中，受到兩個力的作用：物體在振動過程中，受到兩個力的作用：ma = - - kx m mv, , 其中其中 a 為加速度，為加速度，,dd22txa v 為速度，為速度，,ddtxv 解解 建立坐標(biāo)系，平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，平衡位置為原點(diǎn), 鉛垂方向?yàn)殂U垂方向?yàn)?x 軸的正向，則物體位移軸的正向，則物體位移 x 是時間是時間 t 的函數(shù)的函數(shù) x = x(t).根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律 F = ma，知，知 負(fù)號表示阻力負(fù)號表示阻力 f2 與速度與速度 v 方向相反，方向相反， 其中其中 m m 為為比例系