2022年教學設計：橢圓中的取值范圍問題

1、橢圓中的取值范圍問題教材分析高中數學選修2-1 第二章圓錐曲線與方程2.2橢圓橢圓是一種重要的圓錐曲線，是高考的必考內容.橢圓的定義，標準方程和幾何性質是高考重點考查的內容,本次課主要學習橢圓離心率的取值范圍問題. 教學目標 ：1、通過實例掌握構建不等式的基本方法；2、掌握求取值范圍問題的基本解題策略；3、培養(yǎng)學生計算能力，鍛煉學生的意志品質. 教學重難點：構建不等式的基本方法. 計劃課時： 一課時教學設想 ：前三個例題的選取，讓學生掌握圓錐曲線中離心率的取值范圍問題，構建不等式的基本方法技巧.最后一題， 旨在滲透函數思想,借助函數， 來尋找不等式， 從而達到解題目的 . 教學過程：一、典型例

2、題，掌握方法例 1：選題意圖：利用三角形中的公理構建不等式設21ff，分別是橢圓012222babyax的左、 右焦點， 若在直線cax2上存在點p，使線段1pf的中垂線過點2f, 求橢圓離心率e的取值范圍 . 引導學生分析 ：本題核心條件：條件線段1pf的中垂線過點2f ，這里就涉及到圖形的幾何意義：中垂線的性質的運用.21pfpf, 這是等式，但由于p的移動，是問題的本質，所以歸根到直角三角形hpf2中. 提問： 直角三角形hpf2中，我們會尋找什么不等式呢？這樣就很自然利用到三角形中的公理：斜邊大于直角邊，從而得到（不）等式組mfpfff2221，即ccac22，從而解出離心率 e的取值

3、范圍 . x y 1f2fpo精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -教師規(guī)范書寫解題過程. 同時對于例 2，在學生由,2edpf得到epfpf21后，引導學生再結合橢圓第一定義，就可以找到21,pfpf關于離心率 e或 a、b、c 的表達式，提問： 那么再利用例1 中的方法：我們又可以怎樣利用三角形中的公理呢？cpfpf212，便可求解 . 提問： 如果出現在雙曲線的模型中，我們又該如何求解呢？例 2：選題意圖：利用橢圓自身范圍構建不等式設21ff，分別是橢圓012222babyax的左

4、、右焦點，p是橢圓上的點，且p到右準線的距離為d，若122pfdpf,求橢圓離心率e的取值范圍 .由學生分析 ：利用主干條件122pfdpf，結合我們熟悉的橢圓第二定義，,2edpf所 以 得 到epfpf21， 根 據),(00yxp在 橢 圓 上 ， 從 而 表 示 出,01exapf02exapf，最終由0 x 的范圍0,a，得到關于離心率 e 或 a、b、c 的不等式 . （學生演版）例 3：選題意圖：利用函數關系構建不等式已知橢圓：012222babyax的兩個焦點分別為21ff、,斜率為k的直線l過左焦點xy 1f2fp g h 精品學習資料 可選擇p d f - - - - -

5、- - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -f1且與橢圓的交點為a、b，與y軸交點為c，若 b 為線段 cf1的中點，若214k，求橢圓離心率e 的取值范圍由學生分析 ：找k和離心率 e的等式關系 . 即建立k與 a、b、c 的關系 . 利用直線方程，得到點c的坐標kcc, 0，從而表示fc的中點2,2kccb，將此坐標代入橢圓方程，即建立了k與 a、b、c 的關系，從而達到求解目的.（適當的時候教師加以引導、提示）（學生演版）例 4：利用構建不等式已知橢圓1422yx的左頂點和上頂點分別為ba、，設dc、是橢圓上的兩個不同點，abcd /,直

6、線cd與x軸、y軸分別交于nm、兩點，且dnmdcnmc,求的取值范圍 . 教師分析 ：本題的范圍較為隱形，但追根溯源，的范圍,由直線cd的移動而變化. 這樣，就找到問題突破口：將直線cd用斜截式設出，利用圓錐曲線中最常見的得到直線cd截距 m的范圍，這樣就建立了不等式 . 與此同時， 圓錐曲線中很常見的“向量問題坐標化” 在此得到展示 . 所以,由11,yxc，22, yxd坐標表示，結合聯立后方程根與系數的關系，最后得到,與前面所設參數 m的關系式，從而m的范圍在此得到充分運用 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5

7、頁 - - - - - - - - -二、課堂小結，知識整合取值范圍問題的 求解策略 ：構建不等式 . 具體方法（提問學生） ：1利用三角形中的公理構建不等式2利用橢圓自身范圍構建不等式3利用函數關系構建不等式4利用判別式構建不等式5利用橢圓的參數方程構建不等式三、課后訓練，突出要點，鞏固落實設ba、是 橢 圓13422yx上 的 不 同 兩 點 ， 點0, 4d， 且 滿 足dbda, 若21,83，求直線ab的斜率的取值范圍. 教后反思：求橢圓離心率的取值范圍是解析幾何中的一種重要題型, 在各級各類的試題中屢見不鮮 . 這類問題涉及多個知識點, 綜合性強 , 方法也多種多樣 , 解這類題的

8、關鍵是構造出關于離心率e 或 a、b、c 的不等式 ( 組). 本次課僅就橢圓離心率范圍的求法進行小結 . 1. 利用已知條件已給的不等式；2. 沒有直接給出不等關系，就要從直接和間接條件中挖掘出來 一些特殊式子：如02y，例 1 就可以設出點),(02ycap，從而利用參數0y 找不等關系； 橢圓、雙曲線上點坐標的有界性； 三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；直角三角形中的斜邊大于直角邊； 常見的判別式；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - - 函數思想：范圍問題往往伴隨著一個變量的變化而