2022年數(shù)列部分專題復(fù)習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)列部分專題復(fù)習(xí)一、新高考數(shù)列地位數(shù)列是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，在高考中的地位舉足輕重，近年來的新課標(biāo)高考都把數(shù)列作為核心內(nèi)容來加以考查，并且創(chuàng)意不斷， ?？汲Ｐ?了解高考中數(shù)列問題的命題規(guī)律，掌握高考中關(guān)于數(shù)列問題的熱點(diǎn)題型的解法，針對(duì)性地開展數(shù)列知識(shí)的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練，對(duì)于在高考中取得理想的成績(jī)具有十分重要的意義. 考綱對(duì)數(shù)列的考查呈現(xiàn)出綜合性強(qiáng)、立意新、難度大的特點(diǎn)，注重在知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)題目，常常與函數(shù)、方程、不等式、三角變換、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、推理與證明以及數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)地結(jié)合在一起. 二、數(shù)列知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體四、數(shù)列基本知識(shí)一 數(shù)列的概念 ： 數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集n*

2、 （或它的有限子集 1,2， 3， ，n ）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如概念數(shù)列表示等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比解析法： anf (n) 通項(xiàng)公式圖象法列表法遞推公式等差數(shù)列通項(xiàng)公式求和公式性質(zhì)判斷ana1(n1)dana1qn1anamaparanamapar前 n 項(xiàng)和snn(a1an)2前 n 項(xiàng)積 (an0) tn(a1an)n常見遞推類型及方法逐差累加法逐商累積法構(gòu)造等比數(shù)列 anqp1an1anf (n) an + 1anf (n) an1panq化為an1qn=pqanqn11 轉(zhuǎn)為an + 1panqn等比數(shù)列an0，q0 snna1，q1a1(1qn)1q

3、，q1公式法：應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式分組求和法倒序相加法裂項(xiàng)求和法錯(cuò)位相加法常見求和方法數(shù)列是特殊的函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）已知*2()156nnannn，則在數(shù)列na的最大項(xiàng)為 _ （答：125） ；二等差數(shù)列的有關(guān)概念：1等差數(shù)列的判斷方法： 定義法1(nnaad d為常數(shù)）或11(2)nnnnaaaan。2等差數(shù)列的通項(xiàng)：1(1)naand或()nmaanm d。3等差數(shù)列的前n和：1()2nnn aas，1(1)2nn nsn

4、ad。如（1）已知數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和212nsnn，求數(shù)列|na的前n項(xiàng)和nt（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnntnnnnn）. 4等差中項(xiàng)： 若,a a b成等差數(shù)列，則 a叫做a與b 的等差中項(xiàng)，且2aba。提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及 前n和公式中，涉及到5 個(gè)元素：1a、 d 、n、na及ns，其中1a、 d 稱作為基本元素。只要已知這5 個(gè)元素中的任意3 個(gè)，便可求出其余 2 個(gè)，即知 3 求 2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，2 , ,2ad ad a ad ad （公 差 為 d ） ； 偶數(shù) 個(gè)數(shù)成 等差 ， 可 設(shè)

5、為 ，3 ,3ad ad ad ad,（公差為 2d ）三等差數(shù)列的性質(zhì) ：1當(dāng)公差0d時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式11(1)naanddnad是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差 d ；前n和211(1)()222nn nddsnadnan是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. 2若公差0d，則為遞增等差數(shù)列，若公差0d，則為遞減等差數(shù)列，若公差0d，則為常數(shù)列。3當(dāng) mnpq 時(shí),則有qpnmaaaa，特別地，當(dāng)2mnp時(shí)，則有2mnpaaa.4若na、nb是等差數(shù)列，則nka、nnkapb(k 、 p是非零常數(shù) )、*(,)p nqap qn、232,nnnnnsssss，也成等差數(shù)列， 而naa成等比

6、數(shù)列；若na是等比數(shù)列，且0na，則lgna是等差數(shù)列 . 5在等差數(shù)列na中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，ssnd偶奇；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)21n時(shí) ，ssa奇偶中，21(21)nsna中（ 這 里a中即na）；:(1 ):奇偶sskk。6若等差數(shù)列na、nb的前n和分別為na、nb，且( )nnaf nb，則2121(21)(21)(21)nnnnnnanaafnbnbb. 如設(shè)na 與nb 是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為ns和nt，若精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載34

7、13nntsnn，那么nnba_（答：6287nn）7 “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和； “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組000011nnnnaaaa或確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正） ；法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性*nn。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列na中，125a，917ss，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前 13 項(xiàng)和最大，最大值為169） ；（2）若na是等差數(shù)列，首項(xiàng)

8、10,a200320040aa，200320040aa，則使前 n 項(xiàng)和0ns成立的最大正整數(shù)n 是（答： 4006）8如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究nmab. 四等比數(shù)列的有關(guān)概念：1等比數(shù)列的判斷方法： 定義法1(nnaq qa為常數(shù)），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。2等比數(shù)列的通項(xiàng)：11nnaa q或nmnmaa q。3 等比數(shù)列的前n和：當(dāng)1q時(shí)，1nsna； 當(dāng)1q時(shí)，1(1)1nnaqsq11naa qq。特別提醒： 等比

9、數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比 q 是否為 1，再由 q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比 q是否為 1 時(shí)，要對(duì) q分1q和1q兩種情形討論求解。4等比中項(xiàng)： 若,a a b成等比數(shù)列，那么 a叫做a與b 的等比中項(xiàng)。 提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)ab。如已知兩個(gè)正數(shù), ()a b ab的等差中項(xiàng)為 a，等比中項(xiàng)為 b，則 a與 b的大小關(guān)系為_（答： ab）提醒： （1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及 前n和公式中，涉及到 5 個(gè)元素：1a、q、n、na及ns，其中1a、 q稱作為基本元素。只要已知這5 個(gè)元素中的

10、任意3個(gè)，便可求出其余 2 個(gè)，即知 3 求 2； （2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比， 可設(shè)為，22, ,aaa aq aqqq（公比為 q ） ；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為33,aqaqqaqa，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為2q。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答： 15，,9，3,1

11、 或 0,4，8,16）5. 等比數(shù)列的性質(zhì) ：（1）當(dāng) mnpq時(shí)，則有mnpqaaaa，特別地，當(dāng)2mnp時(shí)，則有2mnpaaa. (2)若na是等比數(shù)列，則|na、*(,)p nqap qn、nka成等比數(shù)列；若 nnab、成等比數(shù)列，則nna b、nnab成等比數(shù)列；若na是等比數(shù)列，且公比1q，則數(shù)列232,nnnnnsssss，也是等比數(shù)列。當(dāng)1q，且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列232,nnnnns ssss，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列 . (3) 若10,1aq，則na為遞增數(shù)列；若10,1aq,則na為遞減數(shù)列；若10,01aq，則na為遞減數(shù)列；若10,01aq,則na為遞增數(shù)列；若0

12、q，則na為擺動(dòng)數(shù)列；若1q，則na為常數(shù)列 . (4)當(dāng)1q時(shí)，baqqaqqasnnn1111， 這里0ab， 但0 ,0ab，這是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一個(gè)特征， 據(jù)此很容易根據(jù)ns，判斷數(shù)列na是否為等比數(shù)列。(5)如果數(shù)列na既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列na是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列na僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列na的前n項(xiàng)和為ns（nn） ， 關(guān)于數(shù)列na有下列三個(gè)命題： 若)(1nnaann， 則na既 是 等 差 數(shù) 列 又 是 等 比 數(shù) 列 ； 若rbanbnasn、2，則na是等差數(shù)列；若nns11，則na是等比數(shù)列。這些命題中，真

13、命題的序號(hào)是（答：）五. 數(shù)列的通項(xiàng)的求法 ：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知ns（即12( )naaaf n） 求na， 用作差法：11,(1),(2)nnnsnassn。已知12( )na aaf n求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。如數(shù)列na中，, 11a對(duì)所有的2n都有2321naaaan，則53aa_ （答：6116）若1( )nnaaf n求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a (2)n。如已知數(shù)列na滿足11a，nnaann111(2)n，則na=_ （答：121nan）已知1( )nnaf n

14、a求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載如已知數(shù)列na中，21a，前n項(xiàng)和ns，若nnans2，求na（答：4(1)nan n）已知遞推關(guān)系求na，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列） 。特別地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 k 的等比數(shù)列后，再求na。如已知111,32nnaaa，求na（答：12 31nna） ；已知111,32nnna

15、aa，求na（答：115 32nnna） ； （2）形 如11nnnaak ab的 遞 推 數(shù) 列 都 可 以 用 倒 數(shù) 法 求 通 項(xiàng) 。 如 已 知1111,31nnnaaaa， 求na（ 答 ：132nan） ； 已 知 數(shù) 列 滿 足1a=1，11nnnnaaa a，求na（答：21nan）注意： （1）用1nnnssa求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（2n，當(dāng)1n時(shí)，11sa） ； （2）一般地當(dāng)已知條件中含有na與ns的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式1nnnssa， 先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含na或ns的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列na滿足11154,3nnnassa，求

16、na（答：14,13 4,2nnnan）六. 數(shù)列求和的常用方法 ：1公式法 ：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明 ：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1 的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；常用公式：1123(1 )2nnn，222112(1)(21)6nn nn，33332(1)1232n nn. 2分組求和法 ：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)” 先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和 .如求：1357( 1) (21)nnsn（答：( 1)nn）3倒序相加法 ：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)， 則?？煽紤]選用倒序相加法， 發(fā)揮其共性的

17、作用求和 （這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法） . 如 已 知22( )1xf xx， 則111(1)(2)(3)(4)()( )( )234fffffff_ （答：72）4錯(cuò)位相減法 ：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）. 如 （1） 設(shè)na為等比數(shù)列，121(1)2nnntnanaaa， 已知11t，24t，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載求數(shù)列na的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列

18、nt的通項(xiàng)公式 .（答：11a，2q；122nntn） ；（ 2 ） 設(shè) 函 數(shù)) 1(4)()1()(2xxgxxf， 數(shù) 列na滿 足 ：12 ,()nafa(na)()1nnagann， 求 證 ： 數(shù) 列 1na是 等 比 數(shù) 列 ； 令212( )(1)(1)h xaxax(1)nnax， 求函數(shù))(xh在點(diǎn)38x處的導(dǎo)數(shù))38(h， 并比較)38(h與nn22的大小。 （答：略；8( )(1) 213nhn，當(dāng)1n時(shí)，)38(hnn22；當(dāng)2n時(shí)，)38(hnn22）5裂項(xiàng)相消法 ：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 常用裂項(xiàng)形

19、式有：111(1)1n nnn； 11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(1)11nnnnnnnnn. 如（1）求和：1111447(32)(31)nn（答：31nn） ；（2）在數(shù)列na中，11nnan，且 s，則 n_ （答： 99） ；6通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法 ：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。 如求數(shù)列 14，25，36，(3)nn，前n項(xiàng)和ns= （答：(1)(5)3n nn） ；

20、求和：111112123123n（答：21nn）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、高考數(shù)列題型分析（一）近三年高考數(shù)列內(nèi)容分布統(tǒng)計(jì)表年號(hào)題號(hào)分值重點(diǎn)考察的知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)交匯情況所占比例2010 理 8 5 本題難度適中，考查了ns與na的關(guān)系、等比數(shù)列和極限文 8% 理 11.3% 文 20 理 21 12 12 文：本題難度適中，考察了基本量求等差數(shù)列的通項(xiàng)、差比數(shù)列的求和理：本題難度適中，考查了賦值求項(xiàng)、等差數(shù)列的證明、差比數(shù)列的求和2011 文 9 理 8

21、 5 文： 9 題難度適中，考查了ns與na的關(guān)系及等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)理： 8 題難度適中，考查了基本量運(yùn)算求等差數(shù)列通項(xiàng)、前n 項(xiàng)和公式及累加法11.3% 文 20 理 20 12 文：本題難度適中，考察了基本量的運(yùn)算、等差數(shù)列的證明理：本題難度適中，考查了組合數(shù)性質(zhì)，等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)，差比數(shù)列的求和2012 文 12 理 12， 16 文 5 理 5+5 文：12 題難度很大， 考查了等差數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)的變形，考察構(gòu)造新函數(shù)的能力和轉(zhuǎn)化化歸能力理：12 題難度很大， 考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及三角函數(shù)公式，同時(shí)考察了化歸思想和邏輯推理能力16 題難度很大，考查了直覺猜想、合理估算、反例構(gòu)造、演

22、繹推理等方法， 不容易尋找到解題的切入點(diǎn)，特殊值列舉是很有效的解決辦法.文 20.7% 理 24% 文 20， 22 理 20， 22 文 12+14 理 12+14 文： 20 題難度適中，考查了ns與na的關(guān)系及遞推公式求通項(xiàng)、數(shù)列前n 項(xiàng)和的最值22 題與理科類似，難度大理： 20 題難度適中，考查了賦值求項(xiàng)、ns與na的關(guān)系、數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值22 題屬于高檔題，難度大，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了思維能力、 運(yùn)算能力、 分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力； 又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、 特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法 . 需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)

23、學(xué)問題的能力. （二） 2010-20xx 年高考數(shù)列內(nèi)容分析及20xx年高考題型預(yù)測(cè)數(shù)列在高考中基本上是一小一大，小題為中難度題，大題幾乎都為綜合題。內(nèi)容： 1、關(guān)于等差、等比數(shù)列的基本量問題，一般是求項(xiàng)、求和；2、通過遞推或探索來判斷數(shù)列及其性質(zhì)的問題，常用的方法有構(gòu)造、累加、累乘法；3、數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、解幾等的綜合問題；如果數(shù)列問題出現(xiàn)在最后一兩題，必定是綜合性很強(qiáng)的問題，大多以數(shù)列為考查平臺(tái)，綜合運(yùn)用函數(shù)、 方程、 不等式、 簡(jiǎn)單數(shù)論等知識(shí)，通過運(yùn)用遞推、 函數(shù)與方程、 歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、 分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力

24、和數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新的能力. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載20xx 年新課標(biāo)高考數(shù)列新題型預(yù)計(jì)會(huì)具有一定的探究性和開放性, 可能出現(xiàn) 數(shù)列解決實(shí)際應(yīng)用問題。題目特點(diǎn)：1、沒有給出條件， 或者沒有給出足夠的條件，需要考生自己去尋找出充分條件或充要條件；2、沒有給出結(jié)論，或者沒有確定的結(jié)論，需要考生自己去探求結(jié)論；3、給出的信息比較生疏，比較新穎，或所給知識(shí)沒有學(xué)習(xí)過，需要考生自己去理解，篩選；4、給出一個(gè)特殊的情形或類似的問題，需要考生自己去歸納、聯(lián)想、類比；（三）高

25、考基本題型與基本策略示例基本題型一：運(yùn)用基本量思想解決等差、等比數(shù)列的求項(xiàng)求和問題例. （2011 四川文 20）已知na是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，ns 為它的前n項(xiàng)和（）當(dāng)1s 、3s 、4s 成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；（）當(dāng)ms 、ns 、ls 成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，m ka、n ka、lka也成等差數(shù)列說明：此題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本量運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力變式： （ 1） （2011 遼寧理 17） 已知等差數(shù)列 an 滿足2680,10aaa. 求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；求數(shù)列12nna的前n項(xiàng)和說明： 1、此題是典型的運(yùn)用基本量思想求數(shù)

26、列通項(xiàng)的問題，列出關(guān)于1ad和的方程兩個(gè)二元一次方程構(gòu)成的方程組，通過加減消元或帶入消元接出1ad和的值；2、數(shù)列12nna是一個(gè)差比數(shù)列，錯(cuò)位相減法求和變式： （ 2010 全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列na中，123a a a=5，789a a a=10，則456_.a a a說明： 表面看這是一道可以用基本量思想解決的問題，但在實(shí)際操作過程中發(fā)現(xiàn)，使用基本精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載量列出方程組計(jì)算量較大，要得到結(jié)果還需借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

27、，易出錯(cuò). 如果聯(lián)想等比數(shù)列性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)2741aa a，2528aa a，2639aa a，運(yùn)用性質(zhì)可以很快求出4565 2a a a基本策略：等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和的公式中均含有兩個(gè)基本量，因此數(shù)通過基本量思想求解等差等比的通項(xiàng)和前n 項(xiàng)和是高考考查的重點(diǎn)也是熱點(diǎn) .在運(yùn)用基本量思想解決問題時(shí)，要注意以下兩個(gè)方面：1、基本量思想在解決問題時(shí)比較程序化，認(rèn)真審題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ顷P(guān)鍵，有兩個(gè)性質(zhì) 有 時(shí) 可 以 簡(jiǎn) 化 計(jì) 算 在 等 差 數(shù) 列 中 ， 若*(, ,),mnpq m n p qn則mnpqaaaa；在等比數(shù)列中若*(, ,),mnpq

28、m n p qn則mnpqaaaa；等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)。2、等差、等比數(shù)列的求和，需選擇恰當(dāng)?shù)那蠛凸?，等比?shù)列還需考慮q=1 和 q1. 基本題型二：與遞推有關(guān)的數(shù)列問題例. （2011 四川理 8）數(shù)列na的首項(xiàng)為3，nb為等差數(shù)列且1(*)nnnbaann若則32b，1012b，則8a_. 說明： 由已知知128,28,nnnbnaan由疊加法21328781()()()642024603aaaaaaaa一般地，使用累加法求通項(xiàng)的遞推形式為)(1nfaann，使用累乘法求通項(xiàng)的遞推形式為)(1nfaann. 變式： （ 2010 新課標(biāo)全國(guó)理科卷17）設(shè)數(shù)列na滿足12a，113 2nn

29、naa. （1）求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；（2）令nnbna，求數(shù)列nb的前n項(xiàng)和ns. 說明： 此題為一道典型的運(yùn)用遞推數(shù)列性質(zhì)求項(xiàng)求和的問題，用到我們熟知的累加法即230112211()()()3 232322nnnnnnnaaaaaaaa1321n；第二問中132nnnbnann，則采用分組求和的方法求和，在分組求和精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載中的第一個(gè)分組則采用錯(cuò)位相減法求和，此題主要考察學(xué)生對(duì)基本方法的熟悉程度. 基本策略： 1、遞推數(shù)列的求項(xiàng)求和問題一

30、般以遞推公式為背景，通過常見的累加、累乘、構(gòu)造等方法對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，最終轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的定義式“差式”“商式”進(jìn)行求解，在構(gòu)造過程中會(huì)用到多種構(gòu)造方法，但最后的目的還是將未知的數(shù)列轉(zhuǎn)化為我們的基本數(shù)列進(jìn)行求解. 2、ns與na的關(guān)系式：11(1)(2)nnnsnassn要求每一個(gè)學(xué)生都掌握并會(huì)運(yùn)用. 3、幾種基本的遞推模型人人掌握，其它類型的遞推，由于類型較多，根據(jù)新課標(biāo)要求及歷年高考中考查的問題，一般要求不高，復(fù)習(xí)時(shí)建議不同層次的學(xué)校根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，對(duì)于變形巧妙，難度較大的問題，可視學(xué)生情況選講. 4、 幾種常見的數(shù)列求和人人掌握，學(xué)會(huì)分析數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征去選擇恰當(dāng)?shù)那蠛?/p>

31、方法. 基本題型三：數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的綜合問題例 (2011 江蘇 13) 設(shè)1271aaa， 其中1357,a aaa成公比為q的等比數(shù)列，246,aaa成公差為1 的等差數(shù)列，則q的最小值是 _. 說明： 有等差又有等比，基本量在哪兒，注意到已知1d，所以2a為等差的基本量，故先用2a表示4a、6a，則已知條件變?yōu)?31212121112aaa qaa qaa q，再注意到結(jié)論為求q的最小值，所以21a、22a應(yīng)盡可能的小，故211aa，可得23123qqq，所以33q，22q，1q，3min3q. 此題是數(shù)列與不等式的綜合題，要想快速求解需要學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甚至解題過

32、程還需要直覺的成份，顯然死記硬背式的學(xué)習(xí)對(duì)解決這樣的問題是行不通的的，因此在數(shù)列教學(xué)中，我們更要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)列的深入理解，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育. 例.（2010 浙江 15） 設(shè)1a , d為實(shí)數(shù)， 首項(xiàng)為1a，公差為d的等差數(shù)列na的前n項(xiàng)和為ns,滿足56150s s，則d的取值范圍是說明：56150s s化歸基本量后看作：關(guān)于1a的一元二次方程2211291010adad必有解，所以0282222ddd或此題考察數(shù)列與方程的綜合題，需要學(xué)生對(duì)二元方程的主元變換有著深入理解.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 19 頁(yè) -

33、 - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例.（2011 廣東 20）設(shè) b0，數(shù)列na滿足111= ,(2)22nnnnbaab anan（1）求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,1112nnnba111111211,22111112,2.2222112112(),2211122,22(2)12nnnnnnnnnnnnnnanbannaanbabnnnnnbaaaaaannbabb abnababbbbnab解:(1) 由可得當(dāng)時(shí)則數(shù)列是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列從而當(dāng)時(shí),則數(shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列2212(2)1( )( ) ,(2)22nnnbbnnannbbb

34、bbb1111111111232211123122,2,22(2)(2),22222,22222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbaabnbbbnbbabbbnbbbbbbbbb(2) 當(dāng)b=2時(shí),+1+1, 從而原不等式成立;1當(dāng)b2時(shí), 要證+1, 只需證+1 即證+1即證+即證n21223112121123212121123221,22222221)()()()2222222122222222,.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbn而上式左邊 =(當(dāng)b2時(shí) 原不等式也成立從而原不等式成立說明： 此題考

35、察了遞推公式求通項(xiàng)問題、數(shù)列與不等式綜合，分析法、 基本不等式證明不等式恒成立問題 . 變式： （2012 四川理 22）已知a為正實(shí)數(shù) ,n為自然數(shù) , 拋物線22nayx與x軸正半軸相交于點(diǎn)a, 設(shè)( )f n為該拋物線在點(diǎn)a處的切線在y軸上的截距 . ( ) 用 a 和 n表示( )f n; ( ) 求對(duì)所有n都有33( )1( )11f nnf nn成立的a的最小值 ; 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載( ) 當(dāng)01a時(shí), 比 較11( )(2 )nkf

36、 kfk與27(1)( )4(0)(1)ff nff的大小 , 并說明理由 . 說明：此題屬于高檔題，難度大，主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了思維能力、 運(yùn)算能力、 分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力；又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、 特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法。需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力?；静呗裕簲?shù)列與函數(shù)、不等式都是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，一些常見的解題技巧和思想方法在數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題中都得到了充分的體現(xiàn)以其知識(shí)交匯處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考中出現(xiàn)的頻率高、難度大學(xué)生遇到此類問題一般有畏難情緒，因此，建議復(fù)習(xí)時(shí)從入口低的

37、問題入手，幫助學(xué)生找到解決此類問題的基本途徑，建議能力較弱的學(xué)生遇到此類問題不必強(qiáng)求.四、我校對(duì)數(shù)列的二輪專題復(fù)習(xí)的建議目標(biāo) ：在第一階段復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，回扣教材例題、習(xí)題，進(jìn)一步幫助學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)，建構(gòu)清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將知識(shí)進(jìn)行有效整合、歸類，減輕學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)列題的“審題”“解題”能力，幫助學(xué)生樹立解題信心. 專題內(nèi)容說明注意事項(xiàng)專題一等差、等比數(shù)列的求項(xiàng)、求和重點(diǎn)：1、等差等比數(shù)列基本量的運(yùn)算2、等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)的運(yùn)用培養(yǎng)學(xué)生的 運(yùn)算能力 ，化歸能力 ，選擇、填空題訓(xùn)練為主專題二遞推數(shù)列求通項(xiàng)、求和重點(diǎn) 1、ns與na關(guān)系2、遞推公式求通項(xiàng)：幾個(gè)常見遞推模型，難點(diǎn)在對(duì)構(gòu)

38、造出的新數(shù)列的理解3、常用的求和方法：分組求和法，裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減法，倒序相加法培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)式的變形與轉(zhuǎn)化和字母運(yùn)算的能力，解答題訓(xùn)練為主專題三數(shù)列與函數(shù)、方程、 不等式等的綜合運(yùn)用重點(diǎn)：簡(jiǎn)單的運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)解決與數(shù)列相關(guān)的最值、單調(diào)性、比較大小等問題知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用能力， 綜合性解答題訓(xùn)練為主專題四數(shù)列應(yīng)用題利用數(shù)列解決實(shí)際應(yīng)用問題高考新增內(nèi)容專題五探索型、開放型、創(chuàng)新型問題多種題型：周期數(shù)列、數(shù)陣、存在性問題知識(shí)與方法的靈活運(yùn)用，填空題與解答題均可出現(xiàn)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 19 頁(yè) - -

39、 - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載專題一等差、等比數(shù)列的求項(xiàng)、求和重點(diǎn)：教會(huì)學(xué)生兩種思路解決此類問題思路一先聯(lián)立方程組求出“基本量 ” ：首項(xiàng)、公差或公比（有時(shí)候采用整體代換），再求項(xiàng)、求和關(guān)鍵怎么消元？尤其是等比數(shù)列求基本量時(shí)，應(yīng)當(dāng)先化簡(jiǎn)、 提公因式1a后， 再作商消去1a. 相關(guān)運(yùn)算：一元二次方程的解法、平方差公式、立方和差公式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算公式 . 思路二利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)去求項(xiàng)、求和關(guān)鍵分析項(xiàng)與項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，看是否有下標(biāo)和相等，中間項(xiàng)，必需掌握這兩個(gè)性質(zhì)：. 下標(biāo)和相等，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)和（積）相等. 等差（比）中項(xiàng). 等差數(shù)列前n 項(xiàng)和常用公式1()2nnn a

40、as結(jié)合 1 中性質(zhì)巧算 . 兩個(gè)基本數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)：依次k項(xiàng)之和仍成等差（比）數(shù)列. 分析是否需要利用原基本數(shù)列的項(xiàng)去構(gòu)成新基本數(shù)列. 回扣必修五教材：基本量運(yùn)算的有：p44 例 2；p51 例 3； p40 習(xí)題 2.2 a 組 1 題； p46習(xí)題 2.3 a 組 2 題；p53習(xí)題 2.4 a 組 1題； p61習(xí)題 2.5 a 組 1 題、 6 題、 10 題； p67復(fù)習(xí)參考題a組 1 題用性質(zhì)參與運(yùn)算的有：p46 習(xí)題 2.3 b 組第 2 題； p54 習(xí)題 2.4 b 組第 3 題； p68復(fù)習(xí)參考題 a組第 8 題、 b組第 1 題專題二數(shù)列的求通項(xiàng)、求和重點(diǎn)：求通項(xiàng)

41、的三種題型訓(xùn)練及求和題型訓(xùn)練1、 基本量的運(yùn)算求通項(xiàng)，在專題一中已經(jīng)體現(xiàn)2、利用ns與na關(guān)系求通項(xiàng)，重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的步驟 解題. 當(dāng) n=1 時(shí)，. 當(dāng) n2 時(shí)，1nnnass另解：ns1ns檢驗(yàn)： n=1 時(shí)，得：na=精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、遞推公式求通項(xiàng)，關(guān)鍵是將幾個(gè)常見遞推數(shù)列模型構(gòu)造成等差、等比數(shù)列，難點(diǎn)是學(xué)生對(duì)構(gòu)造出的新數(shù)列的理解所面臨的困難如：數(shù)列3na中，它的首項(xiàng)是誰？通項(xiàng)是誰？第n+1 項(xiàng)是誰？第n-1 項(xiàng)是誰？若證明此數(shù)

42、列是等比數(shù)列需要證明什么？數(shù)列1na中，它的首項(xiàng)是誰？通項(xiàng)是誰？第n+1 項(xiàng)是誰？第n-1 項(xiàng)是誰？若證明此數(shù)列是等差數(shù)列需要證明什么？數(shù)列nsn中， 它的首項(xiàng)是誰？通項(xiàng)是誰？第n+1 項(xiàng)是誰？第n-1 項(xiàng)是誰？若證明此數(shù)列是等差數(shù)列需要證明什么？4、數(shù)列求和關(guān)鍵是先確定通項(xiàng)，再由通項(xiàng)的特征去選擇相應(yīng)的方法求和，難點(diǎn)是分析、識(shí)別通項(xiàng)的特征. 回扣必修五教材：ns與na關(guān)系的有： p44 例題 3；p45 練習(xí) 2 題；遞推數(shù)列相關(guān)的有：p30 例 2；p33 a 組第 4 題、 5 題、 6 題； p34 b 組第 1題、 3 題； p69 b組 6 題求和類型的有：p47 b 組第 4 題；

43、 p61 a 組第 4 題； p62 b 組第 1 題專題三數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的綜合題重點(diǎn)： 1、從函數(shù)觀點(diǎn)理解na、ns是關(guān)于 n 的函數(shù)2、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要分兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要從分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法來解決. 3、數(shù)列與解析幾何問題，一般利用解析幾何中曲線與直線的聯(lián)立求得通項(xiàng)公式，再用放縮法和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來解決問題4、將本部分拆解為小專題訓(xùn)練，降低學(xué)生的理解難度。如數(shù)列最值問題證明數(shù)列不等式之放縮技巧 數(shù)列與解析幾何等. 回扣必修五教材：p45 例

44、 4；p68 復(fù)習(xí)參考題a組第 11 題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載專題四數(shù)列應(yīng)用題1、知識(shí)歸納：現(xiàn)實(shí)生活中涉及到存貸利息、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)、產(chǎn)量增加、工作效率、 圖形面積、曲線長(zhǎng)度等實(shí)際問題，常常與數(shù)列有關(guān)，需考慮用數(shù)列的知識(shí)來加以解決2、難點(diǎn)：靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)，解決有關(guān)數(shù)列的綜合問題3、關(guān)鍵：解數(shù)列應(yīng)用題的步驟一般要經(jīng)歷“設(shè)列解答”四個(gè)環(huán)節(jié)審題： 仔細(xì)讀題，理解題意，達(dá)到如下要求：明確問題屬于下列哪類數(shù)列模型：等差數(shù)列模型，等比數(shù)列模型，遞推

45、數(shù)列模型，分期付款模型等明確題目中的主要已知事項(xiàng)( 即條件 ) ，用數(shù)列中的什么量來表達(dá)明確所求結(jié)論是什么，是求na，還是ns？還是求 n? (2) 建模 ：抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)⒆兞?，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言， 將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，寫出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式(3) 求解 ：運(yùn)用相關(guān)數(shù)列知識(shí)解答該數(shù)列問題(4) 還原 ：將解答結(jié)果還原為實(shí)際問題，需注意結(jié)論是否符合實(shí)際模型一等差數(shù)列、等比數(shù)列模型使用情景與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)解題步驟通過審題先判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，再確定數(shù)列的相關(guān)基本量，再利用基本

46、數(shù)列知識(shí)解題例 1某企業(yè)自20xx年 1 月 1 日正式投產(chǎn)，環(huán)保監(jiān)測(cè)部門從該企業(yè)投產(chǎn)之日起對(duì)它向某湖區(qū)排放污水進(jìn)行了四個(gè)月的跟蹤監(jiān)測(cè)，檢測(cè)的數(shù)據(jù)如下表并預(yù)測(cè)，如果不加以治理，該企業(yè)每月向湖區(qū)排放污水的量將成等比數(shù)列. 月份1 月2 月3 月4 月該企業(yè)向湖區(qū)排放的污水（單位：立方米）1 萬2 萬4 萬8 萬( ) 如果不加以治理，求從20xx年 1 月起， m 個(gè)月后，該企業(yè)總計(jì)向某湖區(qū)排放了多少立方米的污水？( ) 為保護(hù)環(huán)境， 當(dāng)?shù)卣推髽I(yè)決定從7 月份開始投資安裝污水處理設(shè)備，預(yù)計(jì) 7 月份的污水排放量比6 月份減少4 萬立方米， 以后每月的污水排放量均比上月減少4 萬立方米， 當(dāng)企

47、業(yè)停止排放污水后，再以每月16 萬立方米的速度處理湖區(qū)中的污水，請(qǐng)問什么時(shí)候可以使湖區(qū)中的污水不多于50 萬立方米？解： ( ) 由題意知：企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污水量成等比數(shù)列，設(shè)第一個(gè)月污水排放量為1a，則11a，公比為2 則第 m個(gè)月的污水排放量為12mma如果不治理， m 個(gè)月后的污水總量為：211212222112mmmms（萬立方米）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載( ) 由( ) 知632a，則728a由 題意知，從7月份開始，企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污

48、水量成等差數(shù)列，公差為4，記 7 月份企業(yè)向湖區(qū)排放的污水量為1b，則28(1)( 4)324nbnn令3240,8nbnn所以該企業(yè)2013年2月向湖區(qū)停止污水排放則該企業(yè)共排污水68 (28 0)63 112 1752s（萬立方米）設(shè)x 個(gè)月后污水不多于50萬立方米則1251751650,16xx10分因?yàn)?257816，所以8個(gè)月后即2013年10月污水不多于50萬立方米模型二遞推數(shù)列模型使用情景與遞推數(shù)列相關(guān)解題步驟通過審題得出遞推公式，再利用遞推模型構(gòu)造新等差數(shù)列、等比數(shù)列例 2. 某企業(yè)投資1000 萬元于一個(gè)高科技項(xiàng)目，每年可獲利25% 。由于企業(yè)間競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需要從利潤(rùn)中

49、取出資金200 萬元進(jìn)行科研、 技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率，問經(jīng)過多少處后，該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到或超過翻兩番（4 倍）的目標(biāo)？（1g2=0.3 ） . 123,naaaa解 : 設(shè)該企業(yè)逐年的項(xiàng)目資金數(shù)依次為則由已知11155125%200* ,200,44nnnnnnaannaaaxax即令1151445200,800,800800* ,44nnnnaaxxxaann即由得111115800250*45800800.41000 125%2001050,5800250,800250,4nnnnnannaaaaa故是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1554000,800250400016,445lglg16413lg 24lg 2,lg 20.3,0.11.212nnnannnn由題意即即故回