DFT對稱性的驗證以與應用課程設計報告書

1、下載可編輯1 DFT 基礎知識1.1 離散傅立葉變換 （DFT）定義在實際應用中 ，經常遇到的是有現場的非周期序列 ，需要知道的是如何獲取有限長序列的離散頻譜 。 事實上 ，完全可以借助離散傅里葉級數 ，來研究有限長序列頻譜的離散化?？梢栽O x(n)是一個長度為 M 的有限長序列 ，則定義 x(n)的 N 點離散傅里葉變換為 ：正變換：N 1j 2 nkN 1nkx(n)eNX (k ) =DFT x( n) = n 0= n 0x(n)WN0 k N 1反變換：1N 1X ( k) e2kn1N 1X (k)WN nkNjx(n) =IDFT X (k ) = N k 0= N k 00 n

2、 N 1或N 1x(n)WNnkX (k ) n 0RN(k) X (k) RN (k)1N 1nkX ( k)WNx(n)= N k 0RN(n) = x( n) RN (n)j 2式中 WNe N，N 稱為 DFT 變換區(qū)間長度 ， N M。DFT 隱含有周期性 。1.2 復共軛序列的DFT設 x* (n) 是 x(n) 的復共軛序列 ，長度為 N，則（ 1）已知X (k ) DFT x(n) 則DFT x* (n) = X * (N k)0 k N 1且.專業(yè) .整理 .下載可編輯X(N)X(0)（2）已知X (k ) DFT x(n) 則DFT x* ( N n) = X * (k )

3、0 k N 11.3 DFT 的共軛對稱性DFT 有對稱性 ，但由于 DFT 中討論的序列 x(n) 及其離散傅立葉變換 X (k ) 均為有限長序列，且定義區(qū)間為 0 到 N-1 ，所以這里的對稱性是指關于 N/2 點的對稱性 。下面討論 DFT 的共軛對稱性質 。有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列長度為 N 的有限長序列 x(n) ,若滿足x(n)x* ( Nn) ,0nN1（ 1.1）稱序列 x(n) 為共軛對稱序列 ，一般用 xep ( n) 來表示 。若滿足x( n)x* ( Nn) ,0nN1（ 1.2）稱序列 x(n) 為共軛反對稱序列 ，一般用 xop (n) 來表示即xep(

4、 n) = xep* (Nn) ,0 n N-1xop (n) = xop* ( Nn) ,0 n N-1當 N 為偶數時 ，把 nNn 代入式（ 1.1）與式（ 1.2），得2xep ( Nn) xep* ( NNn) , 0 n1222（1.3）xop ( Nn)xop* ( Nn),0 nN1222（ 1.4）式（ 1.3）與式（ 1.4）說明共軛對稱序列與其共軛序列以nN / 2 成偶對稱 ，共軛反.專業(yè) .整理 .下載可編輯對稱序列與其共軛序列以 nN /2成奇對稱 。當 N 為奇數時 ，把 nN1 n 代入式（1.1）與式（1.2），得2xep ( N 1n)xep* ( N 1n

5、),0 nN 11（1.6）2xop ( N 12xop( N 1n) ,0n21n)N 1*222（1.6）式（ 1.5）與式（ 1.6）說明共軛對稱序列與其共軛序列以n( N1)/2成偶對稱 ，共軛反對稱序列與其共軛序列以n(N1)/ 2成奇對稱 。設一長度為 N 的有限長序列 x(n) ，令xep (n)1 x(n)x(Nn)2xop (n)1x( Nn) x(n)2則有x( n)xep(n)xop ( n)（ 1.7）這說明任一有限長序列 ，都表示成一個共軛對稱序列與共軛反對稱序列的和 ，在頻域下同樣有類似結論X (k )X ep (k )X op (k)式中（ 1.9）（ 1.8）X

6、 ep (k )1 X (k) X (N k)2X op (k)1 X (k) X ( N k )2（ 1.10）共軛對稱性分析（ 1）當 x(n)為長度 N 的復數序列時 ,有x(n) xr (n)jx i (n)0nN 1DFT xr (n)1DFT x(n)x*(n)2.專業(yè) .整理 .下載可編輯=1 X (k ) X ( N k) 2=X ep (k )(1.11)同理可得DFT jx i (n)1 DFT x( n) x* ( n) X op (k )(1.12)2即X (k)X ep (k )X op (k )式（1.11 ）和（1.12）說明復數序列實數部分的離散傅立葉變換是原來

7、序列離散傅立葉變換的共軛對稱分量；復書序列虛數部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅里葉變換的共軛反對稱分量 。另一方面 ，由式（1.7）知有限長序列可分解為共軛對稱分量與共軛反對稱分量，即x(n) = xep (n) + xop (n)可得其離散傅立葉變換DFT xep (n)1 DFT x(n)2=（ 1.13）同理可得0nN1x* ( Nn)Re X (k)DFT xop (n)1 DFT x(n) x* ( N n)2=j Im X ( k)（ 1.14）即X (k)X R (k)jX I (k)上面兩式說明復序列共軛對稱分量序列的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的實數部分 ；復序

8、列共軛對稱分量的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的虛數部分。綜上可得到有限長復序列的DFT 的共軛對稱性質如下 將有限長序列 x(n)分成實部與虛部 ，即：.專業(yè) .整理 .下載可編輯x(n) xr (n) jx i ( n)0nN1則：X (k ) Xep( k ) X op (k) 將有限長序列 x(n)分成共軛對稱部分和共軛反對稱部分，即x( n) = xep( n) + xop (n) ， 0nN1則：X (k) X R (k) jX I ( k)（ 2）當 x(n)為長度 N 的實數序列或純虛數序列時 ,有當 x(n)為實序列時 ，則X (k)X ep (k )又據 X ep

9、(k ) )的對稱性 ：Xep(k)X*( Nk)NR ( k)epN有X (k)X * ( Nk) N RN (k )當 x(n)為純虛序列時 ，則X (k)X op (k)又據 X op ( k) )的對稱性 ：X op ( k)X op* ( k ) N RN ( k)有X (k)X * ( k) N RN (k )離散傅立葉變換的對稱性，在求實序列的離散傅立葉變換中有重要作用。例如，有兩個實數序列 x1 (n) 和 x2 ( n) ，為求其離散傅立葉變換 ，可以分別用 x1 (n) 和 x2 (n) 作為虛部和實部構造一個復數序列 x(n)，求出 x(n)的離散傅立葉變換 X (k )

10、 ，然后根據式 （1.9）和（ 1.10 ）得到 X ( k) 的共軛對稱分量 X ep (k) 和 X op (k) ，分別對應 X 1 (k ) 和 X 2 (k) ，從而實現一次 DFT 的計算可得到兩個序列 DFT 的高效算法 。而 DFT 可以通過一次快速 FFT 變換來實現。.專業(yè) .整理 .下載可編輯.專業(yè) .整理 .下載可編輯2程序設計與分析本次課設計分兩個部分 ，一個是要驗證 N 點的 DFT的對稱性 ，另一個是要用一次快速傅立葉變換 FFT實現兩個序列的 DFT2.1 N 點DFT對稱性的驗證程序流程圖由于函數 ezplot 只能畫出既存在 Symbolic Math To

11、olbox中又存在于總 matlab 工具箱中的函數 ，而gedc （實信號分解為循環(huán)偶分量和循環(huán)奇分量 ）和dft( 計算離散付利葉變換 ) 僅存在 Symbolic Math Toolbox 中，因此需要在自己的工作目錄 work 下創(chuàng)建 。 此后可以直接調用這些函數 。 N 點的 DFT的對稱性驗證流程圖如圖 2-1 所示開始.專業(yè) .整理 .下載可編輯n=0:N-1程序編寫與結果分析輸入 x 序列首先在目錄 work 下創(chuàng)建 gedc 的 M 文件， gedc 的 M 文件是用來生成共軛對稱分量與共軛反對稱分量的 ，程序求如x下序：列的共軛對稱與反對稱分量functionxec,xoc

12、=gedc(x);N=length(x); 畫出共軛對稱與反對稱分量圖形 n=0:(N-1);xec=0.5*(x + x(mod(-n,N)+1);求出 X(K) ， Xep，Xop xoc=0.5*(x - x(mod(-n,N)+1);再是在目錄 work 下創(chuàng)畫建出dftreal(X(K)的M文件),imag(X(K)，dft為離散)傅，立Xep葉變，換Xop，的程圖序形如下 ：functionXk=dft(xn,N);n=0:1:N-1;結束k=0:1:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);圖 2-1 驗證對稱性流程圖nk=n'*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*W

13、Nnk;主程序：N=12 ，序列為 x=2.5 0 1.6 -3 -2 2 1.6 -3 -1 4 4.5 -2 的程序設計與結果分析程序：figure(1)n=0:11;x=input('請輸入序列 x=');xep,xop=gedc(x);subplot(2,1,1);stem(n,xep);title(' 共軛對稱分量 ')xlabel('n');.專業(yè) .整理 .下載可編輯ylabel('xep');axis(-0.5,12.5,-3,4);subplot(2,1,2);stem(n,xop);title(' 共軛

14、反對稱分量 ');xlabel('n');ylabel('xop');axis(-0.5,12.5, -4,4);figure(2)X=dft(x,12) ;Xep=dft(xep,12);Xop=dft(xop,12);subplot(2,2,1);stem(n,real(X);axis(-0.5,12.5,-10,10);title(' real(X)');xlabel('k');subplot(2,2,2);stem(n,imag(X);axis(-0.5,12.5,-17,17);title(' imag(

15、X)');xlabel('k');subplot(2,2,3);stem(n,Xep);axis(-0.5,12.5, -10,10);title('DFTxep(n)');xlabel('k');subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xop);.專業(yè) .整理 .下載可編輯axis(-0.5,12.5,-17,17);title('DFTxop(n)');xlabel('k');結果：圖 2-2共軛對稱分量與共軛反對稱分量.專業(yè) .整理 .下載可編輯10real(X )imag(X)5100

16、0-5-10-1051005100kk10DFTxep(n)DFTxop(n)51000-5-10-1051005100kk圖 2-3對稱性的驗證圖形分析：從圖 2-3 可以看出復數序列實數部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛對稱分量 ；復數序列虛數部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛反對稱分量 。 復序列共軛對稱分量序列的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的實數部分 ；復序列共軛反對稱分量的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的虛數部分 。從而驗證了 DFT 的對稱性 。2.2 用一次 FFT實現兩個序列的 DFT程序流程圖一次快速傅立葉變換 FFT實現兩個

17、序列的 DFT流程圖如圖 2-4 所示 。開始輸入x= x1 (n) +j x2 (n)調用 fft 函數.專業(yè) .整理 .下載可編輯得到X 1 (k) 和 X 2 ( k)結束圖 2-4一次 FFT 變換實現兩序列的DFT程序編寫與結果分析程序：x1=input( '請輸入序列 x1=' );x2=input( '請輸入序列 x2=' );N=input( '請輸入 N=' );x=x1+j*x2;X=fft(x,N);k=0:N-1;c=conj(X);Xep=0.5*(X+ c(mod(-k,N)+1);Xop=-j*0.5*(X- c(m

18、od(-k,N)+1);X1=XepX2=Xopsubplot(2,1,1);stem(k,X1);xlabel( 'k' );ylabel('X1' );axis(-0.5,7.5,-10,40);subplot(2,1,2);stem(k,X2);xlabel( 'k' );ylabel('X2' );axis(-0.5,7.5,-10,40);結果：當運行程序時 ，會出現提示 ，按提示輸入 x1=1 3 5 2 4 6 3 5 2 6 ，x2=1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 ，N=10, 程序運行結果如下

19、：.專業(yè) .整理 .下載可編輯X1 和 X2 分別為 x1,x2 的離散傅立葉變換 ，X1 和 X2 的圖形如圖 2-7 所示.專業(yè) .整理 .下載可編輯圖 2.5X1， X2 的離散傅立葉變換當直接調用 DFT 時，程序運行結果和上面的是相同的 ，從而實現了用一次 FFT實現了兩個序列的 DFT。3 課程設計心得體會本次課程設計主要是運用本學期所學到的數字信號處理的基礎知識來設計一個符合要求的matlab程序來進行DFT 對稱性的驗證以及應用 ，本次設計不僅要求我們要掌握數字信號處理課程的基礎知識，還要求我們對matlab編程有深刻的理解和掌握。用新的語言去解決工程問題根本不需要先掌握某一門語言，有效的方法是先了解那門語言的一些基本函數，然后熟悉界面 ，就可以開始編了 。 拿到一個課題 ，不要急于坐在電腦前開始編程，因為當你坐在電腦前都不知道該干什么時，你就是對課題了解得不夠。 你首先需要的是透徹分析課題，把你要解決的問題寫下來和列出各種可能情況。接下來 ，就考慮看用什么樣的算法去解決 ，等到這一切都定下來后就可以開始著手編程了，如果你不熟悉語言的話 ，過程中會碰到很多問題 ，例如，不知道用什么樣的函數去實現