物理競(jìng)賽精彩講解——動(dòng)量和能量

1、動(dòng)量和能量第一講基本知識(shí)介紹一、沖量和動(dòng)量1、沖力（ft圖象特征）-> 沖量。沖量定義、物理意義沖量在f-t圖象中的意義一從定義角度求變力沖量（f對(duì)t的平均作用力）2、動(dòng)量的定義動(dòng)量矢量性與運(yùn)算二、動(dòng)量定理1、定理的基本形式與表達(dá)2、分方向的表達(dá)式:s |x = a px , s|y = a py ap3、定理推論：動(dòng)量變化率等于物體所受的合外力。即二工f外at三、動(dòng)量守恒定律1、定律、矢量性2、條件a、原始條件與等效b、近似條件c、某個(gè)方向上滿足a或b,可在此方向應(yīng)川動(dòng)量守恒定律四、功和能1、功的定義、標(biāo)量性，功在fs圖象中的意義2、功率，定義求法和推論求法3、能的概念、能的轉(zhuǎn)化和守恒

2、定律4、功的求法a、恒力的功：w = fscos a = fsf = fs sb、變力的功：基本原則過程分割與代數(shù)累積；利用fs圖彖（或先尋求f對(duì)s的平均作用力）c、解決功的“疑難雜癥”時(shí)，把握“功是能最轉(zhuǎn)化的量度”這一要點(diǎn)五、動(dòng)能、動(dòng)能定理1、動(dòng)能（平動(dòng)動(dòng)能）2、動(dòng)能定理a、為w的兩種理解b、動(dòng)能定理的廣泛適用性六、機(jī)械能守恒1、勢(shì)能a、保守力與耗散丿j（非保守力）一勢(shì)能（定義：aep= w保）b、力學(xué)領(lǐng)域的三種勢(shì)能（重力勢(shì)能、引力勢(shì)能、彈性勢(shì)能）及定量表達(dá)2、機(jī)械能3>機(jī)械能守恒定律a、定律內(nèi)容b、條件與拓展條件（注意系統(tǒng)劃分）c、功能原理：系統(tǒng)機(jī)械能的增聚等于外力與耗散內(nèi)力做功的代

3、數(shù)和。七、碰撞與恢復(fù)系數(shù)1、碰撞的概念、分類（按碰撞方向分類、按碰撞過程機(jī)械能損失分類） 碰撞的基本特征：a、動(dòng)量守恒；b、位置不超越；c、動(dòng)能不膨脹。2、三種典型的碰撞a、彈性碰撞：碰撞全程完全沒有機(jī)械能損失。滿足mivio + m2v2o = 口卜】+ m2v29mivmw。解以上兩式（注意技巧和“不合題意”解的舍棄）可得:（m, -m2）v10 +2v20（m2 -+ 2v10vi = , v2 =hi + m2m2 + m,對(duì)于結(jié)果的討論： 當(dāng)mx = m2時(shí)，vi = v20 ，v2 = vi0 ,稱為"交換速度”； 當(dāng)mi << rr»2 ,且v20

4、 = 0, vi心vi0 , v2 0 ,小物碰人物，原速率返回； 當(dāng) mi >> uh ,且 v2o = o 時(shí)，vi 心 vio , v2 心 2vio ,b、非（完全）彈性碰撞：機(jī)械能有損失（機(jī)械能損失的內(nèi)部機(jī)制簡(jiǎn)介），只滿足動(dòng)雖守恒定律c、完全非彈性碰撞：機(jī)械能的損失達(dá)到最人限度；外部特征：碰撞后兩物體連為一個(gè)整體，故有mivl()+m2v20vi = v2 =mt + m23、恢復(fù)系數(shù)：碰后分離速度(v2 v1)與碰前接近速度(v10 v20)的比值，即:e=o根據(jù)“碰撞的基本特征”，0 w e w 2。v10-v20當(dāng)e = 0，碰撞為完全非彈性；當(dāng)0 v e <

5、 2 ,碰撞為非彈性；當(dāng)e = l，碰撞為彈性。八、“廣義碰撞” 一體的相互作用1>當(dāng)物體z間的相互作用時(shí)間不是很短，作用不是很強(qiáng)烈，但系統(tǒng)動(dòng)雖仍然守恒時(shí), 碰撞的部分規(guī)律仍然適用，但已不符合“碰撞的基木特征”(如：位置可能超越、機(jī)械能 可能膨脹)。此時(shí)，碰撞屮“不合題意”的解可能已經(jīng)有意義，如彈性碰撞'i'vi = v10 , v2 = v20 的解。2、物體zl'可有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，機(jī)械能損失的重要定勢(shì)：一ae二ae內(nèi)二f淆s相,其 中s相指相對(duì)路程。第二講重要模型與專題一、動(dòng)量定理還是動(dòng)能定理物理情形：太空飛船在宇宙飛行時(shí)，和其它天體的萬冇引力可以忽略，但是，飛

6、船會(huì) 定時(shí)遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的 平均質(zhì)量為m，垃圾的運(yùn)行速度可以忽略。飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向 的橫截面積為s ,與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。試求飛船引擎所應(yīng)提供的 平均推力f。模型分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對(duì)飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研 究對(duì)象，是木題的前提。建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對(duì)模糊地處理垃圾與 飛船的作用過程、淡化“作川時(shí)間”和所考查的“物理過程時(shí)間”的差異。物理過程需要 人為截取，對(duì)象是太空垃圾。先用動(dòng)雖:定理推論解題。取一段時(shí)間at ,在這段時(shí)間內(nèi)，飛船要穿過體積厶v二svz

7、的空間，遭遇nav顆太空垃圾，使它們獲得動(dòng)量ap ,其動(dòng)量變化率即是飛船應(yīng)給了那部分垃圾的推力, 也即飛船引擎的推力。- ap am - vm - nav - vm - nsvat v2r = = = = = nmsvat atatat如果用動(dòng)能定理，能不能解題呢？同樣創(chuàng)對(duì)上而的物理過程，由于飛船要前進(jìn)x = vat的位移，引擎推力亍須做功w =fx ,它對(duì)應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動(dòng)能增量，而飛船的a h為零，所以：1 2w= - amv22_ 即：f v a t = （nm s v a t） v22- 1得到：f = nmsv22兩個(gè)結(jié)果不一致，不可能部是正確的。分析動(dòng)能定理的解題，我們不能發(fā)

8、現(xiàn)，垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機(jī)械能，因此，認(rèn)為“引擎做功就等于垃圾 動(dòng)能增加”的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。但在動(dòng)量定理的解題中，iii-ap于1= ft , ill此推出的f =匚必然是飛船對(duì)垃圾的平 at均推力，再對(duì)飛船川平衡條件，匸的人小就是引擎推力人 小了。這個(gè)解沒冇毛病可挑，是正確的。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖1所示，全長l、總質(zhì)量為 m的柔軟繩子，盤在一根光滑的直桿上，現(xiàn)用手握住繩子 的一端，以恒定的水平速度v將繩子拉直。忽略地面阻力, 試求手的拉力f。解：解題思路和上面完全相同。二、動(dòng)量定理的分方向應(yīng)用物理情形：三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b和c ,質(zhì)量分別為mi x m2和m3 ,用拉直且

9、不可伸長的繩子ab和bc 相連，靜止在水平面上，如圖2所示，ab和bc之間的夾角為（n-a）。現(xiàn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)c施加以沖量1 ,amim2方向沿bc，試求質(zhì)點(diǎn)a開始運(yùn)動(dòng)的速度。模型分析：首先，注意“開始運(yùn)動(dòng)”的理解，它指繩了恰被拉直，冇作用力和沖量產(chǎn) 生，但是繩了的方位詢未發(fā)生變化。其二，對(duì)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)均可用動(dòng)最定理，但是，b質(zhì)點(diǎn)受 沖量不在一條直線上，故最為復(fù)雜，可采川分方向的形式表達(dá)。其三，rti于兩段繩子不可 伸長，故三質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以尋求到兩個(gè)約束關(guān)系。下面具體看解題過程繩拉直瞬間，ab繩對(duì)a、b兩質(zhì)點(diǎn)的沖量大小相等（方向相反），設(shè)為i）, bc繩對(duì)b、 c兩質(zhì)點(diǎn)的沖量人小相等（方向相反），設(shè)為

10、l ；設(shè)a獲得速度w （由于a受合沖量只有l(wèi)，方向沿ab ,故w的反向沿ab）,設(shè)b獲得速度v2 （由于b受合沖量為v!2,矢量 和既不沿ab ,也不沿bc方向,可設(shè)v2與ab繩夾角為兀一0，如圖3所示），設(shè)c獲得速度vs （合沖罐i +1,沿bc方向，故v3沿bc方向）。對(duì)a用動(dòng)量定理，冇：11 = mi vib的動(dòng)量定理是一個(gè)矢量方程：i1+!2=ni2v2 , nj化為兩個(gè)分方向的標(biāo)量式，即：leos a ii = m2 v2cos 3lsin a = m2 v2sin p質(zhì)點(diǎn)c的動(dòng)量定理方程為：i l = m3 v3ab繩不可伸長，必冇vi = v2cos pbc繩不可伸長,必有v2c

11、os ( p a ) = v3六個(gè)方程解/'、個(gè)未知量（il、i2、vi、v2v：. . （3 ）是可能的，但繁復(fù)程度非同般。解方程要注意條理性,否則易造成混亂。建議采取如下步驟1、先用式消掉也、v3 ,使六個(gè)一級(jí)式變成四個(gè)二級(jí)式:ii = mi vileos a ii = m2 vilsin a = m2 vi tg p(3)i t2 = m3 vi (cos a + sin a tg p )(4)2、解式消掉b,便四個(gè)二級(jí)式變成三個(gè)三級(jí)式：ii = mi vihcos a i i = m2 vitf m9 + m. sin2 a1 = nu vi cos a + l二m23、最后對(duì)

12、式消i】、12,解就方便多了。結(jié)果為:im2 cos am2(m1 + m2 +m3) + mlm3sin2 a(學(xué)生活動(dòng)：訓(xùn)練解方程的條理和耐心)思考：v2的方位角13等于多少？解：解“二級(jí)式”的(1)(2)(3)即可。代入消i，得12的表達(dá)式，將【2的表達(dá)式代 入就行了。,/ mi + m? 、答：p = arc tg ( ! tga )。m2三、動(dòng)量守恒中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題物理情形：在光滑的水平地面上，有-輛車，車內(nèi)有一個(gè)人和n個(gè)鉛球，系統(tǒng)原來處 于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)車內(nèi)的人以一定的水平速度將鉛球一個(gè)一個(gè)地向車外拋出，車子和人將獲 得反沖速度。笫過程，保持每次相對(duì)地面拋球速率均為v ,直到將球拋完

13、；笫二過程, 保持每次相對(duì)車了拋球速率均為v ,直到將球拋完。試問：哪一過程使車了獲得的速度 更大？模型分析：動(dòng)量守恒定律必須選取研究對(duì)彖z外的笫三方(或第四、笫五方)為參照 物，這意味著，本問題不能選車子為參照。-般選地面為參照系，這樣對(duì)“笫二過程”的 鉛球動(dòng)量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對(duì)速度與絕對(duì)速度的關(guān)系。至于“第一過程”, 比較簡(jiǎn)單：n次拋球和將n個(gè)球一次性拋出是完全等效的。設(shè)車和人的質(zhì)量為m ,每個(gè)鉛球的質(zhì)量為m。由于矢疑的方向落在一條肓線上，可 以假定一個(gè)正方向后，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。設(shè)車速方向?yàn)檎?，且第一過程獲得的速 度大小為v,笫二過程獲得的速度大小為v2 0笫一過程，

14、由于鉛球每次的動(dòng)量都相同，可將多次拋球看成一次拋出。年子、人和n 個(gè)球動(dòng)雖守恒。0 = nm (-v) + mvi得：vi =nmvm第二過程，必須逐次考查鉛球與車了(人)的作用。第一個(gè)球與(n-1)個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為山。值得注意的是,根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則它球t地球t車+車t地，鉛球?qū)Φ氐乃俣炔⒉皇牵?quot;i,而是（-v + ui）o它們動(dòng)量守恒方程為：0 = m（-v + ui） + （m +（nt）m） uizhm得：ui 二vm + nm笫二個(gè)球與（n -2）個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為山。它們動(dòng)量守t旦方稈為:u2(m+(nt)m) ui

15、 = m(-v + 出)+m+(n-2)m)z.fmm得：u2 二v + vm + nm m + (n - l)m笫三個(gè)球與（n -2）個(gè)球.人、車系統(tǒng)作用,完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為山。鉛球得:mu3 二vm + nmmm + (n-2)m對(duì)地的速度是（"v + u3）o它們動(dòng)量守恒方程為:u3(m+(n-2)m) u2 = m(-v + u3) +m+(n-3)m)以此類推（過程注意:先找山和ui關(guān)系，再看山和v的關(guān)系，不要急于化簡(jiǎn)通分）g的通式已經(jīng)可以找出：v2 二 un =mm + nmmm + (n-2)mn m即:v2ill/ v臺(tái) m + im我們?cè)賹⑹礁膶懗?'

16、v.二 j-v 臺(tái)m不難發(fā)現(xiàn)，'式和式都有n項(xiàng)，每項(xiàng)的分子都相同，但'式屮每項(xiàng)的分母都比式中的分母小，所以有：£ > v2。結(jié)論：笫一過程使車子獲得的速度較大。（學(xué)生活動(dòng)）思考：質(zhì)量為m的車上，有n個(gè)質(zhì)量均為m的人，它們靜止在光滑的水 平地面上?，F(xiàn)在車上的人以相對(duì)車大小恒為v、方向水平向后的初速往車下跳。第一過程, n個(gè)人同時(shí)跳下；第二過程，n個(gè)人依次跳下。試問：哪一次車子獲得的速度較大？解：第二過程結(jié)論和上面的模型完全相同，第一過程結(jié)論為v】=y v。気 m + nm答：第二過程獲得速度大。四、反沖運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要定式物理情形：如圖4所示，長度為l、質(zhì)量為m的

17、船停止在靜水中（但未拋錨），船頭上冇一個(gè)質(zhì)坦:為m的人，也是靜止 的?，F(xiàn)在令人在船上開始向船尾 走動(dòng)，忽略水的阻力，試問：當(dāng) 人走到船尾時(shí)，船將會(huì)移動(dòng)多 遠(yuǎn)？（學(xué)生活動(dòng)）思考：人可不 可能勻速（或勻加速）走動(dòng)？當(dāng) 人中途停下休息，船有速度嗎？人的全程位移大小是l嗎？本系統(tǒng)選船為參照，動(dòng)量守恒 嗎？模型分析：動(dòng)量守恒展示了已知質(zhì)量情況下的速度關(guān)系，要過渡到位移關(guān)系，需要引 進(jìn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)規(guī)律。根據(jù)實(shí)際情況（人必須停在船尾），人的運(yùn)動(dòng)不可能是勻速的，也 不可能是勻加速的，運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律應(yīng)選擇s二vt o為尋求時(shí)間t ,則要抓人和船的位移 約束關(guān)系。對(duì)人、船系統(tǒng)，針對(duì)“開始走動(dòng)一中間任意時(shí)刻”過程，應(yīng)

18、用動(dòng)量守恒（設(shè)末態(tài)人的 速率為v ,船的速率為v）,令指向船頭方向?yàn)橹瓜?，則矢量關(guān)系可以化為代數(shù)運(yùn)算，有:0 二 mv + m（-v）b|j： mv = mv由于過程的末態(tài)是任意選取的，此式展示了人和船在任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度人小關(guān)系。 而且不難推知，対中間的任一過程，兩者的平均速度也有這種關(guān)系。即：mv=mv設(shè)全程的時(shí)間為t ,乘入式兩邊，得：= mvt設(shè)s和s分別為人和船的全程位移人小，根據(jù)平均速度公式，得:ms = ms受船長l的約束,s和s具有關(guān)系：s + s = l解、可得：船的移動(dòng)距離s二一lm + m（應(yīng)用動(dòng)量守恒解題吋，也可以全部都用欠量關(guān)系，但這吋“位移關(guān)系”表達(dá)起來難 度大一些

19、必須用到運(yùn)動(dòng)合成與分解的定式。時(shí)間允許的話，可以做一個(gè)對(duì)比介紹。） 另解：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律ml )2(m + m)人、船系統(tǒng)水平方向沒冇外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無加速度一系統(tǒng)質(zhì)心無位移。先求出初態(tài) 系統(tǒng)質(zhì)心（用它到船的質(zhì)心的水平距離x表達(dá)。根據(jù)力矩平衡知識(shí)，得：x =又根據(jù)，末態(tài)的質(zhì)疑分布與初態(tài)比較，相對(duì)整體質(zhì)心是左右對(duì)稱的。弄清了這一點(diǎn)后，求 解船的質(zhì)心位移易如反掌。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖5所示，在無風(fēng)的天空，人抓住氣球下面的 繩索，和氣球恰能靜止平衡，人和氣球地質(zhì)量分別為m和m，此時(shí)人離地 面高h(yuǎn)?，F(xiàn)在人欲沿懸索下降到地面，試問：要人充分安全地著地，繩索 至少要多長？分安全著地”的含義是不允許人脫離繩

20、索跳躍著地）。解：和模型幾乎完全相同，此處的繩長對(duì)應(yīng)模型中的“船的長度”（“充答:（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖6所示，兩個(gè)傾角相同的斜面，互相倒扣著放在光滑的水平 地面上，小斜面在大斜面的頂端。將它們無初速釋放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知 大、小斜面的質(zhì)量分別為m和m ,底邊長分別為a和b ,試求：小斜面滑到底端時(shí)，大 斜面后退的距離。解：水平方向動(dòng)量守恒。解題過程從略。答： 口 （a-b）。m + m進(jìn)階應(yīng)用：如圖7所示，一個(gè)質(zhì)罐為m ,半徑為r 的光滑均質(zhì)半球，靜迸于光滑水平桌面上，在球頂有一 個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，山靜止開始沿球面下滑。試求：質(zhì)點(diǎn)離開球面以前的軌跡。解說：質(zhì)點(diǎn)下滑，半球后退，這

21、個(gè)物理情形和上而的雙斜而問題十分相似，仔細(xì)分析, 由于同樣滿足水平方向動(dòng)量守怛，故我們介紹的“定式”是適用的。定式解決了水平位移（位咼）的問題，豎t-坐標(biāo)則需要從數(shù)學(xué)的角度想 些辦法。為尋求軌跡方程，我們需要建立一個(gè)坐標(biāo)：以 半球球心0為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)滑下一側(cè)的水平軸為x 坐標(biāo)、豎直軸為y坐標(biāo)。由丁質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球總是做圓周運(yùn)動(dòng)的（離開球 面前），有必要引入相對(duì)運(yùn)動(dòng)中半球球心0/的方位角0來表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的瞬吋位置，如圖8所示。由“定式”，易得:x 二rsingm + m而由圖知：y二rcos 0不難看岀，、兩式實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)軌跡的參數(shù)方程。為了明確軌跡的性質(zhì)，我們可以將參數(shù)0消掉，使它們成為：x2 y

22、2y7這樣，特征就明顯了：質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)長、短半軸分別為r和-r的橢圓。m + m五、功的定義式中s怎么取值在求解功的問題時(shí)，有時(shí)遇到力的作用點(diǎn)位移與受力 物體的（質(zhì)心）位移不等，s是取力的作用點(diǎn)的位移，還 是取物體（質(zhì)心）的位移呢？我們先看下面一些事例。1如圖9所示，人用雙手壓在臺(tái)面上推講臺(tái)，結(jié)果雙 手前進(jìn)了一段位移而講臺(tái)未移動(dòng)。試問：人是否做了功？2、在本“部分”笫3頁圖1的模型中，求拉力做功時(shí), s是否可以取繩子質(zhì)心的位移？3、人登靜止的樓梯，從一樓到二樓。樓梯是否做功?4、如圖10所示，雙手用等人反向的力f壓固定汽缸兩邊的活寒，活塞移動(dòng)相同距離s,汽缸中封閉氣體被壓縮。施力者（人）是

23、否做功?10在以上四個(gè)事例中，s若取作用點(diǎn)位移，只有笫1、2、4例 是做功的（注意笫3例，樓梯支持力的作用點(diǎn)并未移動(dòng)，而只 是在不停地交換作用點(diǎn)），s若取物體（受力者）質(zhì)心位移，只 有第2、3例是做功的，而且，盡管第2例都做了功，數(shù)字并不 和同。所以，用不同的判據(jù)得出的結(jié)論岀現(xiàn)了本質(zhì)的分歧。面對(duì)這些似是而非的“疑難朵癥”，我們先冋到“做功是物體能量轉(zhuǎn)化的量度”這一 根本點(diǎn)。第1例，手和講臺(tái)而摩擦生了熱，內(nèi)能的生成必然是由人的生物能轉(zhuǎn)化而來，人肯定 做了功。s宜取作用點(diǎn)的位移；第2例，求拉力的功，在前面已經(jīng)闡述，s収作用點(diǎn)位移為佳；第3例,樓梯不需要輸出任何能量,不做功，s取作用點(diǎn)位移;第4例，

24、氣體內(nèi)能的增加必然是由人輸出的，壓力做功，s取作用點(diǎn)位移。但是，如果分別以上四例中的受力者用動(dòng)能定理，第1例，人對(duì)講臺(tái)不做功，s取物 體質(zhì)心位移；笫2例，動(dòng)能增量對(duì)應(yīng)s取l/2時(shí)的值物體質(zhì)心位移；笫4例，氣體宏 觀動(dòng)能無增量，s取質(zhì)心位移。（笫3例的分析暫時(shí)延后。）以上分析在援引理論知識(shí)方面都沒有錯(cuò)，如何使它們統(tǒng)一？原來，功的概念有廣義和 狹義z分。在力學(xué)中，功的狹義概念僅指機(jī)械能轉(zhuǎn)換的屋度；而在物理學(xué)中功的廣義概念 指除熱傳遞外的一切能竝轉(zhuǎn)換的量度。所以功也可定義為能量轉(zhuǎn)換的駅度。一個(gè)系統(tǒng)總能 量的變化，常以系統(tǒng)對(duì)外做功的多少來量度。能量可以是機(jī)械能、電能、熱能、化學(xué)能等 各種形式，也可以多

25、種形式的能量同時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)化。由此可見，上面分析中，笫一個(gè)理論對(duì) 應(yīng)的廣義的功，第二個(gè)理論對(duì)應(yīng)的則是狹義的功，它們都沒冇錯(cuò)誤，只是在現(xiàn)階段的教材 中述沒有將它們及時(shí)地區(qū)分開來而已。而且，我們不難歸納：求廣義的功，s取作用點(diǎn)的位移；求狹義的功，s取物體（質(zhì) 心）位移。那么我們?cè)诮忸}中如何處理呢？這里給大家?guī)c(diǎn)建議：1、抽象地講“某某力做的功” 一般指廣義的功；2、講“力對(duì)某物體做的功”常常指狹義的功；3、動(dòng)能定理中的功肯 定是指狹義的功。當(dāng)然，求解功地問題時(shí)，還耍注意具休問題具休分析。如上面的笫3例，就相對(duì)復(fù)雜 些。如果認(rèn)為所求為狹義的功，s取質(zhì)心位移，是做了功，但結(jié)論仍然是難以令人接受 的。下面我

26、們來這樣一個(gè)處理：將復(fù)雜的形變物體（人）看成這樣一個(gè)相對(duì)理想的組合: 剛性物體下面連接一壓縮的彈簧（如圖11所示），人每一次蹌梯，腿仲直將張?bào)w重心上圖11舉，等效為彈簧將剛性物體舉起。這樣，我們就不難發(fā)現(xiàn)，做功的是人的雙 腿而非地而，人既是輸出能量（牛物能）的機(jī)構(gòu)，也是得到能量（機(jī)械能） 的機(jī)構(gòu)這里的物理情形更象是一種生物悄形。木題所求的功應(yīng)理解為廣 義功為宜。以上四例有一些共同的特點(diǎn)：要么，受力物體情形比較復(fù)雜（形變，不 能簡(jiǎn)單地看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。如第2、第3、笫4例），耍么，施力者和受力者z 間的能量轉(zhuǎn)化不是封閉的（涉及到第三方，或機(jī)械能以外的形式。如第1例）。以后，當(dāng) 遇到這樣的問題時(shí)，需耍

27、我們慎重對(duì)待。（學(xué)生活動(dòng)）思考：足夠長的水平傳送帶維持勻速v運(yùn)轉(zhuǎn)。將一袋貨物無初速地放上 去，在貨物達(dá)到速度v之前，與傳送帶的摩擦力大小為f ,對(duì)地的位移為s。試問：求 摩擦力的功時(shí)，是否可以用w = fs ?解：按一般的理解，這里應(yīng)指廣義的功（對(duì)應(yīng)傳送帶引擎輸出的能量），所以“位移” 取作用點(diǎn)的位移。注意，在此處有一個(gè)隱含的“交換作用點(diǎn)”的問題，仔細(xì)分析，不難發(fā) 現(xiàn)，每一個(gè)（相對(duì)皮帶不動(dòng)的）作用點(diǎn)的位移為2s。（另解：求貨物動(dòng)能的增加和與皮 帶摩擦生熱的總和。）答：否。圖12（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖 12所示，人站在船上，通過 拉一根固定在鐵樁的纜繩使 船靠岸。試問：纜繩是否對(duì)船 和人的系統(tǒng)做

28、功？解：分析同上面的“第3 例”。答：否。六、機(jī)械能守恒與運(yùn)動(dòng)合成（分解）的綜合物理情形：如圖13所示，直角形的剛性桿被固定，水平和豎直部分均足夠氏。質(zhì)量 分別為hh和朧的a、b兩個(gè)有孔小球，串在桿上，且被長為l的輕繩相連。忽略兩球的人 小，初態(tài)時(shí)，認(rèn)為它們的位迸在同一高度，且細(xì)處于拉直狀態(tài)。現(xiàn)無初速地將系統(tǒng)釋放, 忽略一切摩擦，試求b球運(yùn)動(dòng)1/2時(shí)的速度v2。模型分析：a、b系統(tǒng)機(jī)械能守恒。a、b兩球的 瞬時(shí)速度不等，其關(guān)系可據(jù)“第三部分”知識(shí)介紹（學(xué)生活動(dòng)）a球的機(jī)械能是否守恒？ b球的機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)機(jī)械能守恒的理由是什么（兩法分析：a、“微元法”判斷兩個(gè)w：的代數(shù)和為零；b、無非彈

29、性碰撞，無摩擦，沒有其它形式能的生成）？a的定式（滑倫小船）去尋求。由“拓展條件”可以判斷，八、b系統(tǒng)機(jī)械能守13恒，（設(shè)末態(tài)a球的瞬時(shí)速率為）過程的方程為:吋=+訓(xùn)必在末態(tài)，纟也與水平桿的瞬時(shí)夾角為30° ,設(shè)繩子的瞬時(shí)遷移速率為v ,根據(jù)“笫三部分”知識(shí)介紹的定式，有:vi = v/cos30° , v2 = v/sin30°兩式合并成：vi = v2 tg30° = v2/v3解、兩式，得：v23m2glm( + m2七、動(dòng)量和能量的綜合（一）物理悄形：如圖14所示，兩根長度均為l的剛性輕桿，一端通過質(zhì)疑為m的球形較鏈連接，另-端分別與質(zhì)量為m和加

30、的小球相連。將此裝直的兩桿合攏，餃鏈在上、豎直地放在水平桌面上，然后輕敲一下，使兩小球向兩邊滑 動(dòng)，但兩桿始終保持在豎直平面內(nèi)。忽略一切摩擦，試求: 兩桿夾角為90°時(shí),質(zhì)量為2m的小球的速度v2。模型分析：三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒、水平方向動(dòng)量守恒, 并注意約束關(guān)系兩桿不可伸長。（學(xué)生活動(dòng)）初步判斷：左邊小球和球形餃鏈的速度方 向會(huì)怎樣？設(shè)末態(tài)（桿夾角90° ）左邊小球的速度為w （方向：水平向左），球形餃鏈的速度為v （方向:和豎直方向夾8角斜向左）,對(duì)題設(shè)過程，三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：r , v2 .1.1 2mg( l-l) = mv； + 時(shí) +2 212k英三球系統(tǒng)水

31、平方向動(dòng)量守恒，有：mmvi + mvsi n b = 2mv24、45詢 左邊桿子不形變，有：»十vicos45° = vcos (45° - 9 )/v i、右邊桿了不形變，有：v1/ 、 巾m2mvcos (45° +()二 v2cos45°,圖15四個(gè)方程，解四個(gè)未知量3、v2、v和0），是可行的。推薦解方程的步驟如下-1、兩式用v2替代w和v ,代入式，解8值，得：tge= 1/42、在回到、兩式,得:5v17v = v2 , v = v23gl(2 - 忑)v 20333、將v】、v的替代式代入式解v2即可。結(jié)果：v2（學(xué)生活動(dòng)）思

32、考：球形鐵鏈觸地前一瞬，左球、餃鏈和右球的速度分別是多少?解：由兩桿不可形變，知三球的水平速度均為零，e為零。一個(gè)能量方程足以解題。00"x圖16（學(xué)生活動(dòng)）思考：當(dāng)兩桿夾角為90。時(shí)，右邊小球的位移是多少?解：水平方向用“反沖位移定式”，或水平方向用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。處 3v2t答：l。8進(jìn)階應(yīng)用：在本講模型“四、反沖”的“進(jìn)階應(yīng)用”（見 圖8）屮，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)in滑到方位角9時(shí)（未脫離半球），質(zhì)點(diǎn)的速 度v的人小、方向怎樣？解說：此例綜合應(yīng)用運(yùn)動(dòng)合成、動(dòng)量導(dǎo)恒、機(jī)械能守恒知 識(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁復(fù)，是一道考查學(xué)生各種能力和素質(zhì)的難 題。據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成，有:v點(diǎn)t半球=v點(diǎn)t地+ v地t半球=v

33、點(diǎn)t地-v半球一地其中©半球t地必然是沿地而向左的，為了書寫方便，我們?cè)O(shè)其大小為也；0點(diǎn)-半球必 然是沿半球瞬時(shí)位置切線方向（垂宜瞬時(shí)半徑）的，設(shè)人小為v相。根據(jù)矢量減法的三 角形法則，可以得到它點(diǎn)-地（設(shè)大小為）的示意圖，如圖16所示。同吋，我們將w 的x、y分量5和g也描繪在圖中。由圖可得：v” 二(v2 + vlx) tg 0質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有：mv2 = mvix對(duì)題設(shè)過程，質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：mgr（l-cos（）二丄mv； +丄mv；,2 2即：1 7 1mgr(l-cos 9 ) = m v9 + m2 - 2vlx 、vly）是可行的，但數(shù)學(xué)

34、運(yùn)算繁復(fù)，推薦步驟如1、由、式得:2、代入式解v2 ,得:v2 =2m2gr(l -cos0)m2 + mm + (m + m)2 tg29三個(gè)方程，解三個(gè)未知量(v2、vi由v,!2gr(l -cos0)(m2 +2mmsin2 0 + m2 sin2 0)m2 + mm + m(m + m)sin2 0v】的方向：和水平方向成a角，a二arctg= arctg （ + 1 tg0 ）v.xm這就是最后的解。一個(gè)附屬結(jié)果：質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球的瞬時(shí)角速度 3二頂二r/2g（m + m）（l-cos0） r（m + msin20） °八、動(dòng)量和能量的綜合（二）物理情形：如圖17所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量為m = 1 kg的平板車左端放冇質(zhì)量為m二2 kg的鐵塊，鐵塊與車之間的摩擦因素0.5 o開始時(shí)，車和鐵塊以共同速 度v = 6 m/s向右運(yùn)動(dòng)，車與右邊的墻樂發(fā)牛正碰，且碰撞是彈性的。車身足夠長，使鐵塊不能和墻相碰。重力加速度g = 10 m/s2，試求：1、鐵塊相對(duì)車運(yùn)動(dòng)的總路程；2、平板車第一次碰墻后所走的總路程。模型分析：本模型介紹有兩對(duì)相互作用吋的處理常規(guī)。能屋關(guān)系介紹摩擦生熱定式的應(yīng)用。由于過17程比較復(fù)雜，動(dòng)量分析還要輔助以動(dòng)力學(xué)分析，綜合程