第22屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(初2第2試)

1、第二十二屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二 第2試一、選擇題（每小題4分，共4（）分.）以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答 案的英文字母寫在每題后面的圓括號(hào)內(nèi).1-已知牛 z，c=則c之間的人小關(guān)系是（a. b>cd.不能確定b- b = cc- b<c則 b>c.2.已知/一（，=7,則代數(shù)式ax -: j的值是(a + 2 ci 2a +1 ci 1)a. 37b. -c. 42d. 5【解析】d.求值式=2)s 2) .(a_).(q + )=(q_2)(d + l) = d2_d_2 = 5.心 + 2(«-1)3. 一個(gè)凸四邊形的四個(gè)內(nèi)角可

2、以（）a.都是銳角b.都是直角c.都是鈍角d.有三個(gè)是直角，另一個(gè)是銳角或鈍角【解析】b.由四邊形的外角和為360于是不能每個(gè)外角都是銳角或者鈍角.選b.4. 如果直線y = 2兀+加與直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的而積等于4,則加的值是()a. ±3b. 3c. ±4d. 4【解析】c.可知直角三角形的直角邊長分別為m , ,于是有丄-|/n| = 4 m = 4于是m = ±4 ,2 2 2分別對(duì)應(yīng)于三角形位于第二象限，第四象限的情形.5. 若 « + 1 = 20102 +201 12,則血 + 1 =()a. 2011b. 2010c. 40

3、22d. 4021【解析】d.由 n = 20102 + 20112 -1 = 20102 + 20102012.于是 2n + l = 20102 + 20112 + 20102+2010-2012 = 20102+20112+2-2010-2011=(2010 +2011)2則血+ 1 = 40216.有四個(gè)命題: 若兩個(gè)等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，則這兩個(gè)等腰三角形全等. 有一條邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等. 有一條邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 兩邊以及另一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.其中，正確的命題有（）a. 0個(gè)b. 1個(gè)c. 2個(gè)d. 3個(gè)【解析】b.正確

4、的命題為.錯(cuò)誤.7.如圖1, rt/xabc兩直角邊上的中線分別為ae和bd,c.-4圖1則ae2 + bd2 ai ab2的比值為()d. 22【解析】c.特殊值法：直接設(shè)3c = ac = 1, ae = ad = y =,則比值為丄.24=|(+/?2)'一般的，不妨諫 bc = a, ac = b ,于是 ae2 + bd2 =b2 +ab2=a2+b2,于是可得出同樣的結(jié)果.8.如圖2所示，abcd為短形，ad = 12,ab = 5, p為線段aq上的任意一點(diǎn)，pe丄bd于點(diǎn)、e,pf丄ac于f.則pe+pf的值為（a.4813)c. 5d.7013dc【解析】b.利用面積

5、相等解決此問題.由 s“bd + s“ac = s“cd + s“ac = s、cd、有* ac (pe + pf) = * ad dc ,則有pepf = 9. 如圖3,正方形abcd的邊4b在兀軸的正半軸上，c（2 , 1）, d（1, 1）,反比例函數(shù)y =-的圖象與 邊.bc交于點(diǎn)、e,與邊cd交于點(diǎn)f ,己知be:ce = 3:1,則df: fc等于（）a. 4： 1b 3： 1c. 2： 1d. 1： 1k【解析】d.由2,耳，知-r = - i 2 丿12于是停則df = fc = -,于是比值為1.210. 如圖4, a , b, c, d , e分別代表1, 2, 3, 4,

6、 5中的一個(gè)數(shù)，若 + d + c及+ d + e除以3都余1, 則不同的填數(shù)方法有（）a. 2種b. 4 種c. 8 利|d. 16 種bdaec圖4【解析】d.由 d + b + c + d + w = l + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, a + b + c = 3r + l,知 d + £ = 3 + 2,于是a = 3q + 2.則a = 2 （或5 ）. b, c與分別為1, 4與3, 5 （或2 ）于是所有的填數(shù) 法有 2-2-2-2 = 16 種.二、填空題（每小題4分，共40分）11. 下表為甲、乙兩人比賽投籃球的記錄，以命屮率（投進(jìn)球數(shù)與投球次數(shù)的比值）

7、來比較投球成績 的好壞，若他們的成績一樣好，現(xiàn)有以下關(guān)系式：學(xué)生投進(jìn)球數(shù)沒投進(jìn)球數(shù)投球次數(shù)甲10515乙ab18®a-b = 5 ；d + /? = 18； ®a:b = 2:；©18 = 2:3, 其中正確的是 （只填序號(hào)）.【解析】.由豈唏知“°只有是錯(cuò)誤的.12. 已知方程組2兀+尸4,的解為x = m, 乂知點(diǎn)人伽十）在反比例函數(shù)尸土的圖象上，則£的值 x- y = 5y = nx【解析】-6 .解得m = 3, n - -2于是 k = m-n =-6.13.等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為cr.b（a<b）f若這個(gè)三角形是鈍角

8、三角形，則纟的取值范圍是 a【解析】->2.鈍角三角形的三內(nèi)角比必為cr.cr.b,由b > 90：, 2a < 90° => ? > 2 . aa14.定義fm =("1),那么 /(/(/(-/(2011).)j/201 hv【解析】-耗容易知道/(心)"于是-/(2011)- ) = /(2011) =.z1uu'7'2x) 1u2011 個(gè)/715.函數(shù)），=血與函數(shù)y = -xb的圖象如圖5所示，則關(guān)于兀3y的方程組;二;；二的解是【解析】兀=1'=2觀察出函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,于是方程組的

9、解是.；16. 若a, z?是口然數(shù)，.a>b , 2()ll = a(d-l) + b 那么 a =； b =【解析】45； 31.由 20 = a2 +(b-a)<a2 , 20w = a(a-) +h > (a-)2 ,452 >2011>442 ,有a$45"-1 w44=>a = 45代入原式解得b = 3.17. 一個(gè)骰子，六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2, 3,4, 5,6.兩次擲這個(gè)骰子，朝上一面的數(shù)依次記為m ,耳.則關(guān)于兀，y的方程組+ =有解的概率為.2x + y = 3【解析】無解的情形當(dāng)且僅當(dāng)分利心或n = 1n = 2m =

10、6即n = 3于是無解的概率為,有解的概率為1-丄6-6 12 12 1218. 如圖6,邊長為2 +巧的正方形4bcd內(nèi)有一點(diǎn)p,且zpab = 30° , pa = 2,在正方形abcd的 邊上有一點(diǎn)q,且為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)q有個(gè).【解析】4. pa為底邊或者腰.當(dāng)陽為底邊時(shí)，做pa的垂直平分線，交正方形的邊于兩點(diǎn)；當(dāng)pa 為腰時(shí)，分別以p, 4為圓心，2為半徑做圓，交正方形的邊于2點(diǎn)(不含a ), 2點(diǎn).這 三種情形均包括d4邊上的同一個(gè)點(diǎn).于是共有2 + 2 + 2-2 = 4個(gè).19. 已知a, b, c為實(shí)數(shù)，并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,恒有|x + a| + |2x

11、+ fe| = |3x + ,則a.b:c =c2a+bc33【解析】.：2： 3.令討有=0 ,r 2于是“亍“尹即皿*1:2320. 一個(gè)自行車輪胎，若安裝在前輪，則行駛5000行米后報(bào)廢；若安裝在后輪，則行駛3000千米后 報(bào)廢，現(xiàn)有一輛新h行車，在行駛一定路程后，交換前后兩輪的輪胎，再繼續(xù)行駛，使得兩個(gè)輪胎同 時(shí)報(bào)廢，那么該車最多行駛丁米.【解析】375().容易知道，若一輪作為前輪行駛路程為a,作為后輪行駛路程為b,則另一輪行駛 路程為作為后輪a,作為前輪b,于是必須a = b才能使得同時(shí)報(bào)廢.于是 a + -l.5000 = 5000,解得a = b = 1875,于是a + b

12、= 3750.3000三、解答題每題都要寫出推算過程.21. (本題滿分10分)平面直角坐標(biāo)系中，止方形abcd四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1, -1), (1, -1), (1, 1), (-1, 1),設(shè)大值.【解析】當(dāng)dml時(shí)，y =正方形abcd在y = x- + a的圖彖以上部分的而積為s ,試求s關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出s的最xa + a的圖象與正方形無公共部分，如圖，5 = 0.當(dāng)0waw 1時(shí)，s=2(l-a)x2(l_a) = (l a)?.如圖25 = 2-2(l + a)(l + a)2=2 (1 + g)2.如圖(4)當(dāng)dvl時(shí)，5 = 2.汝口圖 所以，s的最大值為22

13、2. (本題滿分15分)若直線l:y = x + 3交x軸于點(diǎn)a,交y軸于點(diǎn)b.坐標(biāo)原點(diǎn)0關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)0在反比例函數(shù) y =-的圖象上.求反比例函數(shù)y =-的解析式；將直線/繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角&(0。<&<45。)，得到直線廠，廣交y軸于點(diǎn)p,過點(diǎn)p作兀軸的平行線, 與上述反比例函數(shù)y =-的圖象交于點(diǎn)q,當(dāng)四邊形apqo'的而積為9-空 時(shí)，求&的值.x2【解析】直線/與兀軸交于點(diǎn)4(-3, 0),與y軸交于點(diǎn)b(0,3), abo是等腰直角三角形，則坐標(biāo)原煤點(diǎn)o關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)o,的坐標(biāo)是(-3, 3). ao*在反比例函數(shù)y =-的圖象

14、x9上，所以r = _9, y =.設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0, p), pq和ao,的延長線交于點(diǎn)g.因?yàn)閜q/x軸，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)q,g(3, p)9 因?yàn)?gp = 1,g0 = 3 、 gol= p-3, ga = p.pi11 ( g27所以 邊apqo =sapg =sciqo = -ga-gp-gq go'=-px3- 3- (p-3)=9-, 已知s四邊形apg =9-|希,所以9-| = 9-|>/3 , 解得p = 3屈.經(jīng)檢驗(yàn)，/? = 33符合題意.所以 p(0,3蕭)，ap = >jao2 4- p02 = 6 , zpao = 60°又

15、因?yàn)?zbao = 45° ,所以 0 = zpao - zbao = 60° - 45° = 15°23（木題滿分15分）給定加（加23）個(gè)數(shù)字組成的一列數(shù)q, a?,am ,其中每一個(gè)數(shù)q（i = l, 2,，加）只能是1或0, 在這一列數(shù)中，如果存在連續(xù)的r個(gè)數(shù)和另一組連續(xù)的k個(gè)數(shù)恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱這一列數(shù)是“ k 階可重復(fù)的”.例如，由7個(gè)數(shù)組成的一列數(shù):0, 1, 1, 0, 1, 1, 0,因?yàn)榭溃?2,為，與。4，a5 1 %、ai 按次序?qū)?yīng)相等，所以稱這列數(shù)為“4階可重復(fù)的”.分別判斷下面的兩列數(shù)是否是“5階可重復(fù)的” ？如果是，

16、請(qǐng)寫出重復(fù)的這5個(gè)數(shù)；0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0； 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.如果一列數(shù)$ , a2 ,q”一定是“3階可垂復(fù)的”，求加的授小值.假設(shè)一列數(shù)不是“5階可重復(fù)的”且笫4個(gè)數(shù)是1,但若在這列數(shù)最后一個(gè)數(shù)后再添加一個(gè)0或1,均可使新的一列數(shù)是“5階可重復(fù)的”，那么原來的數(shù)列中的最后一個(gè)數(shù)是什么？說明理由.【解析】在中，因?yàn)樯?，色，勺，與。6，均，兔，術(shù)按次序?qū)?yīng)相等，所以是"5 階可重復(fù)的”，重復(fù)的這5個(gè)數(shù)是0, 0, 1, 1, 0；在中，因?yàn)檫B續(xù)的5個(gè)數(shù)分別為i,1,1,1,1；1,1,1,1,0;1,1,1

17、,0,1;1,1,0,1,1;1,0,1,1,1;0,1,1,1,1.其中沒有完全相同的，所以不是“5階可重復(fù)的”（2）因?yàn)檫@列數(shù)中的每一個(gè)數(shù)只能是0或1,所以連續(xù)的3個(gè)數(shù)共有22=8 （種）不同的情 形，即分別為（0, 0, 0）; （0, 0, 1）; （0, 1, 0）;（1, 1, 1 ）.若m -11 ,則在這一列數(shù)中有9組連續(xù)的3個(gè)數(shù),它們分別是q ,勺，； a29碼 a4 ；，34, a5;；a5,如，au ,其中至少有兩組按次序?qū)?yīng)相等，這列數(shù)一定是“3階可 重復(fù)的”.若加= 10,存在這樣一列數(shù)；0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0,它不是“3階可重復(fù)的”（類似地還可以寫出一些，只要寫出一個(gè)即可）.所以，要使一系數(shù)一定是“3階可重復(fù)的”，加的最小值是11.假設(shè)這一列數(shù)共有加個(gè)數(shù)，由于在最后