第17講：高頻考點分析之極限、導數(shù)和定積分探討

1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學專題講座】第17講：高頻考點分析之極限、導數(shù)和定積分探討江蘇泰州錦元數(shù)學工作室編輯12講，我們對客觀性試題解法進行了探討，38 ui-,對數(shù)學思想方法進行了探討，912講對數(shù) 學解題方法進行了探討，從第13講開始我們對高頻考點進行探討。在我國現(xiàn)在中學數(shù)學新教材中，微積分處于一種特殊的地位，是高中數(shù)學知識的一個重要交匯點，是 聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相關問題的重要工具。微積分的思想方法和基本理論有著廣泛的應用。結(jié)合中學數(shù)學的知識，高考中微積分問題主要有以下幾種：1. 極限的計算；2. 應用導數(shù)求函數(shù)的最（極）值；3. 應川導數(shù)討論函數(shù)的增減性；4. 導數(shù)的幾何意義和應用導數(shù)

2、求曲線的切線：5. 定積分的計算和應用。結(jié)合2012年全國各地髙考的實例，我們從以上五方而探討極限、導數(shù)和定積分問題的求解。一、極限的計算：典型例題：x2-9例1（2012年四川省理5分）函數(shù)/（x） = x-3在x = 3處的極限是【】ln（x-2）,x > 3a、不存在b、等于6c、等于3d、等于0【答案】ao【考點】分段函數(shù)，極限。【解析】分段函數(shù)在兀=3處不是無限靠近同一個值，故不存在極限。故選a。例2（2012年重慶市理5分）lim=."十+5n-n【答案】-o5【考點】極限的運算。例3(2012年上海市理4分)有一列止方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數(shù)列，休積

3、分別記為,嶺,匕，則lirn(% + v2 +匕)=【答案】-o7【考點】無窮遞縮等比數(shù)列的極限，等比數(shù)列的通項公式。【解析】由正方體的棱長組成以1為首項，丄為公比的等比數(shù)列，可知它們的體積則組成了一個以1為首1o項，上頭公比的弊比數(shù)如.慶1此.|imfv.+k+.4-v 1 = - = -二、應用導數(shù)求函數(shù)的最(極)值：典型例題：例1. (2012年重慶市理5分)設函數(shù)/(兀)在/?上可導，其導函數(shù)為f(x),且函數(shù)y = (-x)f(x)的圖像如題圖所示，則下列結(jié)論屮一定成立的是【】(a) 函數(shù)/(x)有極大值/(2)和極小值/(i)(b) 函數(shù)/(x)有極大值/(-2)和極小值/(i)(

4、c) 函數(shù)/(兀)有極大值/(2)和極小值/(-2)(d) 函數(shù)/(兀)有極大值/(-2)和極小值/(2)【答案】do【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)的圖象?！痉治觥坑蓤D象知,y = (l-x)f(x)與兀軸有三個交點,2, 1, 2, a f(-2)=0, f(2)=0o由此得到x, y, 1-x, f(x)和/(切在(-00, +00)上的情況:x(一8,-2)-2(-2,1)1(1,2)2(2,+8)y+00+01-x+0fm+00+fm/極大值x非極值極小值/(%)的極大值為/(-2), /(%)的極小值為/(2) o故選do例2(2012年陜西省理5分)設函數(shù)f(x) = xe

5、則【 】a. x = l為f(x)的極大值點b.x = 1為/(x)的極小值點c. x = -為/(兀)的極人值點d. x = -l為/的極小值點【答案】do【考點】應川導數(shù)求函數(shù)的極值?！窘馕觥繌V(兀)=(兀+ 1)/,令廣(x) = 0,得兀=一1。當 x< - 1 時，廣(兀)<0, /(%) = xex 為減函數(shù)；當 x> - 1 時，fx) > 0, /(x) = xex 為增函數(shù),所以x = -l為于(兀)的極小值點。故選d。2例3(2012年陜西省文5分)設函數(shù)/(x) = - + lnx則【 】xa."丄為/(兀)的極大值點b. x =-為/(

6、x)的極小值點2 2c.兀=2為/(x)的極大值點d.兀=2為/(x)的極小值點【答案】do【考點】應用導數(shù)求函數(shù)的極值。?1r-?【解析】廣(兀)二呂+丄二寧，令廣(力=0,得兀=2。2:當ov xv 2時，/'(%) <0, /(x) = + lnx為減函數(shù)；x2當x> 2時，/z(x)>0, /(x) = - + lnx為增函數(shù)。/ x = 2為/(x)的極小值點。故選d。例 4(2012 年廣東省理 14 分)設 /<1,a = x e /?|x > 0,b = x e /?|2x2 - 3(1 + a)x + 6a > o,d = acb(

7、1) 求集合d (用區(qū)間表示)(2) 求函數(shù)/(x) = 2x3 - 3(1 + a)x2 + 6ax在£>內(nèi)的極值點?！敬鸢浮拷?1)設g(x) = 2兀23(1 + 0兀+ 6°,方程 g(x) = 0 的判別式 d = 9(l+a)2 48a=9(a -)(a 3)當丄v a v 1 時，d < 0, 2x2 3(1 + q)x + 6g >0恒成立，:.b = x w r 2x2 - 3(1 + a)x + 6a > o = /?。/./) = anb = a = xlx>0,即集合 d=(0,+ )o當ova丄時，d 0,方程g(x)

8、 = 0的兩根為3a + 3- j9/ 30a + 9 八3a + 3+9宀 3()a+9不=0,=1 44b = xe r 2x2 一3(1 + a)x + 6。03。+ 3-丁9/一30。+ 94或兀3。+ 3 +jw30q + 94初*帖"二兀1()<兀<% + 1"加-30 + 9 或龍3° + 3 + j9/-30d + 9,4即集合”(。円+匚的/ u 3。+3+j9八30x9,+)。44當d£0時，d> 0,方程g(x) = 0的兩根為3d+ 3-(財30°+9門八3q+ 3+9用30a+9 八x =1 0 ,

9、x7 => 0 o1 44b = 兀 w r |2x2 - 3(1 + a)x + 6d > or i3a + 3 j9q2 _ 3 ci -09 八十3a + 3 + j9q2 30d + 9 .= xx<< 0 或兀 > o44：.d = acb = a = xx>3a + 3 + yj9a23qa + 9,4即集合(3d+3+加？- 30a+94(2)令廠(x)二2, 一3(1+ a)兀$+6。才' = 6/-6(1 + g)兀+ 6d = 6(x-a)(兀一 1) = 0得f(x) = 2x3 - 3(1 + a)x2 + 6ax 的可能極值

10、點為 a, 1。當丄vqv 1時，山(1)知d = (0,+o0),所以/x),/(x)隨x的變化情況如下衣:3x（0衛(wèi)）a(q,l)1(1,+坷廣（兀）+00+fm/極大值極小值7；fm = 2-r3 - 3(1 + a)x2 + 6ax在d內(nèi)有兩個極值點為a,1：極大值點為x = a,極小值點為x = o當ova丄時，3,、/ 小 /a 3q+ 3-30a + 9 . 3a + 3+ /如-30a+9、.、由(1)知 d = (0, u ,+ )=(0,x)u(x2,+oo)044*.* /(x) = 2x(x 一 x )(x 尤2),*. 0 < < xj < 1 &l

11、t; x2,a/v),/(x)隨x的變化情況如下表：x(0,a)a(a,兀)（尤2，+°°）廣（兀）+0+fm/極人值/f（x） = 2%3 - 3（1 + a）x2 + 6ax在q內(nèi)僅有一個極值點：極人值點為x = a ,沒有極小值點。i c /3q+ 3+ j% 3067+9、山(1)知 d = (，+)。4 d £ 0, 1- 3a < l- ci °.3a + 3 + j9cd - 30a + 9 _ 3a + 3+ j3(l 3d)(l a) 、 3a + 3 + 3(1- 3a) >4443a+ 3+ 73(1- 3f/) 3+

12、v3+ 3(1- v3) 3+晶444c 八 1 3g + 3 + 9a2 - 30a + 9. a £ 0< 1<o4f(x) = 2x3 -3(l + a)x2 +6ax 在 d 內(nèi)沒有極值點。【考點】分類思想的應用，集合的計算，解不等式，導數(shù)的應用?！窘馕觥?1)根據(jù)g(兀)=2兀2 一3(l + a)x + 6d根的判別式應用分類思想分丄vavl、0< a丄、a£ 0討論即可，計算比較繁。(2)求出 fx) = 2x3 -3(l + a)x2 +6a j* = 6x2 -6(l + a)x + 6a = 6(x-a)(x-l),得到 /(兀)的可能

13、極值點為a,1。仍然分-<a<. 0< a -> °£ 0討論。例5(2012年浙江省理14分)已知a0, bwr,函數(shù)f(x) = 4ax3-2bx-a + b .(i )證明：當0<x< 1吋，(i) 函數(shù)/(兀)的最大值為2a-ba；(ii) /(x)+ 2a-b+a>0；(ii)若-1</(x)<1對兀w0,l恒成立,求a + h的取值范圍.【答案】(i)證明:(i ) fx) = nax2 -lb .當冰0時，fx) = nax2 -2b>0在osrsl上恒成立，此時 f (x)的最大值為:f() = 4

14、a-2b-a + b = 3a-b=2a-b + a: 當b>0時，f(x) = 2ax2-2b在gwl上的止負性不能判斷,此時/(x)的最大值為:/ z.、b-cb b>2a/max(x) = max/(°)> / - aax(/?)-«) 3a-b = <=2ab +3a-b,b< 2a綜上所述：函數(shù),/ (a)在0<a<1上的最大值為2cib + a.(ii)設 g(x) = - f(x)，t g(x) = ax' + 2bx + a-b , /令 g'(x) = -i2ax2 +2b = 0 =>當肚0

15、 時，gx) = -i2ax2 + 2b <00<x<l 上恒成立， 此時 g(x)的最大值為:(0)= a-b < 3a-b =2cib + a； 當b<0時，g'(x) = -2ax2 + 2b在0<x<l上的正負性不能判斷,43b 2a,+ a - b, b s 6ab > 6agnm(x) = maxg(.需)，g(d = max§bq需+ a-方，b-2a =<2ci h + a。綜上所述：函數(shù)g(x)在0<x<l上的最大值小于(或等于)in bl + ci, 即 /(.v) +2a-b + a>

16、;0 在 0<x<l 上恒成立。(ii)解：山(i)知：函數(shù)/(x)在0se1上的最大值為2ciba,且函數(shù)/(x)在0<x<l上的最小值比(12a勿+ a)要大。v - 1</(x)<1 對xw0, 1恒成立,a2a-ba<o取b為縱軸,a為橫軸.a > 0(a> 0則可行域為：< b2a和b<2a, 口標函數(shù)為z=a+bob-a <3a-b<作圖如下:rh圖易得：當目標函數(shù)為尸。+方過p(i, 2)時，有張=3.所求a+b的取值范圍為：(-1, 3o【考點】分類思想的應用，不等式的證明，利川導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最

17、值，簡單線性規(guī)劃。【解析】(1)(1)求導后,分冰0和>0討論即可。(ii)利川分析法，要證 /(x)+2ab + «>0,艮 i證 g (x) = - /(x) <|2/?1 + a,亦即證 g(x)在0<x<l .上的最人值小于(或等于)2ab a.(1【)由(i )矢口：函數(shù)在osrg上的最人值為i2dbl + d,且函數(shù)在上疋1上的最小值比-(lab + a)要大.根據(jù)一1三/(兀)三1對 用|0, 1恒成立，可得2ab + a<.從而利用線性規(guī)劃知識， 可求a+b的取值范圍。例6(2012年江西省文14分)己知函數(shù)/(兀)=(加2+方兀+

18、 0在0, 1上單調(diào)遞減j4滿足 幾0)= 1, /l) = 0o(1) 求q的取值范圍：(2) 設g(兀)=/(兀)-廣(兀)，求g(兀)在0, 1上的最大值和最小值。【答案】解(1) v /(0) = c = l, f(l) = (a+b + c)e = o, :.a + b = -l.f (x) = ax2 一(d + l)% + w ofx) = ax2 +(a-l)x-aex。函數(shù)/(x)=(ax2+fex + c，在0, 1±單調(diào)遞減,對于任意的xe(o, 1),都有f x) < 0o由廠(0)= ° v 0得 a > 0 ；由廠(l)=cz + (

19、q 1) dk v 0 得 ° v 1。*. 0 < « < 1 o又當d=o時，對于任意的xe(o, 1),都有廠(兀)二xvo,函數(shù)符合條件；當0=1時，對于任意的xe(o, 1),都有fx)=(x2-i)ex<ot函數(shù)符合條件。綜上所述，a的取值范圍是0<t/<lo(2) t g(x)=/(x)-廠(x) = af-(a + l)x + l ex - ax2 (a + )x-a ex = (42tzx + +1 ex g'(x) = (-2ax -a + l)ea。(i) 當a=0時，對于任意xg(o, 1)有g©)之”

20、>0,g(x)在0, 1上的最小值是g(o)= l，最大值是g(l)之；(ii) 當a=l時，對于任意xg(o, 1)有g，(兀)=-2加vo,g(x)在0, 1上的最小值是g(l) = 0,最大值是g(o)= 2；1 z7(iii) 當 0vavl 時，由 g'(x) = o得兀=>0,2a 若>1,即ovas丄時,g(x)在0, 1上是增函數(shù),2a3a g(x)在0, 1上最大值是 g(l) = (l_a)w,最小值是 g(o)= l + a； 若 < 1,即丄vavl時，g(x)在兀=取得最大值g(s= 2ae2a g,在x=02ci32a2a或x=l時取

21、到最小值：*.* g (0) =r 1 -ktz) g d = 1 a e ,i -1 g(兀)在"()取到最小值g(o)= l + a ；當 <a<時,g(jc)在兀=1取到最小值g(l) = (ld)£?！究键c】利川導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利川導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性?！窘馕觥?1)由題意，函數(shù)/(兀)=(丹+加+ c，在0, 1上單調(diào)遞減且滿足/(o) = l, /=0,可求 出函數(shù)的導數(shù)，將函數(shù)在0, 1上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導數(shù)在0, 1上的函數(shù)值恒小于等于0,再結(jié)/(0)= 1, /(1) = 0這兩個方程即可求得。取值范圍。（2）由題設條件，先求出g（兀）

22、=/（兀）-廣（兀）的解析式，求出導函數(shù)y（x） = （-2ax-d + l）“， 由于參數(shù)。的影響，函數(shù)在0, 1上的單調(diào)性不同，結(jié)合（1）的結(jié)論及g，（x）分d二0, a=f ovavl 三類對函數(shù)的單調(diào)性進行討論，確定并求出函數(shù)的最值。例7. （2012年重慶市文13分）已知函數(shù)/（兀）=ax3 +bx + c在x = 2處取得極值為c-16（1）求d、b的值（6分；（2）若/（兀）有極大值28,求/（兀）在-3,3上的最大值（7分【答案】解：(i ) v f(x) = ax3+bx-c,/'(x) = 3o?+b。v /（x）在點x = 2處取得極值,廣=0/(2) = c-1

23、6即12a + b = 08a + 2b + c = c-16化簡得12a + b = 0 4a+ b =-8h = -l2(ii)由(i )得/(x) = x3-12x + c, fx) = 3x2-12令 ff(x) = 0 ,得兀=一2, x2 = 2 ox , f（x）和fo）在（yo, +oo）上的情況如下表:x(-00, -2)-2(-2,2)2(2,+©fm0+0/(x)極小值/極大值山此可知/（兀）在旺=2處取得極大值/（2） = 16 + c, /（x）在x2 =2處取得極小值/(2) = c 16。v f（x）有極大值28,16 + c = 28,解得c = 12

24、。此吋/（-3） = 9 + c = 21j（3） = -9 + c = 3, /（2） = c-16 = -4a /（%）上 f-3,3的最小值為 /（2） = -4 o【考點】函數(shù)的導數(shù)與極值，最值之間的關系?！痉治觥浚╥）先對函數(shù)/（兀）進行求導，根據(jù)廣= 0=0, /二c-16,求出。、b的值。(ii)根據(jù)(i )對函數(shù)/(x)ilt行求導，令fx) = 0,解出兀，列表求出函數(shù)的極人值和極小 值。再比較函數(shù)的極值與端點函數(shù)值的大小，端點函數(shù)值與極大值中最大的為函數(shù)的最大值，端點函數(shù)值 與極小值中最小的為函數(shù)的最小值。例8(2012年江蘇省16分)若函數(shù)y = /(兀)在兀=勺處取得極

25、人值或極小值，則稱心為函數(shù)v = fm 的極值點。已知a, b是實數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x) = x3 +ax2 +b兀的兩個極值點.(1) 求q和b的值；(2) 設函數(shù)g(x)的導函數(shù)g'(x) = /o) + 2 ,求g(兀)的極值點;(3) 設 a(x) = /(/(x)-c,其中 ce-2, 2,求函數(shù) y = h(x)的零點個數(shù).【答案】解(1)由 /(x) = x3 +ax2得 f(x) = 3x2 4- 2ax 4-b «*.* 1和-1是函數(shù)f(x) = x3 + ax2 +/x的兩個極值點， f(l) = 3 + 2a + g), f(-1) = 3-2a

26、+ b=0,解得 d=0, b= 3°(2) j 由(1)得,f(x) = x3-3x ,gx) = /(x) + 2=x3 -3x + 2= (x-1 )2(x + 2) 解得 x=x2=9 x3 = -2。當 xv2 時，gq)vo；當2vxvl 時，g'cr)>0,2是g(x)的極值點。.當一2v兀vl或兀>1時，g'(x)>0, .i %=1不是g(x)的極值點。g(x)的極值點是一2。(3) 令 f(x)=t ,則 /7(x)= /(r)-co先討論關于x的方程fx)=d根的情況：dw-2, 2當d=2時，由(2 )可知，/(%)=-2的兩

27、個不同的根為i和一 2 ,注意到/(q是奇函 數(shù)，/(x)=2的兩個不同的根為一和2。當 |d|v2 時，/(-l)-d寸(2 -q=2-d>0, fm-d=f(-2 -d)=-2-d<0 , 2,-1, 1 , 2 都不是 f(x)=d 的根。山(1)知才(切=3(兀+ 1)(兀-1)。當xg(2,+oo)時，(x)>0 ,于是/(x)是單調(diào)增函數(shù)，從而/ w> /(2)=2 o此時f(x)=d在(2, + oo)無實根。 當 施(1, 2)時 /(x)>0 ,于是.f是單調(diào)增函數(shù)。乂 /(1) dvo, /(2)-j>0, y=f(x)- d 的圖象不間

28、斷，a f(x)=d在(1,2 )內(nèi)有唯一實根。同理，/(%)=d在(一 2，i )內(nèi)有唯一實根。 當xg(-1, 1)時，/(%) < 0 ,于是/(x)是單調(diào)減兩數(shù)。又 /(-l)-t/>0, f 一dvo, y=f(x)d 的圖象不間斷，a f(x)=d在(一 1, 1 )內(nèi)有唯一實根。因此，當|j|=2時，f(x)=d有兩個不同的根勺兀2滿足|引=1，卜2=2；當|d|v2時f(x)=d 三個不同的根與比 抵，滿足卜v 2, j=3, 4, 5?，F(xiàn)考慮函數(shù)y = hm的零點：(i )當|c|=2時，y*(r)=c有兩個根心,t2滿足h=i，b|=2。jfij有三個不同的根，

29、f (x)=r2有兩個不同的根，故y = h(x)有5個零點。(11)當|c|<2時，f(t)=c有三個不同的根"，也匕，滿足|刑<2, i=3, 4, 5。而f(x)=tj (z=3, 4, 5)有三個不同的根，故)，=/心)有9個零點。綜上所述，當|c|=2時，函數(shù)y = h(x)5個零點；當|c| < 2時，函數(shù)y = /?(x)有9個零點?！究键c】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導數(shù)的應用?！窘馕觥?1)求111 y = f(x)的導數(shù)，根據(jù)1和-1是函數(shù)y二于(尢)的兩個極值點代入列方程組求解即可。(2) 由(1)得,/(x) = x3-3x,求出g3,令g'(

30、x)=o,求解討論即可。(3) 比較復雜，先分同=2和d<2討論關于兀的方程f(x)=d根的情況；再考慮函數(shù)y = h(x)的零點。例9. (2012年山東省理5分)設函數(shù)f(x)=丄,g(x)=ax2+b紐bwr,aho),若y = f (x)的圖像與y = g(x)圖像有h僅有兩個不同的公共點a (xp yi) ,b(x2, yj,則卜-列判斷正確的是【】a.當 avo 時，xi + x2<0, y【+ y2>0b.當 avo 時，xi + x2>0, yi + y2<0c.當 a>0 時，x|+x2<0, yi + y?<0d.當 a>

31、;0 時，x + x2>0, yi + y2>0【答案】bo【考點】導數(shù)的應川?！窘馕觥苛顏A=ax2 +bx ,貝*j l = ax3 +bx2(xo) ox設 f(x) = ax3 + bx2, f(x) = 3ax2 + 2bx。ob令 f©) = 3ax2+2bx=0,貝0 x =3a要使y = f(x)的圖像與y = g(x)圖像有冃僅有兩個不同的公共點必須：f() = a(-)3 + b(-)2 = 1 ,整理得 41? = 27a2。3a3a3a取值討論：可取a = ±2, b = 3來研究。當 a = 2, b = 3 時，2x3 + 3x2 =

32、1 ,解得 xj = 1, x2 = » 此時 = 1, y2 = 2 ,此時 2xj +x2 <0, yj + y2 > 0 ；當 a = -2, b = 3 時，-2x3+3x2=1 ,解得 x)=1, x2=-,此時 y1=l, y2=-2 ,此 fl寸x + x2 >0, y! +y2 <0 o 故選 b。例10(2012年天津市理14分)已知函數(shù)f(x)=x-n(x+a)的最小值為0,其中a>0.(i )求a的值；(ii) 若對任意的x e 0,+oo)f(x) < kx2成立，求實數(shù)k的最小值;(iii) 證明ln(2/i+l)<

33、2 (nen.2/-1【答案】解：(i )函數(shù)的定義域為(a, + a),求導函數(shù)可得f(x)=l -一=空匸乜.x+a x+a令 /(x)=0,得x=-a > -a o當x變化時，f （兀）和fx）的變化情況如下表:x(_d, d)l-a(1 一 d, +00)fm0+fmx極小值/(兀)在x=l-a處取得極小值。'由題意，得于(1一0)=1 d-lnl=l-a=o。a a=l o(ii)當 時，取 x=l, </(l)=l-ln2<0,故 £三0 不合題意。當 k >0 時，令 g(=(fi x -kx1, bp g(=x-ln(x+)-kx2。求

34、導函數(shù)町得 g'q =1丄_2尬=x+l_l_2也2_2滋= x(l-2fcx_2r)。x+1兀+1兀+1-2k令 gq 0,得兀=0,琢=1 o1 1 -2k當時，<0, g'(» v0在(0, +co)上恒成立，因此g(=(/)x -kx22 2k在(0, +00)上單調(diào)遞減，從而對任童的xeo, +00),的 g(» s(0o =0,即對任意的兀w0, +00),有/(x) < kx2成立。:.k>-符合題意。21 1 -2k1 -2k當()vrv 時，>0,對于兀丘(0, ), g'(分>0,因此g(»

35、在2 2k2ki _2k1 2k(0, )上單調(diào)遞增，因此取xg(o, )時，g(° xgo =0,即有/(x0)<02不成立。2k2k：.q<k<丄不合題意。2 綜上,實數(shù)r的最小值為丄。2(iii)證明：當刃=1時，不等式左邊=2-ln3<2=右邊，所以不等式成立。當川22時，-lnr2/-u在(2)中，取 k=-f 得/(x)<-x2(x>0),3)1)1<2_ln2+s(2/-3)(2z-l)淪jn(2 l)二/=!厶一1/=!=2 - in 3+f/=2<2z-3 2i 1 丿=2_ln3+1-j_<2.綜上，£

36、;1=1-ln(2n+l)<2 gn”)?！究键c】導數(shù)在最人值、最小值問題屮的應川，利川導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值?！痉治觥?i)確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，利用函數(shù) f(x)=x-n(x+a)的最小值為0 ,即可求得q的值。(ii) 當 k <0 w 取 x=l,/(l)=l-ln2<0,故處0 不介題臥當 k >0 w 令 gq =(/ x -h2,1 -2k求導函數(shù)，令導函數(shù)等于0,分類討論：當k>-時，一 <0, gd在(0, +oo)上單調(diào)遞減，從2 2k11 -2k1 -7k而對任意的 xgo, +oo),丿附

37、g(» 5(00 =0o 當 0 vkv 時，>0,對于 xw(o,),2 2k2k1 -2k g© >(),因此g(»在(0, )上單調(diào)遞增。由此可確定的最小值。2k(iii)當“1時，不等式左邊=2-ln3<2=右邊，所以不等式成立。當 心2時,<亠<2,一廳(243)(241)n 711二乞 ln(2n-l),在(ii)屮，取“一得fm<-x從而可得/2/-122 (/g2v+, z>2)*此可證結(jié)論。例11(2012年安徽省理13分)設f(x) = aex + + b(a>q) aex(i) 求/(x)在0,

38、+8)上的最小值;3(ii) 設曲線y = f(x)在點(2,/(2)的切線方程為y = -x；求a,b的值?！敬鸢浮拷猓?1)設t = ex(t>l),則y = +丄+ b。at, 1y = aat 當 q » 1 時，> 0 o y = at + + b t > 上是增函數(shù)。at當/ = l(x = 0)時,/(力的最小值為a+- + b。a 當 0 < a v 1 時，y = at + + b >2 + bat當且僅當 at = l(t = ex = ,x = -lna)時,f(x)的最小值為 b + 2。 a(ii) * f (%) = hb ,

39、° fx) = clxoaexaexrti題意得：</=33 r(2)=-u h + b = 3ae322解得q °b = -2【考點】復合函數(shù)的應用，導數(shù)的應用，函數(shù)的增減性，基本不等式的應用?！窘馕觥浚╥）根據(jù)導數(shù)的的性質(zhì)分g»1和ovavl求解。（ii）根據(jù)切線的兒何意義列方程組求解。三、應用導數(shù)討論函數(shù)的增減性：典型例題：例1（2012年浙江省理5分）設。0, b>0 a.若 2"+2a = 2+3b,則 a>bb.若 2"+2a = 2+3b ,則 a<bc若 2a-2a = t-3b,則 a>hd.若

40、2"2a = 2"3b ,則 a<b【答案】ao【考點】函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用?！窘馕觥繉x項a,若2“+2a = 2”+3方，必有2“+2°>2"+2方。構造函數(shù)：/（x） = 2yf = x < 0-1 < x < 1/ $x =>彳0 < x < 1 o 故選 b。+2x,則/'（x） = 2"ln2 + 2> （）恒成立，故有函數(shù)/（） = 2x + 2.r在x>0上單 調(diào)遞增，即a>b成立。其余選項用同樣方法排除。故選a。例2. （2012年湖南省文5分）設定

41、義在r上的函數(shù)/（兀）是最小正周期為2兀的偶函數(shù)，廣（兀）是/（x）的 導函數(shù)，當 x g 0,時，0< /（x）< 1 ;當 xg（0,） 口 x時，（%-）/z（x） > 0 ,則函數(shù)y = /(x)_sinx在2龍，2龍上的零點個數(shù)為【a .2b .4c.5 d. 8【答案】bo【考點】函數(shù)的周期性、奇偶性、圖像及兩個圖像的交點問題。rrjr【解析】由當xe(o,) wxt 吋，(%一一)廣(朗0,知r jr( n 1xg 0,-時,/z(x)<0,/(x)為減函數(shù)；xg 時，/x)>0,/(x)為增函數(shù)。_ 2丿(2乂兀w0,刃時，0<xx)<

42、l,在r上的函數(shù)./u)是最小正周期為2兀的偶函數(shù)，在同-坐標系中 作出y - sinx和y = /(x)草圖像如下，由圖知y = /(x)-siiu在卜2兀，2龍上的零點個數(shù)為4個。(a) ( -1,1(b) (0,1(c.) fl, +oo)(d) (0, +oo)【答案】bo【考點】川導數(shù)求苗數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！窘馕? y =兀2 - in x,yf x o2x1 9 1 9(c) cos x.l 兀(d)ln(l + x).x x2 8【答案】co【考點】導數(shù)公式，利用導數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性為最值來證明不等式?！窘馕觥吭O/(x) = cosx-(l- x2) = cosx-l + x2,則

43、 g(x) = fr(x) = -sinx + x,所以 gx(x) = -cosx + l>0,所以當 x g 0, +oo)時,g(x)為增函數(shù)，所以(x) = fx)>g(0 >0,同理 /(x) > /(0) = 0, a cos x-(l- 2) >0, h|j cosx > 1 - x2。故選 c。2 2例5(2012年山東省文4分)若函數(shù)f(x) = ax(a>o,al)在1, 2上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x) = (l-4m)vx在0,+co)上是增函數(shù)，則a= .【答案】【考點】【解析】函數(shù)的增減性。t f(x) = ax

44、(a > 0,a h 1) , : fr(x) = ax ina o當 a>l w，j f(x) = axlna>0,函數(shù) f(x) = ax(a> 0,a h 1)是增函數(shù),在t, 2上的最大值為f(2) = a2=4, a=2,最小值為f(-l) = 2=m,m= o2此時g(x) = -仮，它在0,+oo)上是減函數(shù)，與題設不符。當 0 v a v 1 h 寸, f(x) = axlna<0,函數(shù) f(x) = ax (a > 0,a h1)是減函數(shù),在i 2上的最大值為f(_t j, a=-,最小值為f(2)£=m,1m= o16此時g(x

45、)=-v7,它在o,+8)上是增函數(shù)，符合題意。4例6.綜上所述，滿足條件的a#(2012年浙江省文15分)已知der,函數(shù)f(x) = 4x【答案】解(1)由題意得廣(兀)= 12兀22°,-2ax + a(1)求/(刃的單調(diào)區(qū)間(2)當a so時，廣(x)no恒成立，此時/(兀)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-oo,+8)；此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為當g0時，fx) = 12(x-j-)(x +(2)由于 0<兀<1,當吋，f (x) + ” 一 2 = 4兀彳一2cix + 2 n 4兀 一4x + 2 ；當 a > 2 吋，f (兀)+ a 2 = 4兀彳 + 2

46、d(l 兀)一2'4-x + 4(1 x) 2 = 4x 4x + 2。g(x) = 4x3 -4x + 2,0<x< 1,貝ug'(x) = 12兀2 - 4 = 12(x-)(x + y-)。則有x0v33爐1g'(x)0+g (兀)1減極小值增1i g(x)n】in = <?(斗)=1 一攀o。當05兀51 時，總有 g(x) = 4*4x + 2o。f (x) + ” - 2 n 4x 4x + 2 > 0 o【考點】分類思想的應用，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，不等式的證明?！窘馕觥?1)求出導數(shù)，分a<()和d0討論即

47、可。(2)根據(jù)2-a ,分a<2和a2兩種情形，得到f(x)+a-2 >4x3-4x + 2,從而設出新函數(shù) g(x)= 4%3 -4% + 2,0< x< 1 ,應用導數(shù)，證出 goomin=g(迪)=1婕>0,得到g(x)o恒成立，即 /(x) + pz-2 > 4x3 -4x + 2 > 0 o例7. (2012年天津市理5分)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是【(a) 0(b) 1(0 2(d) 3【答案】bo【考點】函數(shù)的零點的概念，函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應川?！痉治觥繌V(兀)=2%2+3兀2>0,.函數(shù)f(x)=

48、2x+x3-2在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。又j f (0)=2° +0?-2= -1 v0, /(1)=21+13-2=1>0o函數(shù)/(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0, 1)內(nèi)有唯一的零點。故選b。3 7f17t 3例8(2012年福建省文14分)己知函數(shù)fm=axsinx-(ar),冃亦0, 上的最大值為r(i)求函數(shù)/u)的解析式;(ii)判斷函數(shù)幾0在(0,町內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明.【答案】解 由己知/'(x)=a(siiu+xcosx),對于任意xw有 sinx+xcosx>0o當d=0時，/u)=不合題意;當 avo,從而幾兀)在(0，3內(nèi)單調(diào)遞減,乂幾丫)在

49、0, i上的圖象是連續(xù)不斷的，故.心)在0,號上的最大值為/(0) = -|,不合題71意;當q0,用()，訓，/(x)>0,從而7u)在(0, £)內(nèi)單調(diào)遞增，又7u)在0,號上的圖象是連續(xù)不斷的，故滄)在o,刖上的最大值為即刼一|=號，解得0=1。3綜上所述，函數(shù)fm的解析式為zu) = xsinxo(ii)血)在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個零點。證明如下:由(i)知，f(x)=xsinx 從而有/(0)=弓<0,上單調(diào)遞增,古71乂/w在o,號上的圖象是連續(xù)不斷的，所以幾r)在(0,號)內(nèi)至少存在一個零點。內(nèi)有且僅有一個零點。又由(i)知他在0,號當兀丘號，71 時，令

50、 (x) =f(x) = sinx+xcosx.由g住)=1>0, g(兀)=一兀<0,且g(x)奮號，兀上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m e »,使得go)=o。-個零點。由 <? g)=2cosx xsiar,知 x 丘(號,當兀71,有g3<o,從而g在住，»內(nèi)單調(diào)遞減。,g(x)>g(a«)=0,即/(x)>0,從而幾丫)在£兀一3>0,故問在m71t加內(nèi)單調(diào)遞增,上無零點;當 用（加，兀）時,有g（x）<g（加）=（）, bp/w<0,從而./«在伽，兀）內(nèi)單調(diào)遞減.又血0>0

51、,朋）<0, 口滄）在，町上的圖彖是連續(xù)不斷的，從而金）在（加，町內(nèi)有且僅有綜上所述，./u）在（0,兀）內(nèi)有且只有兩個零點。【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上苗數(shù)的故值，苗數(shù)的零點，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值。3兀【解析】由題意，可借助導數(shù)研究函數(shù)fm=axsinx-ar）f在0,廠上的單調(diào)性，確定出最值，令最值等于寧，即可得到關于a的方程，山于a的符號對函數(shù)的最值有影響，故可以對a的取值范圍進行討論，分類求解。（ii）借助導數(shù)研究函數(shù)/u）在（0,兀）內(nèi)單調(diào)性，由零點判定定理即可得出零點的個數(shù)。例9(2012年全國大綱卷理12分)設函數(shù)f(x) = ax + cos x.xe 0,7v o（1）

52、討論/（x）的單調(diào)性;（2）設/（x）< l + sinx,求a的取值范圍?！敬鸢浮拷猓簭V（x） = a-sinx。(1)/ 0< sinx< 1 o當ani時，/z（x）>0,于（兀）在xw0,刃上為單調(diào)遞增函數(shù)；當aso時，廣0）50, /（兀）在兀w0,刃上為單調(diào)遞減函數(shù)；當0 va vl時，由 /'（x）= 0得sin兀,rll /'（x）>0得0 w x v arcsin?；蜇Ｒ籥rcsina<x<7i 由 廣（兀）v 0得arcsina <x<tt-arcsina。當0<qvl時/（x）在0, arcsin

53、e和龍-arcsin °,刃上為為單調(diào)遞增函數(shù)；在arcsin a.ti-arcsin d上為單調(diào)遞減函數(shù)。(2) itl /(x) < 1 + sinx恒成立可得于(兀)s 1 o a龍一 1 ml o a < 。7127i2令 g(x) = sinxx(0 < x < ),貝ij gf(x) = cos x。7127122 71當兀 w (0, arcsin )時，gx) > 0,當兀 w (arcsin ,)時,g'(兀)< 0。7171 2rr271又g(0) = g() = 0，所以 g(x)>0,即x<sinx(0&

54、lt;x<)27i22 2故當 a< 時，有 /(x)<x + cosx,712 _ x<sinx , cos兀51,所以 f(x) < 1 + sinx 7171rr 當05兀5 時，2227171/(x) < %4-cosx = 1 + (兀)-sin(x) < 1 + sinx o7171222綜上可知故所求d的取值范圍為6/ <-o71【考點】導數(shù)在研究函數(shù)屮的運川，三角函數(shù)的有界性，。jt 當一w x< 7t時，2【解析】(1)利川三角函數(shù)的冇界性，求解單調(diào)區(qū)間。(2)運川構造函數(shù)的思想，證明不等式。關鍵是找到a適的函數(shù)，運川導數(shù)

55、證明最值大于或者小于零的問題得到解決。例10(2012年全國大綱卷文12分)已知函數(shù)f(x) = -x3-x2+ax .(1)討論/(兀)的單調(diào)性；(2)設/(x)有兩個極值點坷，尤2，若過兩點(xp/(xj) , (x2,/(x2)的直線/與x軸的交點在曲線y = /o)上，求a的值1 ?【答案】解：(1) f (x) + x + axf (x)=兀+ 2兀 +(x +1) +g 1當di時，/v)no, ii僅當6/=i, x=-i時f(兀)=o。f(x)是增函數(shù)。當avl時，f(x)=0有兩個根x=-l±vt-o列表如下:/(x)的增減性(-00,-1-j1-町>0增函數(shù)

56、(-1 - j1 clj + j1 ci )<減函數(shù)(-1 + j1-d, + 8)>0增函數(shù)（2）由題設知，西，七是f（x）=0的兩個根，二a v 1,且兀2 = 一2州一°, '二一：勺一。f（x） _兀'+（xx _兀（2兀2 _ q）+ 兀+ ax= _x| h cix= *（-2x|2_a） + |'ax| = |'（a_l）x_#。同理，/（兀2）=?。ā1）兀2 -彳。直線/的解析式為y=-（a-x-0 3v 73設直線/與兀軸的交點為（和0）,則0二|（a 1）兀（）彳，解得兀。=3（：_1）。代入 f(x) = -xix2ax