第11講 真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線及平面問題

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第十講第十講Lesson Ten李振紅李振紅Li ZhenhongPhone-Mail： 南京工程學(xué)院材料工程系Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology 2021-11-242本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容10.1 等效應(yīng)力和等效應(yīng)變等效應(yīng)力和等效應(yīng)變10.2 真應(yīng)力真應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線（教材第三章第六節(jié)）（教材第三章第六節(jié)）10.3 平面變形和軸對(duì)稱變形平面變形和軸對(duì)稱

2、變形（教材第三章第三節(jié)）（教材第三章第三節(jié)）2021-11-24310.1.1 等效應(yīng)力等效應(yīng)力o 把把s ss看成經(jīng)過某一變形程度看成經(jīng)過某一變形程度下的單向應(yīng)力狀態(tài)的屈服極下的單向應(yīng)力狀態(tài)的屈服極限限,則可稱則可稱s ss為為變形抗力變形抗力。ABCDe es so 如圖所示，拉伸變形到如圖所示，拉伸變形到C點(diǎn)，然后卸載到點(diǎn)，然后卸載到D點(diǎn)，如點(diǎn)，如果再在同方向上拉伸，便近似認(rèn)為在原來開始卸載果再在同方向上拉伸，便近似認(rèn)為在原來開始卸載時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力附近（即點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力附近（即點(diǎn)C處）發(fā)生屈服。這一處）發(fā)生屈服。這一屈服應(yīng)力比退火狀態(tài)的初始屈服應(yīng)力提高，是由于屈服應(yīng)力比退火狀態(tài)的初始屈

3、服應(yīng)力提高，是由于金屬加工硬化的結(jié)果。所以在單向拉伸的情況下，金屬加工硬化的結(jié)果。所以在單向拉伸的情況下，不論對(duì)初始屈服應(yīng)力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極不論對(duì)初始屈服應(yīng)力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極限，統(tǒng)稱為限，統(tǒng)稱為金屬變形抗力金屬變形抗力。 2021-11-244o 若令若令sss22212233112sssssss則金屬屈服時(shí)有則金屬屈服時(shí)有則為則為等效應(yīng)力等效應(yīng)力，等效于單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。，等效于單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。s2021-11-245o 對(duì)于單向拉伸對(duì)于單向拉伸sss1時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)sss1時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)同樣同樣，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)

4、時(shí)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，sss時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)sss時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)2021-11-246o 在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力為在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力為 222222231 62xyyzzxxyyzzxIsssssss當(dāng)材料屈服時(shí)有當(dāng)材料屈服時(shí)有 3skss其中其中s ss，為單向應(yīng)力狀態(tài)下獲得的屈服極限，為單向應(yīng)力狀態(tài)下獲得的屈服極限 2021-11-24710.1.2 等效應(yīng)變等效應(yīng)變o 在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，我們可以得到一條應(yīng)在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，我們可以得到一條應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系曲線，若知道了變形程度，則應(yīng)變關(guān)系曲線，若知道了變形程度，則其所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，從

5、該曲線上也可以得到。其所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，從該曲線上也可以得到。o 那么可以說，對(duì)同一金屬在同樣的變形溫那么可以說，對(duì)同一金屬在同樣的變形溫度度變形速度條件下，等效應(yīng)力取決于變形變形速度條件下，等效應(yīng)力取決于變形程度。如果這樣的話，一般應(yīng)力狀態(tài)是否存程度。如果這樣的話，一般應(yīng)力狀態(tài)是否存在這一應(yīng)力在這一應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線？應(yīng)變關(guān)系曲線？ 2021-11-248 此式表示的應(yīng)變?cè)隽看耸奖硎镜膽?yīng)變?cè)隽?就是就是等效應(yīng)變?cè)隽康刃?yīng)變?cè)隽縟e22212233129dddddddeeeeeee比例加載時(shí)，即比例加載時(shí)，即 312123ddddeeeeeeee22212233129eeeeeeee為等效應(yīng)變?yōu)榈刃?/p>

6、應(yīng)變 2021-11-24922212233129dddddddeeeeeee等式兩邊分別除以變形時(shí)間等式兩邊分別除以變形時(shí)間dt，則得到，則得到22212233129eeeeeeee為等效應(yīng)變速率為等效應(yīng)變速率 2021-11-241010.1.3 等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的關(guān)系等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的關(guān)系o 由由LevyMises流動(dòng)法則，流動(dòng)法則， ijijddse22212233129dddddddeeeeeee代入代入222212233129ddessssss222212233129dssssss2021-11-2411o 得到得到23ddes32ddes或或此式即為等效應(yīng)變?cè)隽看耸郊礊榈刃?yīng)

7、變?cè)隽颗c等效應(yīng)力的關(guān)系與等效應(yīng)力的關(guān)系 則則LevyMises流動(dòng)法則可以寫成流動(dòng)法則可以寫成 32ijijddeess2021-11-2412o 這樣，由于引入等效應(yīng)變?cè)隽窟@樣，由于引入等效應(yīng)變?cè)隽?與等效應(yīng)與等效應(yīng)力力 ，則本構(gòu)方程中的比例系數(shù)，則本構(gòu)方程中的比例系數(shù) 便可以便可以確定，從而也就可以求出應(yīng)變?cè)隽康木唧w數(shù)確定，從而也就可以求出應(yīng)變?cè)隽康木唧w數(shù)值。值。 desd2021-11-241310.2 曲線曲線變形抗力曲線變形抗力曲線o 不論是一般應(yīng)力狀態(tài)還是簡單應(yīng)力狀態(tài)作出不論是一般應(yīng)力狀態(tài)還是簡單應(yīng)力狀態(tài)作出的應(yīng)力應(yīng)變曲線，就是的應(yīng)力應(yīng)變曲線，就是 曲線，此曲線曲線，此曲線也叫變形

8、抗力曲線或加工硬化曲線，或真應(yīng)也叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應(yīng)力曲線。目前常用以下四種簡單應(yīng)力狀態(tài)的力曲線。目前常用以下四種簡單應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)來做金屬變形抗力曲線。試驗(yàn)來做金屬變形抗力曲線。 eses2021-11-2414真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線o 延伸率延伸率o 斷面收縮率斷面收縮率o 對(duì)數(shù)應(yīng)變對(duì)數(shù)應(yīng)變 000LLLLLke%100FF)1ln(lnln000eLLLLLko 真實(shí)應(yīng)力：真實(shí)應(yīng)力：APs2021-11-2415真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的確定o單向拉伸試驗(yàn)單向拉伸試驗(yàn) 最大應(yīng)變量受塑性失穩(wěn)限制最大應(yīng)變量受塑性失穩(wěn)限制 1.01.0，精確段，精確段0.30.3 需校正形狀硬化效應(yīng)的影

9、響需校正形狀硬化效應(yīng)的影響o單向壓縮試驗(yàn)：單向壓縮試驗(yàn)： 最大應(yīng)變量可達(dá)最大應(yīng)變量可達(dá)2.02.0或更高或更高 由于摩擦的存在圓柱試樣出現(xiàn)鼓形由于摩擦的存在圓柱試樣出現(xiàn)鼓形o軋制壓縮試驗(yàn)：軋制壓縮試驗(yàn)： 適于板料適于板料 試驗(yàn)結(jié)果需處理（平面應(yīng)變壓縮試驗(yàn)結(jié)果需處理（平面應(yīng)變壓縮單向壓縮）單向壓縮）2021-11-2416o 單向拉伸單向拉伸 200132321eeesssddd；、1ssss110lnlddleee2021-11-2417o 單向壓縮單向壓縮 200321213eeesssddd；、3ssss130lnhddheee可見單向應(yīng)力狀態(tài)等效應(yīng)力等于金屬變形抗力；可見單向應(yīng)力狀態(tài)等效

10、應(yīng)力等于金屬變形抗力；等效應(yīng)變等于絕對(duì)值最大主應(yīng)變。等效應(yīng)變等于絕對(duì)值最大主應(yīng)變。 2021-11-2418o 平面變形壓縮平面變形壓縮 02002313213eeessssddd、；、332ssss13022ln33hddheee321.15523ssksss其中其中為平面變形抗力為平面變形抗力2021-11-2419o 薄壁管扭轉(zhuǎn)薄壁管扭轉(zhuǎn) 00231213eeesssddd、；、133sksss112233ddeeee2021-11-2420真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的簡化sYs2BYssmsBY1snBYo 冪指數(shù)硬化曲線冪指數(shù)硬化曲線 o 剛塑性硬化曲線剛塑性硬化曲線 o 剛塑性硬化直線剛塑

11、性硬化直線 o 理想塑性直線理想塑性直線 2021-11-2421變形溫度對(duì)真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響0.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060

12、80100120140160180200 s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e et=800t=850t=900t=950t=1000 s s(MPa)(MPa) e e流動(dòng)應(yīng)力隨變形溫度升高而下降流動(dòng)應(yīng)力隨變形溫度升高而下降硬化程度隨溫度升高而減?。ㄐ甭蕼p小）硬化程度隨溫度升高而減?。ㄐ甭蕼p?。┳冃嗡俣葘?duì)真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響冷變形時(shí)：冷變形時(shí)： 溫度效應(yīng)顯著，影響較小溫度效應(yīng)顯著，影響較小熱變形時(shí)：熱變形時(shí)： 溫度效應(yīng)小，影響較大溫度效應(yīng)小，影響較大溫變形時(shí)：溫變形時(shí)： 影響處于冷變形和

13、熱變形中間影響處于冷變形和熱變形中間 a)a)冷變形冷變形 b)b)溫變形溫變形 c)c)熱變形熱變形2021-11-242410.3 平面變形和軸對(duì)稱變形平面變形和軸對(duì)稱變形o 塑性力學(xué)問題共有九個(gè)未知數(shù)，即六個(gè)應(yīng)力分量和塑性力學(xué)問題共有九個(gè)未知數(shù)，即六個(gè)應(yīng)力分量和三個(gè)位移分量。與此對(duì)應(yīng)，則有三個(gè)力平衡方程和三個(gè)位移分量。與此對(duì)應(yīng)，則有三個(gè)力平衡方程和六個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程。雖然可解，但在解析上要六個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程。雖然可解，但在解析上要求出能滿足這些方程和給定邊界條件的嚴(yán)密解是十求出能滿足這些方程和給定邊界條件的嚴(yán)密解是十分困難的。然而，如果應(yīng)力邊界條件給定，對(duì)于平分困難的。然而，如果應(yīng)力

14、邊界條件給定，對(duì)于平面變形問題，靜力學(xué)可以求出應(yīng)力分布，而成為靜面變形問題，靜力學(xué)可以求出應(yīng)力分布，而成為靜定問題。對(duì)于軸對(duì)稱問題，引入適當(dāng)假設(shè)，也可以定問題。對(duì)于軸對(duì)稱問題，引入適當(dāng)假設(shè)，也可以靜定化。塑性加工問題許多是平面變形問題和軸對(duì)靜定化。塑性加工問題許多是平面變形問題和軸對(duì)稱問題，也有許多可以分區(qū)簡化為平面變形問題來稱問題，也有許多可以分區(qū)簡化為平面變形問題來處理。處理。 2021-11-242510.3.1 平面應(yīng)力平面應(yīng)力o 變形體內(nèi)與某方向軸垂直的平面上無應(yīng)力存變形體內(nèi)與某方向軸垂直的平面上無應(yīng)力存在，并且所有的應(yīng)力分量與該軸無關(guān)，這種在，并且所有的應(yīng)力分量與該軸無關(guān)，這種應(yīng)力

15、狀態(tài)即為應(yīng)力狀態(tài)即為平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài) o 工程實(shí)際中，薄壁管扭工程實(shí)際中，薄壁管扭轉(zhuǎn)、薄壁容器承受內(nèi)壓、轉(zhuǎn)、薄壁容器承受內(nèi)壓、板料成形中的一些工序，板料成形中的一些工序，厚度方向的應(yīng)力很小，厚度方向的應(yīng)力很小，可簡化為平面應(yīng)力狀態(tài)可簡化為平面應(yīng)力狀態(tài)2021-11-2426例題一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內(nèi)壓力p的作用，試求此圓筒產(chǎn)屈服時(shí)的內(nèi)壓力p。（設(shè)材料單向拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力為 ） 2022zp rprrttsss202p rprttsps0s（在內(nèi)表面）（在外表面）1prtss3pss或022zprtssP2rtzspszsPss2021-11-2427o 應(yīng)力特點(diǎn)

16、應(yīng)力特點(diǎn) 假設(shè)與假設(shè)與z z軸垂直的平面上沒有應(yīng)力作用：軸垂直的平面上沒有應(yīng)力作用：00zxzyzs，yxfij,s0zs0ze 平面應(yīng)力狀態(tài)：平面應(yīng)力狀態(tài)：而而1s2s2021-11-2428o 主應(yīng)力o 主切應(yīng)力2021-11-2429o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys0zyxzyyxys0zyxzyzxzs0zyxzxyxxs2021-11-24302021-11-2431o 主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力為零主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力為零o 主切應(yīng)力在數(shù)值上等于正應(yīng)力主切應(yīng)力在數(shù)值上等于正應(yīng)力2021-11-243210.3.2 平面應(yīng)變平面應(yīng)變o 變形體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)只在

17、同一個(gè)坐標(biāo)平面之內(nèi)變形體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)只在同一個(gè)坐標(biāo)平面之內(nèi)變形，在該平面的法線方向上沒有變形，這變形，在該平面的法線方向上沒有變形，這種變形稱為種變形稱為平面變形或平面應(yīng)變平面變形或平面應(yīng)變 2021-11-2433o 應(yīng)力特點(diǎn)應(yīng)力特點(diǎn) 21301122zxzyzmxysssssss，yxfij,s0zeyxzsss210zs0ze平面應(yīng)變狀態(tài)：平面應(yīng)變狀態(tài)：而而 平面應(yīng)力狀態(tài)：平面應(yīng)力狀態(tài)：而而1s)(21312sss3s2021-11-2434平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)力偏張量是純剪切應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)力偏張量是純剪切應(yīng)力狀態(tài)2021-11-24351s)(21312sss3s2021-11-2

18、436平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)力張量是純切應(yīng)力張量疊加球應(yīng)力張量平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)力張量是純切應(yīng)力張量疊加球應(yīng)力張量2021-11-2437o 應(yīng)變特點(diǎn)應(yīng)變特點(diǎn) 0zzxzydddeyxddee31ee02e3e2021-11-2438o 幾何方程幾何方程 xxuxeyyuye12yxxyuuyxxuxxexuyuyxxy21eyuyyeyuzuzyyz21ezuzzezuxuxzzx21eiujujiij21e或或2021-11-2439o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys2021-11-2440o 屈服條件屈服條件o 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 222222441.1553xyxys

19、sksssseseseddddxyxyyyxx2021-11-244110.3.3 軸對(duì)稱變形軸對(duì)稱變形o 變形體為旋轉(zhuǎn)體，旋轉(zhuǎn)體承受的外力對(duì)稱于變形體為旋轉(zhuǎn)體，旋轉(zhuǎn)體承受的外力對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸分布，變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)即為旋轉(zhuǎn)軸分布，變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)即為軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài) 2021-11-2442o 應(yīng)力特點(diǎn)應(yīng)力特點(diǎn)o 應(yīng)變特點(diǎn)應(yīng)變特點(diǎn) ,ijfzs0 z rss變形均勻時(shí)有變形均勻時(shí)有 0z 2021-11-2443o 幾何方程幾何方程 uezzuzeue12zzruuze2021-11-2444o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0zzsss0zzzzs2021-11-244

20、5o 屈服條件屈服條件o 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 222222626kszrrzzrsssssss2223srzzrsss變形均勻時(shí)變形均勻時(shí) esesesedddddzrzrzzrr2021-11-2446金屬塑性成形原理金屬塑性成形原理力學(xué)部分主要內(nèi)容力學(xué)部分主要內(nèi)容o 應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析o 應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)變狀態(tài)分析o 變形力學(xué)方程變形力學(xué)方程o 滑移線場理論滑移線場理論o 主應(yīng)力法主應(yīng)力法o 上界法上界法o 有限元法有限元法塑性加工力學(xué)塑性加工力學(xué)基礎(chǔ)部分基礎(chǔ)部分塑性加工力學(xué)問題塑性加工力學(xué)問題求解方法部分求解方法部分2021-11-2447一點(diǎn)應(yīng)力張量一點(diǎn)應(yīng)力張量 zyzxzzyyxy

21、zxyxxs s s s s sx面面y面面z面面x方向方向y方向方向z方向方向2021-11-2448切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理zxxzzyyzyxxy2021-11-2449o 通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截取三個(gè)相互垂直的截面和通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截取三個(gè)相互垂直的截面和與坐標(biāo)軸成任意角度的傾斜截面，這四個(gè)截面構(gòu)成一個(gè)四面與坐標(biāo)軸成任意角度的傾斜截面，這四個(gè)截面構(gòu)成一個(gè)四面體素體素 2021-11-2450斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)zxyos sxs s ys sz xy yz yx xz zy zxSnnSnxSnySnzs sn nBACds2021-11-2

22、451全應(yīng)力在各坐標(biāo)軸上的分量全應(yīng)力在各坐標(biāo)軸上的分量o 全應(yīng)力分量方程全應(yīng)力分量方程o 用矩陣表示為用矩陣表示為nmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnxsssnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynxsss（）2021-11-2452斜微分面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力o 把微分斜面上的合應(yīng)力把微分斜面上的合應(yīng)力Sn，向法線，向法線n方向投影，便可求出方向投影，便可求出微分斜面上的正應(yīng)力，或?qū)⑽⒎中泵嫔系恼龖?yīng)力，或?qū)nx、Sny、Snz分別投影到法線分別投影到法線n上，也同樣得到微分斜面上的正應(yīng)力，即上，也同樣得到微分斜面上的正應(yīng)力，即 o 將將Snx、Sny、Snz帶入上式得帶入上式得o 微分面上的剪應(yīng)力為微分面上的剪應(yīng)力為nSmSlSnznynxnsnlmnlmnmlzxyzxyzyxnssss222222222nnnSs2021-11-2453o 若坐標(biāo)軸為主軸，則與坐標(biāo)軸垂直的截面上的切應(yīng)若坐標(biāo)軸為主軸，則與坐標(biāo)軸垂直的截面上的切應(yīng)力為零，則由力為零，則由可得可得而而所以所以nlmnlmnmlzxyzxyzyxnssss222222232221nmlnsss