高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座---平面幾何選講

1、.平面幾何選講 反演變換基礎(chǔ)知識(shí)一. 定義1. 設(shè)是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，是一個(gè)非零常數(shù)如果平面的一個(gè)變換，使得對(duì)于平面上任意異于的點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間，恒有（1）三點(diǎn)共線；（2），則這個(gè)變換稱為平面的一個(gè)反演變換，記做其中，定點(diǎn)稱為反演中心，常數(shù)稱為反演冪，點(diǎn)稱為點(diǎn)的反點(diǎn)2. 在反演變換下，如果平面的圖形變?yōu)閳D形，則稱圖形是圖形關(guān)于反演變換的反形反演變換的不動(dòng)點(diǎn)稱為自反點(diǎn)，而反演變換的不變圖形則稱為自反圖形3. 設(shè)兩條曲線相交于點(diǎn)，、分別是曲線在點(diǎn)處的切線（如果存在），則與的交角稱為曲線在點(diǎn)處的交角；如果兩切線重合，則曲線在點(diǎn)處的交角為特別地，如果兩圓交于點(diǎn)，那么過點(diǎn)作兩圓的切線，則切線的交角稱為兩

2、圓的交角當(dāng)兩圓的交角為時(shí)，稱為兩圓正交；如果直線與圓相交，那么過交點(diǎn)作圓的切線，則切線與直線的交角就是直線與圓的交角當(dāng)這個(gè)交角為時(shí)，稱為直線與圓正交二. 定理定理1. 在反演變換下，不共線的兩對(duì)互反點(diǎn)是共圓的四點(diǎn)定理2. 在反演變換下，設(shè)兩點(diǎn)（均不同于反演中心）的反點(diǎn)分別為，則有=定理3. 在反演變換下，過反演中心的直線不變定理4. 在反演變換下，不過反演中心的直線的反形是過反演中心的圓；過反演中心的圓的反形是不過反演中心的直線定理5. 在反演變換下，不過反演中心的圓的反形仍是不過反演中心的圓定理6. 在反演變換下，兩條曲線在交點(diǎn)處的交角大小保持不變，但方向相反定理7. 如果兩圓或一圓一直線相

3、切于反演中心，則其反形是兩條平行直線；如果兩圓或一圓一直線相切于非反演中心，則其反形（兩圓或一圓一直線）相切定理8. 如果兩直線平行，則其反形（兩圓或一圓一直線）相切于反演中心典型例題一. 證明點(diǎn)共線例1. 的內(nèi)切圓與邊、分別相切于點(diǎn)、，設(shè)、分別是、的中點(diǎn)求證：的外心、內(nèi)心與的外心三點(diǎn)共線證明：如圖，設(shè)的內(nèi)心為，內(nèi)切圓半徑為以內(nèi)心為反演中心，內(nèi)切圓為反演圓作反演變換，則、的反點(diǎn)分別為、，因而的反形是的外接圓故的外心、內(nèi)心和的外心三點(diǎn)共線二. 證明線共點(diǎn) 例2. 四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線與相交于，設(shè)、的外心分別為、求證：、三直線共點(diǎn)證明：作反演變換，則、互為反點(diǎn)，、互為反點(diǎn)，不變，直線不變，的外接圓

4、的反形是直線由于直線與的外接圓正交，因而與正交，即有又，所以；同理，所以四邊形為平行四邊形，從而過的中點(diǎn)；同理也過的中點(diǎn)故、三線共點(diǎn)三. 證明點(diǎn)共圓例3. 設(shè)半圓的直徑為，圓心為，一直線與半圓交于、兩點(diǎn)，且與直線交于再設(shè)與的外接圓的第二個(gè)交點(diǎn)為求證： 證明：以為反演中心作反演變換，其中，為半圓的半徑，則半圓上的每一點(diǎn)都不變，與的反形分別為直線、且設(shè)、的反點(diǎn)分別為、，則為直線與的交點(diǎn)，在直徑上，直線的反形為的外接圓，直線的反形為的外接圓而是外接圓的直徑于是問題轉(zhuǎn)化為證明因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以過、三點(diǎn)的圓是的九點(diǎn)圓，而在九點(diǎn)圓上，又在邊上（不同于點(diǎn)），故，因此四. 證明一些幾何（不）等式例4. 設(shè)六

5、個(gè)圓都在一定圓內(nèi)，每一個(gè)圓都與定圓外切，并且與相鄰的兩個(gè)小圓外切，若六個(gè)小圓與大圓的切點(diǎn)依次為、證明：證明：如圖以為反演中心作反演變換，則與的反形為兩條平行線，其余5個(gè)圓的反形皆是與兩條平行線中一條相切的圓；且反形中第一個(gè)圓與第五個(gè)圓均與兩平行線相切，而其余三圓均與相鄰的兩圓相切設(shè)、的反點(diǎn)分別為、，則其反形中的五個(gè)圓與兩平行線中的一條（即的反形）依次切于、；再設(shè)這五個(gè)圓的半徑依次為、，則由勾股定理可得，同理，顯然，于是但，所以故練習(xí)：1. （2002土耳其數(shù)學(xué)奧林匹克）兩圓外切于點(diǎn)，且內(nèi)切于另一于點(diǎn)、，另是小圓內(nèi)公切線割的弦的中點(diǎn)，證明：當(dāng)、不共線時(shí)，是的內(nèi)切圓圓心2. （第30屆IMO預(yù)選題）雙心四邊形是指既有內(nèi)切圓又有外接圓的四邊形證明雙心四邊