合肥工業(yè)大學計算方法復化梯形公式實驗

1、計算方法實驗報告學號姓名班級實驗項目名稱實驗二數(shù)值積分一、實驗名稱實驗二數(shù)值積分二、實驗目的：(1) 熟悉復化梯形方法、復化Simps on方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(2) 能編程實現(xiàn)復化梯形方法、復化Simps on方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(3) 理解并掌握自適應算法和收斂加速算法的基本思想；(4) 分析實驗結果體會各種方法的精確度，建立計算機求解定積分問題的感性認識二、實驗內容及要求(1) 設計復化梯形公式求積算法，編制并調試相應的函數(shù)子程序(2) 設計復化辛浦生求積算法，編制并調試相應的函數(shù)子程序(3) 用龍貝格算法計算1sindx0 x輸入：積分區(qū)間，誤差限輸出：序列Tn

2、, Sn, Cn,Rn及積分結果(參考書本 P81的表2-5)取n=2，4，8，16，精確解為四、實驗原理及算法描述b在許多實際冋題中，常常需要計算定積分f (x)dx的值。根據(jù)微積分學基本定理，若被積函a數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，只要能找到f(x)的一個原函數(shù)F(x)，便可利用牛頓-萊布尼茲公式(1)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)(2)雖然找到了原函數(shù)，但因表達式過于復雜而不便計算(3)f(x)是由測量或計算得到的表格函數(shù)由于以上種種困難，有必要研究積分的數(shù)值計算問題。b利用插值多項式Pn(x) f (x)則積分f (x)dx轉化為abPn(x)dx，顯然易算。abPn ( x )dx 稱

3、為a插值型求積公式。最簡單的插值型求積公式是梯形公式和Simpson公式，。當求積結點提供較多，可以分段使用少結點的梯形公式和Simpson公式，并稱為復化梯形公式、復化Simpson公式。如步長未知，可以通過誤差限的控制用區(qū)間逐次分半的策略自動選取步長的方法稱自適應算法。梯形遞推公式給出了區(qū)間分半前后的遞推關系。由梯形遞推公式求得梯形序列，相鄰序列值作線性組合得Simpson序列,Simpson序列作線性組合得柯特斯序列，柯特斯序列作線性組合的龍貝格序列。若|R2-R1|<,則輸出R2;否則依此類推。如此加工數(shù)據(jù)的過程叫龍貝格算法，如下圖所示:復化梯形公式Tn11 hf(xo)22n

4、1f(Xk) f(Xn)k 1復化Simps on公式Snhn 1hf(x。)2 f(Xk)6k 1nf(xn)4kf(Xki)2梯形遞推公式T2nTn2h n 12k0f(xk2)24T T42SS加權平均公式：4T2nTnSn4 S2nSn4 142 1Cn4043Cn1Rn龍貝格算法大大加快了誤差收斂的速度，由梯形序列O(h2)提高到龍貝格序列的O(h8)bf (x) F (b) F (a)求得積分值。a-萊布尼茲公式。但是在實際使用中，往往遇到如下困難，而不能使用牛頓五、程序代碼及實驗結果1. 主程序int main()/cout << Ion gbeige(0, 1,;c

5、out << "請輸入你的區(qū)間和誤差限度：” << endl;double x, y, z;cin >> x >> y >> z;cout << "根據(jù)龍貝格算法 求岀的精確值為：” << Iongbeige(x, y, z) << endl;cout <<"K"<< ""<< "T" << ""<< "S" <&l

6、t; ""<< "C" <<"R" << endl;cout <<"0"<< ""<<tixi ng(0, 1, 1)<< en dl;cout <<"1"<< ""<<tixi ng(0, 1,2)<<""<< xingbusheng(0, 1, 1)<< en dl;<&l

7、t;cout <<"2" <<" "<< tixing(0,1, 4) <<" " <<xingbusheng(0, 1, 2) <<" " <<( double (16/15)*xingbusheng(0, 1, 2)-(double (1/15)*xi ngbushe ng(0, 1, 1)<< en dl;cout << "3" << " " <

8、<tixing(0,1,8)<<" " <<xingbusheng(0,1,4)<<' " << ( double (16 / 15)*xingbusheng(0, 1,4)-(double (1 / 15)*xingbusheng(0, 1,2)<<""<< longbeige(0, 1,<<endl;cout << "4" << " "<< tixing(0, 1,16

9、)<< ""<< xingbusheng(0, 1,8)<< " " << ( double (16/ 15)* xingbusheng(0, 1,4)-(double (1 / 15)*xingbusheng(0, 1,2)<< ""<< longbeige(0, 1,<< en dl;cout << "the result "<<4<<' is "<< longb

10、eige(0, 1,;return 0;2. 復化梯形公式子程序double tixing(double a, double b, int n)double fa = f(a);double fb = f(b);double h = ( b- a) / n;double fxk =;for ( int k = 1; k <= n - 1; k+)double xk = a + k*h;fxk = f(xk) + fxk;double res = (h / *(fa + *fxk + fb);return res;3. 復化辛浦生公式子程序：double xingbusheng( doub

11、le a, double b, int n) doubleh = ( b-a)/ n;doublefa = f(a);doublefb = f(b);/double s = fb - fa;double x = a;double fxk12 =;double fxk =;/*for (int k = 1; k <=n; k+)x = x + h / ;double fx = f(x);s = s + *f(x);x = x + h / ;s = s + *f(x);s = (h / *s;return s;*/for ( int k = 0; k <= n - 1; k+)doub

12、le xk1 = a + k*h;x = xk1 + h / ;fxk12 = fxk12 + f(x);for ( int k = 1; k <= n - 1; k+)double xk = a + k*h; fxk = fxk + f(xk);double s = (h / 6)*(fa + 4 * fxk12 + 2 * fxk + fb); return s;4. 龍貝格公式子程序: double Iongbeige( double a, double b, double wuchaxian) double h = b - a;double T1 = (h / *(f( a) +

13、 f( b);int k = 1;double S,x,T2,S2,S 1=0,C1=0,C2,R1=0,R2;double Tck100,Sck100,Cck100,Rck100;loop1:S = 0;x = a + h / ;while (x< b)S = S + f(x);x = x + h;T2 = (T1 / + (h / 2)*S;/ 第一個S2 = T2 + (1 / 3)*(T2 - T1);if (k = 1)Tckk = T2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2;goto loop1;C2 = S2 + (1 / 15)*(S2 - S1);i

14、f (k = 2)C1 = C2;Tckk=T2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2;goto loopl;R2 = C2 + (1 / 63)*(C2 - C1);if (k = 3)Tck k= T2;R1 = R2;C1 = C2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2;goto loop1;if (fabs(R2 - R1) >=wuchaxian)R1 = R2;C1 = C2; k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2; goto loopl;elsereturn R2;實驗結果：SB CAWindow5sysLeni32crT doc請輸入你的區(qū)問和誤差限度0 1 0L 0000000000001根據(jù)龍貝格算法求岀的精確直為；0. 946083%I0. 920735SCR懇10. 9397930. 945146L 20.9445140. 9450870. 94608730+ 9456910. 9160830. 9460830.9460834Q. 94598