概率論與數(shù)理統(tǒng)計：6-2獨立增量過程

1、獨立增量過程 引言引言 一、獨立增量過程1 1定義定義 設(shè)X( (t) ),t0為一隨機(jī)過程,對于0st,稱隨機(jī)變量X(t)-X(s)為隨機(jī)過程在區(qū)間s,t上的增量. 若對于任意的正整數(shù)n及任意的0t0 0t1 1t2 20的泊松過程，若它滿足下列條件(1) N(0)=0；(2) N(t)是獨立增量過程；(3) 對于任意的s,t0, N(t+s)-N(s)服從參數(shù)為t的泊松分布 , 2 , 1,!)()( kkteksNstNPkt 從條件(3)：泊松過程的均值函數(shù)為 ttN )( ,表示單位時間內(nèi)質(zhì)點出現(xiàn)的平均個數(shù),故稱為此過程的強度。 ttNE)(令N(s,t)=N(t)N(s),0s0的

2、泊松過程,若它滿足下列條件(1) N(0)=0；(2) N(t)是獨立增量過程；(3) N(t)滿足: tttttNP 1),( ttttNP 2),( 定理: 定義2與定義3是等價的。 2 2泊松過程的數(shù)字特征泊松過程的數(shù)字特征 設(shè)N(t),t0是泊松過程,則 EN(t)=t；DN(t)=t；).,min(),(tstsCN 3泊松過程的定理泊松過程的定理 設(shè)N(t),t0為泊松過程，N(t)表示到t時刻時質(zhì)點出現(xiàn)的個數(shù),W1，W2，.分別表示第一個，第二個，質(zhì)點出現(xiàn)的時間,Tn(n1)表示從第n1個質(zhì)點出現(xiàn)到第n個質(zhì)點出現(xiàn)的時間間隔. T1T2Tk0 W1 W2 Wk-1 Wk t 通常稱

3、 Wn為第n個質(zhì)點出現(xiàn)的等待時間,Tn為第n個時間間隔,它們都是隨機(jī)變量。 定理定理1 1. 設(shè)N(t)，t0是具有參數(shù)的泊松過程,Tn,n1,2,.是對應(yīng)的時間間隔序列,則隨機(jī)變量序列Tn,n=1,2,.為獨立的且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布。證明：(1)先確定T1的分布. 為此首先注意到事件T1t發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在時間間隔0,t內(nèi)沒有質(zhì)點出現(xiàn),因而 tetNPtTP 0)(1所以, T1具有參數(shù)為的指數(shù)分布。 (2)為求T2的分布,先求T1的條件下T2的條件分布,由獨立增量性有 sTtssPsTtTP 112,0內(nèi)內(nèi)無無質(zhì)質(zhì)點點出出現(xiàn)現(xiàn)在在 內(nèi)內(nèi)無無質(zhì)質(zhì)點點出出現(xiàn)現(xiàn)在在tssP , tetssNP

4、0),( 所以,可得T2也是一個具有參數(shù)為的指數(shù)分布的隨機(jī)變量且T2獨立于T1,重復(fù)同樣的推導(dǎo)可得定理。 下面求等待時間Wn分布，注意到第n個質(zhì)點出現(xiàn)在時間t或之前當(dāng)且僅當(dāng)?shù)綍r間t已出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)至少是n， 即 njjtnjtentNPtWP!)()( 上式對t求得，得Wn的概率密度是 000!1)(1ttntetfntWn 定理定理2.2.設(shè)Wn , n=1,2,是與泊松過程N(t),t0對應(yīng)的一等待時間序列，則Wn服從參數(shù)為n與的分布，其概率密度為 000!1)(1ttntetfntWn 注意，定理1的逆命題也成立 定理定理3.3. 如果相繼出現(xiàn)的兩個質(zhì)點的時間間隔是相互獨立，且服從同一指數(shù)

5、分布，則質(zhì)點流構(gòu)成了強度為的泊松過程。例.設(shè)X(t)是強度為的泊松過程，定義Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L0為常數(shù)，求Y(t),RY(s,t). 解： Y(t)=EY(t)=EX(t+L)-X(t)= (t+L)- t= L； RY(s,t)=CY(s,t)+ Y(s) Y(t), 對任意0ss0，W(t)-W(s)服從正態(tài)分布N(0,2(t-s)；(3)W(0)=0. 三、三、維納過程 則稱此過程為維納過程，下圖展示了它的一條樣本曲線。 2 2維納過程的性質(zhì)維納過程的性質(zhì) (1).(1). 維納過程 W(t)，t0為正態(tài)過程(每一個有限維分布均為正態(tài)分布)。 證明: 對于任意正整數(shù)

6、n和任意時刻t1,t2,tn(0t1t2tn)以及任意實數(shù)u1，u2，un，記 則則nkuankiik, 2 , 1, nnnnnnnkkktwatwatwatwatwatwatwatwu 111232212111 nkkkktwtwatwa2111 它是獨立正態(tài)隨機(jī)變量之和，所以它是正態(tài)隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的性質(zhì)知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服從n維正態(tài)分布，因此W(t)為正態(tài)過程。 (2). (2). 維納過程的均值函數(shù)自協(xié)差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)分別為 ),min(),(),(;0)(2tstsCtsRtWWW 高斯過程（正態(tài)過程） 一、定義： 設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，如果對任意的正整數(shù)

7、n及任意t1,t2,tnT，n 維隨機(jī)變量(X(t1),X(t2),X(tn)服從n維正態(tài)分布，則稱X(t)為正態(tài)過程。 正態(tài)過程是二階矩過程。 記其均值函數(shù)為X(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t)。 二、正態(tài)過程的性質(zhì)： 對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,tnT，n 維隨機(jī)變量(X(t1),X(t2),X(tn)的分布由其相應(yīng)的均值及協(xié)方差矩陣完全確定，所以X(t)和CX(s,t)完全確定了X(t)的有限維分布，也就確定了它的全部統(tǒng)計特性。因而有：1X(t),tT為正態(tài)過程，其統(tǒng)計特性由X(t)和CX(s,t)確定。 反之，可以證明，T=0,+,給定(t)和非負(fù)二元函數(shù)C(s,t)，則存在正態(tài)

8、過程X(t)，使X(t)=(t)，CX(s,t)=C(s,t)。 定義：設(shè)隨機(jī)過程X(t),tT，且對任意正整數(shù)n2，任意n個不同的t1,t2,tnT，隨機(jī)變量X(t1),X(t2),X(tn)相互獨立，則稱此過程為獨立隨機(jī)過程。2正態(tài)過程X(t),tT為獨立隨機(jī)過程對任意的s,t,st時，協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)=0.證明：“” n2,因為X(t1),X(t2),X(tn)相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量，而正態(tài)隨機(jī)變量X(t1),X(t2),X(tn)相互獨立其兩兩互不相關(guān)，即：CX(s,t)=0, st. “”因(X(t1),X(t2),X(tn)為n維正態(tài)隨機(jī)變量，于是X(t1),X(t2),X

9、(tn)為正態(tài)隨機(jī)變量，又CX(s,t)=0, st，所以X(t1),X(t2),X(tn)相互獨立。3 X(t)為正態(tài)過程它的任意有限多個隨機(jī)變量的任意線性組合是正態(tài)隨機(jī)變量。 事實上，由正態(tài)的性質(zhì)， n維正態(tài)隨機(jī)變量的充要條件是其任意一維線性組合為一維正態(tài)隨機(jī)變量，顯然成立。 4X(t)為正態(tài)過程，則X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)過程X(t)是寬平穩(wěn)過程。 證明：“” 因高斯過程是二階矩過程，由嚴(yán)平穩(wěn)過程性質(zhì)，顯然成立。 “”由已知：X(t)=X，Rx(t,t+)只與有關(guān)。 由嚴(yán)平穩(wěn)過程定義，對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,tnT, t1+h,t2+h,tn+hT,要證：（X(t1),X(t2), X

10、(tn)）與（X(t1+h),X(t2+h), X(tn+h)）同分布（*）。 而正態(tài)過程的分布由X及Rx(s,t)決定，X為常數(shù)。 ),(),(hthtRttRjiXjiX ),(),()()(),(),(2jiXXjiXjXiXjiXjiXttCttRtththtRhthtC 即(*)式成立。 例：設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Ucos0t+Vsin0t,t0. 0為常數(shù)，U,V是兩個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量，且E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V2)=2.試證：X(t)為正態(tài)過程，并求其一、二維概率密度.解：（1）證X(t)為正態(tài)過程：只須證X(t)的任意有限多個隨機(jī)變量的任意線性組合是一維正

11、態(tài)隨機(jī)變量。 對任意正整數(shù)n， 0t1t2tn, 及任意a1,a2,anR, .sincos)(10101BVAUVtaUtatXaWniiiniiiniii 即：W是兩相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合，所以W是一維正態(tài)隨機(jī)變量，于是X(t)為正態(tài)過程。 （2）求一維概率密度. 對確定的t0,X(t)為正態(tài)隨機(jī)變量且 EX(t)=E(V)cos0t+E(V)sin0t=0， DX(t)=D(V)cos0t+D(V)sin0t=2， 于是X(t)的一維概率密度為： 22221);( xetxf （3）求二維概率密度. t1,t20, EX(t1)=EX(t2)=0， cov(X(t1),X(t2

12、)=EX(t1),X(t2) =E(Ucos0t1+Vsin0t2)(Ucos0t1+Vsin0t2) =E(U2cos0t1cos0t2)+E(V2sin0t1sin0t2)+0 =2cos0(t1-t2)， 于是,二維正態(tài)隨機(jī)變量(X(t1),X(t2)的均值和協(xié)方差矩陣分別為： =(0,0) 12202022,coscosttC ),(,|21),;,(212122121列列向向量量是是所所以以xxxxeCttxxfCx 為了以后的需要推廣到： (1)f(t)為a,b上的復(fù)值函數(shù)，相應(yīng)極限為 0)()(lim210| njjjjYtuXufE其中Y一般為復(fù)值的隨機(jī)變量. (2)兩元普通函數(shù)f(s,t)（亦可為復(fù)值） 0)()(),(lim),()()(210| njjjjbatYtuXtufEdstsfsXtY(3)若為無限區(qū)間： babadttXtfmildttXtf)()(.)()(性質(zhì)：TH。X(t)為a,b上均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，f(t)在a,b連續(xù)，則（1） badttXtf)()(存在. baXbabadttfdttXEtfdttXtfE)()()()()(2 ）（ njjjjtuXufm