2022年方程思想想-專題訓練(含解答)-

1、精品資料歡迎下載方程思想在解決數(shù)學問題時， 有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過設(shè)元， 查找已知與未知之間的等量關(guān)系， 構(gòu)造方程或方程組， 然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化， 這種解決問題的思想稱為方程思想；1. 要具有正確列出方程的才能有些數(shù)學問題需要利用方程解決，而正確列出方程是關(guān)鍵，因此要善于依據(jù)已知條件， 查找等量關(guān)系列方程；2. 要具備用方程思想解題的意識；有些幾何問題表面上看起來與代數(shù)問題無關(guān)，但是要利用代數(shù)方法列方程來解決，因此要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識， 仍有一些綜合問題， 需要通過構(gòu)造方程來解決；在平常的學習，應當不斷積存用方程思想解題的方法；3. 要把握運用方

2、程思想解決問題的要點；除了幾何的運算問題要使用方程或方程思想以外，常常需要用到方程思想的仍有一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系，方程、函數(shù)、不等式的關(guān)系等內(nèi)容，在解決與這些內(nèi)容有關(guān)的問題時要留意方程思想的應用；例題分析例 1：一商店以每3 盤 16 元錢的價格購進一批錄音帶，又從另外一處以每4 盤 21 元錢價格購進比前一批數(shù)量加倍的錄音帶，假如以每 3 盤 k 元的價格全部出售可得到所投資的20 的收益，求 k 的值；分析 ：可以設(shè)商店第一次購進x 盤錄音帶，就其次次購進2x 盤錄音帶；依據(jù)題意，列出方程： x2 x k 3 x 1632x21120%4解這個方程： x k32636xx0

3、65兩邊除以x，得： k19答： k 的值是 19；小結(jié) ：上述例題是應用問題， 正確列出方程是解題的關(guān)鍵，在學習過程中要不斷培育這 方面的才能；其中所設(shè)的x 是幫助元，它在解題過程中是參與變化的量，可以消去， 也叫做參變量，并不是最終所求的未知量；從此題可以看出，設(shè)幫助元x 以后可以便利我們解題；例 2： abc中， abac， 以 ab為直徑的圓交bc于 d，交 ac于 f， de切半圓于 d，交 ac于 e，如 ab： bc 5： 6，且 af 7，求 ce的長；解：連結(jié) ad、fd；ab 是直徑adb90 acabd是bc中點cdbdf、a、b、d四點共圓cfdbb cc cfd ，d

4、cdfcdf cabcf： cbcd：acab：bc5： 6，設(shè)abac5x，bc6x；cd3xcf： 6 x3x： 5 xcf5x7即5x7： 6x3： 5x5，ac25 cf18ed 是切線，edfcadcad1bac， 2cdfbacedfcad1bac 21cdfcde 2ceef ，ce 9cefdaob例 3： 已知方程 x 264x10 兩根為a、b，方程 x278x10 兩根為 c、d，求acbc ad bd 的值 .解：由根系關(guān)系得：ab64，a b1 cd78，c d1ac bc ad bd acbd bcad abcbadcbcd abad acbdbdaccd2abc

5、c2cdb2b 2a 2cda d 2abd22c、 d是方程 x 278x10的兩根c278cc2d 210 ， d 278 cd78d102同理： a 2b 264 ab2原式c2d 2 a 2b 2 =78c + d264ab2=7878646422478641988例 4：已知方程 2 x5x 324x253x200 有兩個根的積等于2，解這個方程；分析 ：如直接求解此方程較困難，可以利用待定系數(shù)法，由根與系數(shù)的關(guān)系可知， 兩根之積為 2 的一元二次方程，假如二次項的系數(shù)是1，那么常數(shù)項是2；解：設(shè) 2x 4 x25x 3ax24x 22 2x253xbx20102x 42ab x3

6、ab6x 2 10a2bx202ab5比較對應項系數(shù)，得ab624解得： a9 ， b210a2b534 ；原方程可以化成 x29 x2 2 x224 x100原方程的根是1 ， 4 ，216 ；小結(jié) ：本例是一個解方程的問題，但是在求解過程中仍舊表達了方程思想，利用根系關(guān)系構(gòu)造方程，利用待定系數(shù)法構(gòu)造方程組，都是方程思想的應用；易錯題分析例 1.已知關(guān)于 x 的方程mx22 m1 xm20 有兩個正整數(shù)根，求整數(shù)m；分析：此題關(guān)于 x 的方程 mx 22 m1 xm20 有兩個正整數(shù)根， 所以這個方程是一元二次方程， m0 ，假如用根系關(guān)系來解，即x1x20 ， x1x20 ，0；列出關(guān)于

7、m的不等式， 再由正整數(shù)根的條件求出m的值，方法比較繁；一般來說，解字母系數(shù)的一元二次方程，都可以分解因式，這樣解法比較簡便；解：將方程mx22m1xm20 分解因式：mx m x112 x10xm2221mmx20且x2 是正整數(shù)m1或m2檢驗：當 m 1 時，方程為 x 24x30 x1 x30x11， x232當 m 2 時，方程為 2xx2 x6x3x 1 x402020x11， x22m1或m2均符合題意點證：此題有的同學解法比較繁，而且簡單錯，用分解因式的方法較好；另外求出22xm2 以后，變形為 x m12 以后，便于爭論m的值；最終，求出m的值以后要注m意檢驗是否符合題意，以免

8、多解或丟解，仍可以檢驗0 ， x1x20， x1x20 等；例 2.如關(guān)于 x 的方程 k 21) x26 3k1x720 ，有兩個不同的正整數(shù)根，求正整數(shù) k 的值；分析： 此題用因式分解的方法較好，但求出 k 以后， 要留意檢驗， 由于題目要求有兩個不同的正整數(shù)根，所以0 ；解：關(guān)于 x 的方程 k 21x 263k1 x720 有兩個不同的正整數(shù)根k 210 ， k1 ，將方程的左邊分解因式： k1 x12 k1 x60x12 ，x612k1k1x1和x2 是兩個不同的正整數(shù)由x112 ，得k0，1， 2， 3，5，11由x2k16得k k12， 3， 4， 7k2或k3但 63k k3

9、1 24k 21720即k320k2時， x14， x26，k2符合題意點評：此題簡單錯在k3 沒有舍；所以肯定要留意檢驗0 ；例 3.已知拋物線 yx 24 xm8 在 x 軸上方，關(guān)于x 的方程 m3x 222mx2 m30 兩個不等實數(shù)根是、，當 m是整數(shù)時， 求的值；分析： 此題是二次函數(shù)和方程的綜合題，要用限定 m的范疇， 由已知 m是整數(shù)確定 m的值；然后用根系關(guān)系求出的值；解：yx 24 xm8 在 x 軸上方1164 m80m4又方程有兩個不等實根28m2m14 2m29m90由 4mm2或m1又m是整數(shù)3但方程 m3x 222mx2m30 有兩個不等實根是一元二次方程m30，

10、即m m2，方程為 x 24 2，22342x101 2234點評：此題簡單錯的地方是求出m2 和m3 以后，沒有舍去m 3，所以肯定要檢驗一元二次方程的二次項系數(shù)，使其不為零；以上三個例題，組成一個題組，小結(jié)為一元二次方程要留意驗二次項系數(shù)，驗，并且仍要檢驗是否符合題意，這樣才能防止出錯；練習一.挑選題：1. 已知abc的周長是28， a120，其內(nèi)切圓半徑為3 ，就三角形三邊的長是（）a. 8，7， 13b. 8 ， 5， 12c. 6 ，7， 14d. 8 ， 7， 142. 已知等腰三角形的一腰與底邊的長分別為方程x 26xa只有一個時， a 的取值范疇是（）0 的兩根， 如這樣的三角

11、形a. a<8b. 0<a<8c. 0<a<8 或 a 9d. a 93. 已知斜邊為10 的直角三角形的兩條直角邊a、b 為方程 x2就 m的值為（）mx3m60 的兩根，a. m 8b. m 14c. m 14 或 m 8d. m 54. 已知二次函數(shù)圖象頂點坐標為（2， 4），交 y 軸于點（ 0， 3），就它的解析式是（）a. y1 x2x34b. y1 x2x34c. y1 x2x34d. y1 x 2x345. 在 abc 中， adbc于d，b 60 ， c45 ， bc6 ，就 ad的長為（）a. 9b. 933c. 933d. 336. 如圖，

12、ae 切 o于 d，并且和弦 bc的延長線交于a，cd平分bde就 ac的長為（）a. 14b. 15c. 16d. 17， cd7 ， ad 12，cbade7. rtabc 中， c90 ， o與 ab、ac相切于 m、n，且圓心 o在 ab 上，又 ao=15cm，bo=20cm，就 o的面積為（）a. 144cm2b. 144cm2c. 169cm2二.填空題：d. 196cm21. 已知abc 的三邊長為a、 b、c，且滿意 1a>b>c ， 22b a c， 3b是正整數(shù)，4 a 2b2c284 ，就 b 的值是；2. 已知a 為自然數(shù)，二次方程x 2 32 x2a40

13、 有一正整數(shù)根p ，那么a=，方程的另一極是 ；3. 已知 m 是整數(shù)，二次方程 mx 22m1xm2 0 有兩個正整數(shù)根，就m 的值是 ；三.解答題：1. 某考生的準考證號碼是一個四位數(shù)，它的千位數(shù)字是1，假如把 1 移到個位上去，那么所得的新數(shù)比原數(shù)的5 倍少 49，求這個考生的準考證號碼；2. 如 圖 ， 正 方 形 abcd 的 中 心 為 o， 面 積 為 1989cm2 ， p為正方形內(nèi)的一點，且opb45 ， pa： pb5： 14 ，求 pb的長；dcopab3. 已知 x 、x是關(guān)于 x 的一元二次方程mx 2mnm1) x4 n0 的兩個實數(shù)根，12y 、y是關(guān)于y的方程8

14、 y22m4 y5n0的兩個實根，且12x1 y11，x2 y21， 求 m、n 的值；4. 如圖， eb是直徑， o是圓心， cb、cd切半圓于 b、d、cd交 be延長線于 a 點，如 bc=6， ad=2ae，求半圓的面積；cdaeob5. 已知拋物線 yx 22m1 xm3 與 x 軸有兩個交點 a、b，且 a 在 x 軸正半軸，b 在 x 軸負半軸，設(shè)oa長為 a， ob長為 b；(1) 求 m的取值范疇；(2) 如 a、b 滿意 a： b 3： 1，求 m的值；(3) 由2 所得的拋物線與y 軸交于 c，問在拋物線上是否存在一點p，使pacoac？如存在，求 p 點的坐標；假如不存

15、在，請說明理由；疑難解析a. 老師自己設(shè)計的問題：1. 解答題的第 4 小題怎樣用方程的思想解決問題？2. 解答題的第 5 小題的解題思路是什么？b. 對問題的解答：1. 答：這個題也是方程思想的應用，關(guān)鍵在于懂得 ad=2ae在條件中的作用； 由于有倍半關(guān)系，所以 ae： ad=1：2，這是方程思想應用最明顯的學問特點；再利用勾股定理和成比例線段的學問，就可以轉(zhuǎn)化為方程求解了；略解 ：連結(jié) co、de、bd，設(shè) db交 oc于 f 點；cd 、cb是切線cdcb6，且dcobcocodb，ab是直徑edb90 ，de / / coad ： dcae： eo ad ： aecd ： eoad2

16、 aecd ： eo2：1，eo3s半圓1r2 ，29s半圓22. 答由于拋物線與 x 軸有兩個交點a、b，可知方程x 22m1xm30 有兩個不等實根，即判別式大于零，由已知a 在 x 軸正半軸， b 在 x 軸負半軸，可進一步確定上面方程有一個正根，一個負根，從而將函數(shù)圖形問題轉(zhuǎn)化為方程根的判定去解決；略解 ：（ 1）由題意：2m1 241 m30即 m23m4m3 2270 ，m可取任意實數(shù)；4a 、b 兩點在 y 軸兩側(cè)，即方程x 22m1) xm30 有一正根，一負根；即 x1x2 m30解得 m3（ 2）由題意，得aa ， 0 ， b b， 0a : b3 : 1ab2m1a3baba3bm3解得 m1m00 ， m25，經(jīng)檢驗 m35不合題意舍去；3（ 3）由拋物線 yx 22x3 ，令 x=0，得 y=3，0, 3由 m=0，求出 a=3， b=1；a3, 0oac 為等腰直角三角形；如存在點 p，使pacoac 時，oaoc,pac與 aoc 關(guān)于 ac為軸對稱圖形， p 點坐標 3 ， 3 ，將 x=3 代入 yx 22x3 中，得 y=0，說明 p3 ， 3 不在拋物線上，即不存在拋物線上的點p，使pacoac ；試題答案一.1. a2. c3. b4. d5. b6. c7. a二.1. 52. 4213. m=1或 m=2