數(shù)列討論奇偶

1、(I )證明：a4, a5, a6成等比數(shù)列；(U )求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式;(m)記，證明解：(I )證明：由題設(shè)可知，a2=ai+2=2 , a3=a2+2=4，a4=a3+4=8 ，a5=a4 +4=12 ，a6=a5+6=18 ，從而，所以a4，a5，a6成等比數(shù)列.(II )由題設(shè)，可得 a2k+i -a2k-i =4k , k N* , 所以 a2k+i -a i=(a 2k+i-a 2k-i )+(a 2k-i -a 2k-3 )+ ? +(a 3-a 1)=4k+4 ( k-1 )+? +4 X 1=2k(k+1 ) ? k N* ,由 ai=0 ,得 a2k+i=2k ( k

2、+l ),2從而 a2k=a 2k+i-2k=2k ,或與所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為以下分兩種情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m(m N*),FZll,n=4 , 6,8,2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1 (m N*),n N*,綜合(1 )和(2)可知，對(duì)任意n >2, 有2.(本小題總分值12 分)數(shù)列an 滿足 a1 1,a2 2,an 2 (1 cos 22n)an2 n2nsin 丄n21,2,3,.(I )求as,a4,并求數(shù) 列an的通項(xiàng)公式;(n )設(shè) bna2n 1a2n,Snbi b2bn .證明：當(dāng)6 時(shí)，Sn解(I )因?yàn)閍11,a22,所以a3 (1 c

3、os 2 )a122Sin 21 1 2,an (1 cos 2)a22sin2a2 4.般地，當(dāng)n2k1(k N)時(shí)，a2k 1 1 cos2(2 k 1) a2k1 sin2 2k212a2k 1 1 ，a2k 12k 11.所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)為當(dāng) n 2k(k所以數(shù)列N )時(shí)，a2k 2是首項(xiàng)為1、公差為1列，(1 cos2 2k的等差數(shù)因此a2k 1 k.'22 2k sin2a2k.a2k故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為(n)由(I )知， bna2n 1a2na2n2n公比為k2的等比數(shù)列，因此a2k 2k.n 1 *2,n 2k 1(k N *), n22 ,n 2k(k N *

4、).sn 2 22 S n2332244221221-得，2Sn 112322 1n何1213n2nn2n 11 n2n2n 1 .所以Sn要證明當(dāng)證法(1)當(dāng) n = 612n 11212n 1n2n 22n2n6時(shí)Sn21成立，n時(shí)，6 (62)48 326644只需證明當(dāng)n 6時(shí)，成立-1k(k 6)時(shí)不等式成立，n(n2 n 2)k(k 2)假設(shè)當(dāng)n1.那么當(dāng)n = k+1 時(shí)，(k 1)(k 3) k(k2k12)2k(k 1)(k 3)2k(k 2)(k 1)(k 3) 1.(k 2) ?2k 1.由、所述，當(dāng) n > 6 時(shí)，n(n 1)2n1，21即當(dāng)n >6時(shí)，S

5、n證 法法令 Cnn(n 2) (n2n6)，貝U Cn 1Cn(n1)(n 3) n(n 2)2n 132n n1202n所以當(dāng)6時(shí)，Cn 1 Cn.因此當(dāng)6時(shí)，Cn C66 8 31.64 4當(dāng)6時(shí),n(n 2)12n2k綜上所述，當(dāng)n 6時(shí)，Sn 2-扌 n=3k-l(1)利用二倍角公式可得Aw=?2-COSy,由干C05 2兀打n=3k-2所以求和時(shí)需要對(duì)rt分矣討論分矣討論，求出和9滬4由可得計(jì)而，利駐位相減求岀數(shù)列飽和&*工。刃冗？ 2力冗2nn解：(1 )由于£<5S故 S : *= ( aAa.+a,) + ( a 4+a5+ae)+?十(a3k-2+a3k.I+a : x)丸-童+32)+(一 £±£+62)+?+-型辺沁應(yīng)十(3上円2 2 2_ 18 左-5 =上(4-9 上)2 2_k(4-9k)-_O _7S3k-S3kS =S -a 3k-23k3A-13 Al故訐3J n=3k2卡cos a, ann ?co£ *一 9 叫(31J2J65 亠 1)(1 一 3 力)6M3D6-(2)d =-A= 5+413 222l4 421 2?47 =*13?n 2U 4兩式相減得2mt3疋一 21廠69n=3k-2n=