數(shù)軸與動點(diǎn)問題探討

1、數(shù)軸上的線段與動點(diǎn)問題1數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去 左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)左邊點(diǎn)表示的數(shù)。2點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较颍虼讼蛴疫\(yùn)動的速度看作正速 度，而向左運(yùn)動的速度看作負(fù)速度。 這樣在起點(diǎn)的根底上加上點(diǎn)的運(yùn)動路程就可以直接得到 運(yùn)動后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為 a,向左運(yùn)動b個(gè)單位后表示的數(shù)為 a b;向右運(yùn)動 b 個(gè)單位后所表示的數(shù)為 a+b。3數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動形 成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。【例題學(xué)習(xí)】1、數(shù)軸上有 A、B、C三

2、點(diǎn)，分別代表一24, 10，10，兩只電子螞蟻甲、分別從 A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位/秒。問多少秒后，甲到 A B、C的距離和為40個(gè)單位？假設(shè)乙的速度為6個(gè)單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從 A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問甲、 乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？在的條件下，當(dāng)甲到 A、B C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。問甲、乙還能 在數(shù)軸上相遇嗎？假設(shè)能，求出相遇點(diǎn)；假設(shè)不能，請說明理由。例2 .如圖， A B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為一20, B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為100。AAB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)；-20100 r現(xiàn)有一只電子螞蟻 P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時(shí)另一只

3、電子 螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C點(diǎn) 相遇，求C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；假設(shè)當(dāng)電子螞蟻 P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。例 3數(shù)軸上兩點(diǎn) A、B 對應(yīng)的數(shù)分別為 1，3，點(diǎn) P 為數(shù)軸上一動點(diǎn)， 其對應(yīng)的數(shù)為 x。(1) 假設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn) P對應(yīng)的數(shù)；(2) 數(shù)軸上是否存在點(diǎn) P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5?假設(shè)存在，請求出 x的值。 假設(shè)不存在，請說明理由？(3) 當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長度的速度

4、從 0點(diǎn)向左運(yùn)動時(shí)，點(diǎn) A以每分鐘5個(gè)單位長度 向左運(yùn)動，點(diǎn)B 一每分鐘20個(gè)單位長度向左運(yùn)動，問它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、 點(diǎn) B 的距離相等?例4.點(diǎn)Ai、A2、A3、An n為正整數(shù)都在數(shù)軸上，點(diǎn)Ai在原點(diǎn)0的左邊，且AiO=1，點(diǎn)A2在點(diǎn)Ai的右邊，且 A2Ai=2，點(diǎn)A3在點(diǎn)A2的左邊，且 A3A2=3，點(diǎn)A4在點(diǎn)A3的右邊，且A4A3=4 ,，依照上述規(guī)律點(diǎn)A2021、A2021所表示的數(shù)分別為。A . 2021, 2021 B . 2021，2021 C. 1004， 1005 D . 1004, 10045、如圖，假設(shè)點(diǎn) A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為 a，點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為

5、b，且a, b滿足2I a+ 2 |+( b 1)= 0。AB1II1求線段AB的長；11102 點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為1x,且x是方程2x 1 = x + 2的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使PA+ PB= PC,假設(shè)存在，求出點(diǎn) P對應(yīng)的數(shù)；假設(shè)不存在，說明理由。6、線段 AB= 12, CD= 6,線段CD在直線AB上運(yùn)動，CA在B的左側(cè)，C在D的左側(cè) 1 M N分別是線段 AC BD的中點(diǎn)，假設(shè) BC= 4，求MN2當(dāng)CD運(yùn)動到D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，P是線段AB的延長線上一點(diǎn)，以下兩個(gè)結(jié)論：PA + PB PC是定值,PA - PBPo"是定值。其中有一個(gè)正確，請你作出正確的選擇，并

6、求出其定值。7、觀察以下每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離4與 2 , 3與5, 2與 6 , 4與3.并答復(fù)以下各題：(1) 你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：.(2) 假設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn) A表示的數(shù)為X,點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,那么A與B兩點(diǎn)間的距離 可以表示為.(3) 結(jié)合數(shù)軸求得 X 2 X 3的最小值為，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 _ (4)滿足x 1 x 43的X的取值范圍為規(guī)律發(fā)現(xiàn)專題訓(xùn)練1.用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如下所示的規(guī)律拼成假設(shè)干個(gè)圖案：色地磚4塊；那么第(n)個(gè)圖案中有 白色地磚塊。第(4)個(gè)圖案中有黑2.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，

7、隔裂分家萬事非。如圖，111 1在一個(gè)邊長為1的正方形紙版上，依次貼上面積為一，一，-，一的矩2 4 82n形彩色紙片(n為大于1的整數(shù))。請你用“數(shù)形結(jié)合的思想，依數(shù)形變化 的規(guī)律，計(jì)算-一-丄=。2 4 82ni11a4第X1 = 1，第二個(gè)數(shù)為X2=3，第三個(gè)數(shù)開始依次記為 X3, X4,，Xn ；從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)是它相鄰兩個(gè)數(shù)和的一半。如：X2=X3 23.有一列數(shù)：第一個(gè)數(shù)為(1)求第三、第四、第五個(gè)數(shù)，并寫出計(jì)算過程;根據(jù)(1)的結(jié)果，推測X8=(3)探索這一列數(shù)的規(guī)律，猜測第k個(gè)數(shù)Xk=.(k是大于2的整數(shù))4.將一張長方形的紙對折，如下圖可得到一條折痕(圖中虛線).繼續(xù)對

8、折，對折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行， 連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折四次可以得到條折痕.如果對折n次，可以得到 條折痕1IlIkii1111l1i11hlliIIII1IIIR1111I11屮11i<11即J1iiill!|11'1411111HU1U11Ki11H41H1111ili11|ii|14111111i1ll審1jIiiL第一次對折弟二次對折第三次對折1 2 34563,8,15,24,35,48，6.古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1, 3,5.觀察下面一列有規(guī)律的數(shù),根據(jù)這個(gè)規(guī)律可知第 n個(gè)數(shù)是 n是正整數(shù)6，10，15，21，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性那么第

9、24個(gè)三角形數(shù)與第22個(gè)三角形數(shù)的差為7、觀察下面一列數(shù)：-1 , 2, -3 , 4, -5 , 6, -7 ,.,將這列數(shù)排成以下形式按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊第9個(gè)數(shù)是-12-3 4-56 -7 -910 -11 12 -13 14 -15 168.探索：一條直線可以把平面分成兩局部，兩條直線最多可以把平面分成4局部，三條直線最多可以把平面分成 局部，四條直線最多可以把平面分成 局部，試畫圖說明；n條直線最多可以把平面分成幾局部？練習(xí)穩(wěn)固】1.數(shù)軸上 A、B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為一2, 4, P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為 X。假設(shè)P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在

10、 P點(diǎn)，使P點(diǎn)到A B距離和為10?假設(shè)存在，求出x的值；假設(shè)不存在， 請說明理由。假設(shè)點(diǎn)A、點(diǎn)B和P點(diǎn)P點(diǎn)在原點(diǎn)同時(shí)向左運(yùn)動。它們的速度分別為1、2、1個(gè)單位長度/分鐘，那么第幾分鐘時(shí) P為AB的中點(diǎn)？2.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn) K0,第一步從 K0向左跳一個(gè)單位到 K1,第二步由K1 向右跳2個(gè)單位到K2,第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3,第四步由K3向右跳4個(gè)單位到 K4按以上規(guī)律跳了 100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的 K100所表示的數(shù)恰是19.94。試 求電子跳蚤的初始位置 K0點(diǎn)表示的數(shù)。3、數(shù)軸上A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為一5, B點(diǎn)在A點(diǎn)右邊，電子螞蟻甲、乙在 B分別以分別以2個(gè)單 位/

11、秒、1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，電子螞蟻丙在 A以3個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動。假設(shè)電子螞蟻丙經(jīng)過 5秒運(yùn)動到C點(diǎn)，求C點(diǎn)表示的數(shù)；A B(1)(2)-5假設(shè)它們同時(shí)出發(fā)，假設(shè)丙在遇到甲后 1秒遇到乙，求B點(diǎn)表示的數(shù);A B(3)在(2)的條件下，設(shè)它們同時(shí)出發(fā)的時(shí)間為 離是丙到甲的距離的 2倍？假設(shè)存在，求出A4、三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且ababac bcac bcaxt秒，是否存在t的值，使丙到乙的距 值；假設(shè)不存在，說明理由。 bx-5 cx 1的值是5、如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA,逆時(shí)針方向依次在射線上寫出數(shù)字1, 2,(1) “17 在射線 上,“ 2021

12、在射線上.OB，3, 4，5，oc,OD , OE, OF ,6, 7,.從射線OA開始按例1、分析：如圖1,易求得 AB=14 , BC=20, AC=34甲AC-跖-in010設(shè)x秒后，甲到 A、B、C的距離和為40個(gè)單位。此時(shí)甲表示的數(shù)為一24+4x。 甲在AB之間時(shí)，甲到 A、B的距離和為 AB=14甲到C的距離為10( 24+4x) =34 4x依題意，14+ ( 34 4x) =40,解得 x=2 甲在BC之間時(shí)，甲到 B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x 依題意，20+4x) =40 ,解得x=5即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位。 是一個(gè)相向而行的相遇問

13、題。設(shè)運(yùn)動t秒相遇。依題意有，4t+6t=34，解得t=3.4相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一 24+4 X 3.4= 10.4(或：106 X 3.4= 10.4)甲至U A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，即的位置有兩種情況，需分類討論。 甲從A向右運(yùn)動2秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。此時(shí)甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點(diǎn)，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：一24+4X 2 4y;乙表示的數(shù)為：10 6X 2 6y依題意有，一24+4X 2 4y=10 6X 2 6y，解得 y=7相遇點(diǎn)表示的數(shù)為：一24+4X 24y= 44(或：106X 2 6y= 44) 甲從A

14、向右運(yùn)動5秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：一24+4 X 54y;乙表示的數(shù)為：10 6X 5 6y依題意有，一24+4X 5 4y=10 6X 5 6y，解得y= 8 (不合題意，舍去) 即甲從A點(diǎn)向右運(yùn)動2秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一44。例2、分析：設(shè)AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為X,由BM=MA所以x( 20) =100 X,解得 x=40 即AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為40易知數(shù)軸上兩點(diǎn) AB距離，AB=140，設(shè)PQ相向而行t秒在C點(diǎn)相遇，依題意有，4t+6t=120 ,解得t=12(或由P、Q運(yùn)動到C所表示的數(shù)相同，得一 20+4t=100 6t, t=12)相遇

15、C點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20+4t=28 (或100 6t=28)設(shè)運(yùn)動y秒，P、Q在D點(diǎn)相遇，那么此時(shí)P表示的數(shù)為100 6y,Q表示的數(shù)為一20 4y。 P、Q為同向而行的追及問題。依題意有，6y 4y=120，解得y=60(或由P、Q運(yùn)動到C所表示的數(shù)相同，得一 204y=100 6y, y=60)D 點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20 4y= 260 (或 100 6y= 260)例3、解：點(diǎn)P到點(diǎn)A.點(diǎn)B的距離相等，點(diǎn) P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為X點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn) X 為 1由AB=4，假設(shè)存在點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5, P不可能在線段 AB上，只能在 A 點(diǎn)左側(cè)，或B點(diǎn)右側(cè)。 P 在

16、點(diǎn) A 左側(cè)，PA= 1 x, PB=3 x依題意，(一1 x) + (3x) =5，解得 x= 1.5 P 在點(diǎn) B 右側(cè)，PA=x ( 1) =x+1 , PB=x 3依題意，(x+1 ) + (x 3) =5，解得 x=3.5(3)設(shè)x分鐘后點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等；出發(fā)x分鐘后，點(diǎn)P、A、B對應(yīng)的數(shù)分別為-x、-1-5x、3-20x ,可列方程：|(-x)-(-1-5x)| = |(-x)-(3-20x)|，即有：|4x+1| = |19x-3| ,分兩種情況討論： 當(dāng) 0 < x < 3/1時(shí),4x+1 = 3-19x ，解得：x = 2/23 < 3/19 ;

17、當(dāng) x > 3/19 時(shí)，4x+1 = 19x-3 ，解得：x = 4/15 > 3/19 ;綜上可得：2/23分鐘后或4/15分鐘后，點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等。 例4、分析:如圖，點(diǎn)A1表示的數(shù)為一1 ；點(diǎn)A2表示的數(shù)為一1+2=1 ;點(diǎn)A3表示的數(shù)為一1+2 3= 2;點(diǎn)A4表示的數(shù)為一1+2 3+4=2點(diǎn) A2021表示的數(shù)為一1+2 3+4 2007+2021=1004點(diǎn) A2021表示的數(shù)為一1+2 3+4 2007+2021 2021=10057、( 2)分析:x 2即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。x ( 1)| x 1x 3 x ( 3)即x

18、與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上 x與-3之間的距離。iw11W-11J1 1 12 -3 -£2送如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能:圖1圖2圖3圖2符合題意5、-3 < x < 2x 4表示數(shù)軸上x與-4之間(3)分析： 同理x 1表示數(shù)軸上x與-1之間的距離,的距離。此題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上 x與-4之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。1.4n+22.1-1/2n 3.解：根據(jù)上面的分析(1) X3=2x-X1=2X3-1=5 ;X4=2-x 2=2X5-3=7 ; X5=2xx 3=2X7-5=9 ; (2)解：x*=16; (3)2n-1 4.15;2 n-15.n/n(n+2)6.45根據(jù)所給的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+- +n,那么第24個(gè)三角形數(shù)與第22個(gè)三角形數(shù)的差為23+24=47 .解答：解：第24個(gè)三角形：1+21+22+23+24第22個(gè)三角形：1+21+228.90解：根據(jù)每行的最后一個(gè)數(shù)的絕對值是這個(gè)行的行數(shù)n的平方，所以