第一節(jié)二階及三階行列式空間直角坐標(biāo)系

1、一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系第八章第八章 向量代數(shù)向量代數(shù) 空間解析幾何空間解析幾何第一節(jié)二階及三階行列式第一節(jié)二階及三階行列式 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 設(shè)二元一次方設(shè)二元一次方程為程為一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式1. .二階行列式二階行列式我們從解二元一次方程組入手，我們從解二元一次方程組入手， .,222111cybxacybxa當(dāng)當(dāng) a1b2 a2b1 0 時(shí)，時(shí)， 方程組的解為方程組的解為,12211221bababcbcx 12211221babacacay 二階行二階行列式含有兩行兩列列式含有兩行兩列. a1, b1

2、 , a2, b2 叫做行列式的叫做行列式的元元素素，行列式中橫排叫做行列式中橫排叫做行行， 縱排叫做縱排叫做列列，這就叫這就叫二階行列式二階行列式，為了便于記憶，為了便于記憶， 我們把我們把 a1b2 a2b1記作記作,2211baba, 12212211babababa 即即2211baba( )(+)26)1(013213012 ,83)2(212231 利用行列式，利用行列式， 二元一次方程組的解可以表示成：二元一次方程組的解可以表示成：,22112211bababcbcx .22112211babacacay ,12211221bababcbcx .12211221babacacay

3、 是由方程組是由方程組 中中 x、y 的系數(shù)按原來次序排列成的的系數(shù)按原來次序排列成的，稱為方程組的稱為方程組的系系數(shù)行列式數(shù)行列式， 分母中的行列式分母中的行列式 2211baba記為記為 d. 行列式行列式 是把系數(shù)行列式中是把系數(shù)行列式中 x 的系數(shù)的系數(shù) a1 ，a2 2221bcbc而成的而成的 換成方程組右端的常數(shù)項(xiàng)換成方程組右端的常數(shù)項(xiàng) c1，c2行列式行列式，記為，記為 dx . 行列式行列式 是把系數(shù)行列式中是把系數(shù)行列式中 y 的系數(shù)的系數(shù) b1，b22211caca換成常數(shù)項(xiàng)換成常數(shù)項(xiàng) c1，c2 而成的行列式而成的行列式 ，記為，記為 dy .所以所以，二元一次方程組的

4、解又可表示為二元一次方程組的解又可表示為: :)0(, dddyddxyx其中其中例例 1解方程組解方程組 06450732yxyx解解 原方程組即為原方程組即為 . 645, 732yxyx,234532 d因?yàn)橐驗(yàn)?464637 xd,236572 yd所以所以, 22346 ddxx. 12323 ddyy2. .三階行列式三階行列式333222111cbacbacba312231123213132321cbacbacbacbacbacba 這就是這就是三階行列式三階行列式. 其中其中ai , bi , ci (i = 1 , 2 , 3) 稱為稱為行列式的元素，行列式的元素，橫排稱為行

5、，橫排稱為行，縱排稱為列縱排稱為列. 實(shí)線上三實(shí)線上三個(gè)元素的連乘積取正號(hào)，個(gè)元素的連乘積取正號(hào)，三階行列式的計(jì)算可依下表進(jìn)行三階行列式的計(jì)算可依下表進(jìn)行: 虛線上三個(gè)元素的連乘虛線上三個(gè)元素的連乘積取負(fù)號(hào)積取負(fù)號(hào).即即這樣，三元一次方程組的解，這樣，三元一次方程組的解， 可用三階行列式表示，可用三階行列式表示，333222111cbacbacba321aaa321bbb)()()( )()()( 當(dāng)當(dāng) d 0 時(shí)，時(shí)， .,ddzddyddxzyx 其中其中 稱為方程組的稱為方程組的系數(shù)行列式系數(shù)行列式，333222111cbacbacbad 是是系系數(shù)數(shù)行行列列式式中中和和zyxddd,

6、x 、 y 和和 z 的系數(shù)的系數(shù)依次分別換成方程組右端的常數(shù)項(xiàng)而成的行列式依次分別換成方程組右端的常數(shù)項(xiàng)而成的行列式.例例 2計(jì)算行列式計(jì)算行列式 的值的值054321907027 430 519 924 735 010 解解520417054321907)()()( )()()( 132 例例 3解方程解方程0245351132 xx25)2( x)5(3)3( x)4(11 15)5( x)2(3)4(x )3(12 ,248 x245351132 xx解解3 x解之，得解之，得 0248 x所以原方程為所以原方程為 根據(jù)行列式的定義，三階行列式也可以用二階根據(jù)行列式的定義，三階行列式也

7、可以用二階行列式表示行列式表示. 其具體表達(dá)式如下其具體表達(dá)式如下:333222111cbacbacba321321321bacacbcba 123123123bacacbcba )(23321cbcba )(23321acacb )(23321babac .332213322133221babaccacabcbcba 05432190705327 04310 54219 )3(9)15(7 132 例如，例如，例例 2 中的行列式可按如下方法計(jì)算中的行列式可按如下方法計(jì)算2 以以 的角度轉(zhuǎn)向的角度轉(zhuǎn)向 y 軸的軸的正向，正向，1. 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 過空間定點(diǎn)過空間定點(diǎn) o 作三

8、條互相作三條互相垂直的數(shù)軸，垂直的數(shù)軸， 它們都以它們都以 o 為原點(diǎn)，為原點(diǎn)， 并且通常取相同的長(zhǎng)度單位并且通常取相同的長(zhǎng)度單位. 這這三條數(shù)軸分別稱為三條數(shù)軸分別稱為 x 軸，軸，y 軸，軸，z 軸軸. 各軸正向之間的順序通常各軸正向之間的順序通常按下述法則確定按下述法則確定:以右手握住以右手握住 z 軸，軸， 讓右手的四指從讓右手的四指從 x 軸的正向，軸的正向，圖圖 8 1這時(shí)大拇指所指的方向就是這時(shí)大拇指所指的方向就是 z 軸的正向軸的正向. 這個(gè)這個(gè)法則叫做法則叫做右手法則右手法則. 右手法則右手法則 二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系這樣就組成了空間直角坐標(biāo)系這樣就組成了空間直

9、角坐標(biāo)系. o 稱為稱為坐標(biāo)原坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)， 每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo)平面，每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo)平面， 簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)面坐標(biāo)面. x 軸與軸與 y 軸所確定的坐標(biāo)面稱為軸所確定的坐標(biāo)面稱為 x y 坐表坐表面面， 類似地有類似地有 y z 坐標(biāo)面坐標(biāo)面，z x 坐標(biāo)面坐標(biāo)面. 這些坐標(biāo)面把空間分成這些坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一個(gè)稱為一個(gè)八個(gè)部分，每一個(gè)稱為一個(gè)卦限卦限. x、y、z 軸的正半軸軸的正半軸的卦限稱為第的卦限稱為第 i 卦限，卦限，xyzo 八卦限八卦限 空間的點(diǎn)就與一組有序數(shù)組空間的點(diǎn)就與一組有序數(shù)組 x，y，z 之間建之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

10、. 按逆時(shí)按逆時(shí)針的方向針的方向從第從第 i 卦限開始，卦限開始， 從從 oz 軸的正向向下看，軸的正向向下看， ，先后出現(xiàn)的卦限依次稱為第，先后出現(xiàn)的卦限依次稱為第 、 卦限卦限; 第第、 、 、 卦限下面的空間部卦限下面的空間部分依次稱為第分依次稱為第 、 卦限卦限.xyzomprq 它們分別稱為它們分別稱為 x 坐標(biāo)，坐標(biāo)，y 坐標(biāo)和坐標(biāo)和 z 坐標(biāo)坐標(biāo). 有序數(shù)組有序數(shù)組 x，y，z 就稱為點(diǎn)就稱為點(diǎn) m 的坐標(biāo)，記為的坐標(biāo)，記為 m( (x，y，z) )， 過點(diǎn)過點(diǎn) m1 m2 各作三張平各作三張平面分別垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸，形成如圖的長(zhǎng)方體面分別垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸，形成如圖的長(zhǎng)方體. 求

11、求它們之間的距離它們之間的距離 d = |m1m2|.設(shè)空間兩點(diǎn)設(shè)空間兩點(diǎn) m1 ( x1, y1, z1)、m2 ( x2 , y2 , z2 ),2d2221qmqm 221mm (m1qm2 是直角三角形是直角三角形) 22221qmpqpm 易知易知(m1pq 是直角三角形是直角三角形)zoy1xyz1z2y2x2x1qpm1m2p 1m 2m 2. .兩點(diǎn)之間的距離兩點(diǎn)之間的距離圖圖 8 - 4212212212)()()(zzyyxx 222221qmmppm 所以所以.)()()(212212212zzyyxxd 特別地，特別地，點(diǎn)點(diǎn) m ( x , y , z) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)o ( 0 , 0 , 0 ) 的距離的距離222zyxomd 兩點(diǎn)間距離兩