第六章 高考專題突破三　高考中的數(shù)列問題

1、高考專題突破三高考中的數(shù)列問題考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.3.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).4.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關系，并解決相應的問題數(shù)列求和的幾種常用方法1公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Snna1d.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn2分組求和法與并項求和法(1)若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減(2)形如an(1)n·f(n)類型，常采用兩項合并求解3裂項相消法(1)把數(shù)列的通項拆成

2、兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和(2)常見的裂項技巧.logaloga(n1)logan(n>0)4錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的.題型一 數(shù)列與數(shù)學文化1我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏次第每人多十七，要將第八數(shù)來言務要分明依次第，孝和休惹外人傳”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外

3、人說閑話”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為()A184斤 B176斤 C65斤 D60斤答案A解析依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構成等差數(shù)列，設該等差數(shù)列為an，公差為d，前n項和為Sn，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為a1，則由題意得，d17，S88a1×17996，解得a165，a8a1(81)d184.2張丘建算經中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月(按30天計)共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織多少尺布？()A. B. C. D.答案B解析由題意可知每天織布的多少構成等差數(shù)列，其中第

4、一天為首項a15，一月按30天計可得S30390，從第2天起每天比前一天多織的布即為公差d.又S3030×5×d390，解得d.故選B.3我國古代數(shù)學典籍九章算術“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第幾天相逢？()A2 B3 C4 D6答案C解析不妨設大老鼠和小老鼠每天穿墻的厚度為數(shù)列an和bn，則由題意可知，數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列bn是首項為1，公比為的等比數(shù)列，設前n天兩鼠總共穿墻的厚度之和為Sn，則Sn2nn11，當n3時，S3<10，當n4時，S4&

5、gt;10，故兩個老鼠在第4天相逢4(2020·濰坊模擬)周髀算經是中國古代重要的數(shù)學著作，其記載的“日月歷法”曰：“陰陽之數(shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，生數(shù)皆終，萬物復蘇，天以更元作紀歷”某老年公寓住有20位老人，他們的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂，其中年長者已是奔百之齡(年齡介于90100歲)，其余19人的年齡依次相差一歲，則年長者的年齡為()A94歲 B95歲 C96歲 D98歲答案B解析設年長者的年齡為t，由已知，其余19位老人的年齡從小到大依次排列構成公差d1的等差數(shù)列，設最小者的年齡為a1，由“遂千百五二十歲”知，一

6、遂就是1 520歲(一遂有20部，一部有4章，一章有19歲，且20×4×191 520)所以這20位老人的年齡之和為19a1dt1 520，整理得a1980.因為tN*，a1N*，所以N*.又因為t(90,100)，所以t19×595.故選B.思維升華數(shù)列與數(shù)學文化解題3步驟讀懂題意會脫去數(shù)學文化的背景，讀懂題意構建模型由題意，構建等差數(shù)列或等比數(shù)列或遞推關系式的模型求解模型利用所學知識求解數(shù)列的相關信息，如求指定項、通項公式或前n項和的公式題型二 等差數(shù)列、等比數(shù)列交匯例1(2020·南昌質檢)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S749，a2a818.(

7、1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若S3，a17，Sm成等比數(shù)列，求S3m.解(1)設等差數(shù)列an的公差為d，Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S749，a2a818，解得d2，ana4(n4)×d2n1.(2)由(1)知，Snn2，S3，a17，Sm成等比數(shù)列，S3Sma，即9m2332，解得m11.故S3mS333321 089.思維升華等差與等比數(shù)列的基本量間的關系，利用方程思想和通項公式，前n項和公式求解求解時注意對性質的靈活運用跟蹤訓練1(2020·中山期末)設Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a23，an12an1.(1)證明：an1為等比數(shù)列；(2)判斷n，an，Sn是

8、否成等差數(shù)列？并說明理由(1)證明a23，a22a11，a11，由題意得an10，2，an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知an12n，an2n1.Snn2n1n2，nSn2ann2n1n22(2n1)0，nSn2an，即n，an，Sn成等差數(shù)列題型三 數(shù)列的求和命題點1分組求和與并項求和例2已知數(shù)列an的首項a15，前n項和為Sn，滿足Snn2n(an1)(1)證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設數(shù)列bn滿足bn(1)n·n(an2n4)2n，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)因為Snn2n(an1)，即Snnann2n，當n2時，Sn1(n1)

9、an1(n1)2(n1)，得(n1)an(n1)an12(n1)0.因為n2，所以anan12，所以數(shù)列an是以a15為首項，d2為公差的等差數(shù)列，所以ana1(n1)d2n7.(2)由(1)得bn(1)nn(an2n4)2n(1)n3n2n，所以Tnb1b2bn(3×12×1)(3×22×2)(3×32×3)(3×42×4)(1)n3n2n3123456(1)n1n2(1234n)，于是當n為奇數(shù)時，Tn3×n(n1)；當n為偶數(shù)時，Tnn(n1).所以數(shù)列bn的前n項和Tn思維升華一般地，如果an是等

10、差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an±bn或cn的前n項和Sn時，可采用分組求和法求和如果cn(1)n·an，求cn的前n項和時，可采用并項求和法求解命題點2 錯位相減法求和例3(12分)(2020·全國)設an是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(1)求an的公比；(2)若a11，求數(shù)列nan的前n項和規(guī)范解答解(1)設an的公比為q，a1為a2，a3的等差中項，2a1a2a3a1qa1q2，a10，q2q20，2分q1，q2.4分(2)設nan的前n項和為Sn，a11，an(2)n1，6分Sn1×12×(2)3×(2)

11、2n(2)n1，7分2Sn1×(2)2×(2)23×(2)3(n1)·(2)n1n(2)n，8分得，3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n10分n(2)n，11分Sn，nN*.12分第一步：根據(jù)定義法、等差(等比)中項法、通項公式法等判定數(shù)列為等差(等比)數(shù)列；第二步：由等差(等比)數(shù)列基本知識求通項，或者由遞推公式求通項；第三步：根據(jù)和的表達式或通項的特征，選擇合適的方法(分組轉化法、錯位相減法、裂項相消法)求和；第四步：反思解題過程，檢驗易錯點、規(guī)范解題步驟命題點3裂項相消法例4(2020·三明質檢)已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，a

12、11，且(t1)Sna3an2(tR)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bnan1，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)因為a11，且(t1)Sna3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2.當n2時，有6Sn1a3an12，得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因為an>0，所以anan13，又因為a11，所以an是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以an3n2(nN*)(2)因為bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN*)，所以當n2時，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan

13、1a2b1.又b11也適合上式，所以bn(nN*)所以··，所以Tn··，.思維升華使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的跟蹤訓練2(1)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列an中，a1a2a315，且a12，a25，a313構成等比數(shù)列bn的前三項求數(shù)列an，bn的通項公式；求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解設等差數(shù)列的公差為d，則由已知得，a1a2a33a215，即a25，又(5d2)(5d13)100，解得d2或d13(舍去)，a1a2d3，an

14、a1(n1)×d2n1，又b1a125，b2a2510，q2，bn5·2n1.由知anbn(2n1)·5·2n15·(2n1)·2n1，Tn535×27×22(2n1)×2n1，2Tn53×25×227×23(2n1)×2n，兩式相減得Tn532×22×222×2n1(2n1)×2n5(12n)2n1，則Tn5(2n1)2n1(2)(2020·河北衡水中學模擬)已知數(shù)列an滿足a14，且當n2時，(n1)ann(an

15、12n2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；記bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn.證明當n2時，(n1)ann(an12n2)，將上式兩邊都除以n(n1)，得，即2，所以數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列解由得42(n1)2n2，即an2n(n1)，所以bn，所以Sn.課時精練1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn.若a1b13，a4b2，S4T212.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和解(1)由a1b1，a4b2，則S4T2(a1a2a3a4)(b1b2)a2a312，設等差數(shù)列an的公差為d，則a2a32a13d63d12，所以d2.所以an32(

16、n1)2n1，設等比數(shù)列bn的公比為q，由題意知b2a49，即b2b1q3q9，所以q3.所以bn3n.(2)anbn(2n1)3n，所以anbn的前n項和為(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)n(n2).2已知等比數(shù)列an的前n項和Sn滿足4S53S4S6，且a39.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)設bn(2n1)·an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)設數(shù)列an的公比為q，由4S53S4S6，得S6S53S53S4，即a63a5，q3，an9·3n33n1.(2)bn(2n1)·an(2n1)·3n1，Tn1·

17、;303·315·32(2n1)·3n1，3Tn1·313·32(2n3)·3n1(2n1)·3n，2Tn12·312·322·3n1(2n1)·3n2(22n)·3n，Tn1(n1)·3n1.3已知在數(shù)列an中，a11，a22，an13an2an1(n2，nN*)設bnan1an.(1)證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)設cn，求數(shù)列cn的前n項和Sn.(1)證明因為an13an2an1(n2，nN*)，bnan1an，所以2，又b1a2a1211，所以數(shù)列bn是以

18、1為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知bn1×2n12n1，因為cn，所以cn，所以Snc1c2cn.4(2020·黃山模擬)已知遞增的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S11，S2，S31，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)已知bn，求數(shù)列bn的前2n項和T2n.解(1)由S11知等差數(shù)列an的首項為1，所以Snnd，由S2，S31，S4成等比數(shù)列可得(S31)2S2S4，所以(23d)2(2d)(46d)，解得d2或d，由等差數(shù)列an為遞增數(shù)列知，d>0，所以d2，所以an12(n1)2n1.(2)因為bn(1)n，所以T2nb1b2b3b4b2n1b2n.5(2020·天津)已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11，a55(a4a3)，b54(b4b3)(1)求an和bn的通項公式；(2)記an的前n項和為Sn，求證：SnSn2<S(nN*)；(3)對任意