2022年線性規(guī)劃多目標線性規(guī)劃讀書筆記

1、學習必備歡迎下載多目標線性規(guī)劃模型的讀書筆記一、線性規(guī)劃（一）線性規(guī)劃的概述線性規(guī)劃是運籌學中研究較早、發(fā)展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支, 它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法. 在經濟管理、交通運輸、工農業(yè)生產等經濟活動中，提高經濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經濟效果一般通過兩種途徑：一是技術方面的改進，例如改善生產工藝，使用新設備和新型原材料. 二是生產組織與計劃的改進，即合理安排人力物力資源. 線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經濟效果達到最好. 一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件

2、的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標函數是線性規(guī)劃的三要素. （二）線性規(guī)劃問題的數學模型的一般形式：（1）列出約束條件及目標函數（2）畫出約束條件所表示的可行域（3）在可行域內求目標函數的最優(yōu)解及最優(yōu)值一般地，假設線性規(guī)劃數學模型中，有m 個約束，有n 個決策變量xj, j=1,2,n，目標函數的變量系數用cj 表示 , cj 稱為價值系數。 約束條件的變量系數用aij 表示， aij 稱為工藝系數。約束條件右端的常數用bi 表示， bi 稱為資源限量。則線性規(guī)劃數學模型的一般表達式可寫成為了書寫方便，上式也可寫成：在實際中一般xj 0,但有時 xj0

3、或 xj 無符號限制。關于上述模型有兩點需要加以說明。第一任何一個實際問題，嚴格的說都是非線性的。那么，是問題的什么特性能容許我們做出線性性質的假定。這一點是建立模型時應當明確的。第二，在有些模型中還要求決策變量取整數值，在線性規(guī)劃的范圍內來處理這一問題，通常是將連續(xù)最優(yōu)解通過四舍五入取整。當變量的最優(yōu)值都比較大時，這種做法可行。 要想得到精確的11221111221121 1222221122max(min)(, )(,)(, )0,1,2,nnnnnnmmmnnmjzc xc xc xa xa xa xba xa xaxbaxaxaxbxjn或或或11max(min)(, )1,2,0,1

4、,2,njjjnijjijjzc xa xbinxjn或精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載整數最優(yōu)解，則需應用整數規(guī)劃的解法。（三）線性規(guī)劃求解在用單純法求解線性規(guī)劃問題時，為了討論問題方便，需將線性規(guī)劃模型化為統一的標準形式。線性規(guī)劃問題的標準型為: 1.目標函數求最大值（或求最小值）2約束條件都為等式方程3變量 xj 非負4常數 bi 非負max(或 min)z=c1x1+c2x2+ +cnxn或寫成下列形式：或用矩陣形式max0zcxaxbx(11121112

5、1222221212,)nnnmmmnnmaaaxbaaaxbaxbcc ccaaaxb其中mibnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaijmnmnmmnnnn,2 ,1,0,2, 1,02211222222111212111njjjxcz1maxminjxbxajnjijij, 2, 1, 2, 1,010maxxbaxcxz精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載通常 x 記為：稱為約束方程的系數矩陣，m 是約束方程的個數，n 是決策變量的個數，一般情況 m

6、 n，且 r()m。（四）線性規(guī)劃的模型建立從實際問題中建立數學模型一般有以下三個步驟；1.根據影響所要達到目的的因素找到決策變量；2.由決策變量和所在達到目的之間的函數關系確定目標函數；3.由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。所建立的數學模型具有以下特點：1、每個模型都有若干個決策變量（x1,x2,x3 ，xn） ，其中 n 為決策變量個數。決策變量的一組值表示一種方案，同時決策變量一般是非負的。2、 目標函數是決策變量的線性函數，根據具體問題可以是最大化（max） 或最小化（min） ，二者統稱為最優(yōu)化（opt） 。3、約束條件也是決策變量的線性函數。當我們得到的數學模

7、型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規(guī)劃模型。二、多目標線性規(guī)劃多目標規(guī)劃是數學規(guī)劃的一個分支，研究多余一個目標函數在給定區(qū)域上的最優(yōu)化，又稱多目標最優(yōu)化。數學規(guī)劃的一個分支。研究多于一個目標函數在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標最優(yōu)化。通常記為vmp 。在很多實際問題中，例如經濟、管理、軍事、科學和工程設計等領域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標來判斷，而需要用多個目標來比較， 而 這些目標有時不甚協調，甚至是矛盾的。 因此有許多學者致力于這方面的研究。1896 年法國經濟學家v. 帕雷托最早研究不可比較目標的優(yōu)化問題，之后， j.馮 諾伊曼、h.w.庫恩

8、、a.w.塔克爾、a.m. 日夫里翁等數學家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。求解多目標規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法， 即把多目標化為比較容易求解的單目標或雙目標，如主要目標法、 線性加權法、 理想點法等；另一種叫分層序列法，即把目標按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標最優(yōu)解集內求下一個目標最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運籌學家沙旦于70 年代提出的，這是一種定性與定量相結合的多目標決策與分析方法，對于目標結構復雜且缺乏必要的數據的情況更為實用。多目標最優(yōu)化思想，

9、最早是在1896 年由法國經濟學家v.帕雷托提出來的。他從政治 經濟學的角度考慮把本質上是不可比較的許多目標化成單個目標的最優(yōu)化問題，從而涉及了多目標規(guī)劃問題和多目標的概念。1947 年， j.馮 諾伊曼和o.莫根施特恩從對策論的角度提出了有多個決策者在彼此有矛盾的情況下的多目標問題。1951 年， t.c.庫普曼斯從生產和分配的活動中提出多目標最優(yōu)化問題，引入有效解的概念，并得到一些基本結果。同年， h.w.庫恩和a.w.塔克爾從研究數學規(guī)劃的角度提出向量極值問題,引入庫恩 -塔克爾有效解概念，并研究了它的必要和充分條件。1963 年， l.a. 扎德從控制論方面提出多指標最優(yōu)化問題，也給出

10、了一些基本結果。1968 年， a.m. 日夫里翁為了排除變態(tài)的有效解，引進了真有效解概念，并得到了有關的結果。自 70 年代以來， 多目標規(guī)劃的研究越來越受到人們的重視。 至今關于多目標最優(yōu)解尚無一種完全令人滿意的定義，所以在理論上多目標規(guī)劃仍處于發(fā)展階段。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（一）、多目標線性規(guī)劃數學模型在土地研究中，對于許多規(guī)劃問題，常?？紤]多個目標，如經濟效益目標、生態(tài)效益目標、社會效益目標等等)(max(min)(max(min)(max(m

11、in)(21xfxfxfxfzkmmggggxxxx2121)()()()(式中：，為決策變量向量如果將上面兩個式子進一步縮寫，其中：是 k 維函數向量k 是目標函數的個數等是 m 維函數向量；g 是 m 維常數向量；m是約束方程的個數對于線性多目標規(guī)劃問題，上述式子可以進一步用矩陣表示axzmax(min)bbx式中： 為 n 維決策變量向量；為 kn 矩陣，即目標函數系數矩陣；為 mn 矩陣，即約束方程系數矩陣；為 m 維的向量，約束向量。（二） 、多目標規(guī)劃的非劣解對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇：tnxxxx,21gx )()(xfz)(x)(max(min)

12、xfz精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載每一個目標函數取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其他目標。在圖中，就方案和來說，的目標值比大，但其目標值比小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：比好，比好，比好，比好。而對于方案、之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案， 所以它們就被稱之為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，

13、其余方案都稱為劣解。 所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。當目標函數處于沖突狀態(tài)時， 就不會存在使所有目標函數同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）（三） 、多目標線性規(guī)劃求解為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現這種轉化，有如下幾種建模方法。1、效用最優(yōu)化模型2、 罰款模型3、 約束模型4、 目標達到法5、 目標規(guī)劃模型方法一：效用最優(yōu)化模型（線性加權法）思想：規(guī)劃問題的各個目標函數可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數與效用函數建立相關關系，各目標之間通過效用函數協調，使多目標規(guī)劃問

14、題轉化為傳統的單目標規(guī)劃問題：xz(max）gxts)(.是與各目標函數相關的效用函數的和函數精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載在用效用函數作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值i 來反映原問題中各目標函數在總體目標中的權重，即kiii1max),2, 1(),(21migxxxini式中，i 應滿足kii11向量形式tmaxgx )(方法二罰款模型（理想點法）思想 : 規(guī)劃決策者對每一個目標函數都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值fi 與期望值fi* 之間的

15、偏差來選擇問題的解，其數學表達式如下：21)(minkiiiiffz),2,1(),(21migxxxini或寫成矩陣形式)()(minffaffztgx )(式中，i是與第 i 個目標函數相關的權重；a 是由i(i=1,2, ,k )組成的 m m 對角矩陣方法三約束模型（極大極小法）理論依據：若規(guī)劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如， 除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規(guī)劃問題就可以轉化為單目標規(guī)劃問題：),(max(min)211nxxxfz),2 ,1(),(21migxxxini精

16、品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載), 3 , 2(maxminkjfffjjj方法四目標達到法首先將多目標規(guī)劃模型化為如下標準形式：)()()(min)(min21xfxfxfxfk000)()()()(21xxxxm在求解之前，先設計與目標函數相應的一組目標值理想化的期望目標fi* ( i=1,2,k ) ,每一個目標對應的權重系數為i* ( i=1,2,k ) ，再設為一松弛因子。那么，多目標規(guī)劃問題就轉化為：)()()(min)(min21xfxfxfxfk,

17、m i nx),2, 1(0)(mixi000)()()()(21xxxxm), 2, 1(,)(*kifxfiii方法五目標規(guī)劃模型（目標規(guī)劃法）需要預先確定各個目標的期望值fi* ，同時給每一個目標賦予一個優(yōu)先因子和權系數，假定有 k 個目標， l 個優(yōu)先級 ( l k)，目標規(guī)劃模型的數學形式為：llkkklkklklddpz11)(min精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載),2, 1(),(21migxxxini),2 ,1(kifddfiiiillkkkl

18、kklklddpz11)(min),2, 1(),(21migxxxini),2 ,1(kifddfiiii式中：di+ 和 di分別表示與fi 相應的、 與 fi* 相比的目標超過值和不足值，即正、負偏差變量；pl 表示第 l 個優(yōu)先級；lk+、lk- 表示在同一優(yōu)先級pl 中，不同目標的正、負偏差變量的權系數。三、多目標土地利用規(guī)劃的概念隨著科學和社會的發(fā)展，人類對自然和社會認識的深化，人們逐步認識了解自然資源開發(fā)，社會、 經濟發(fā)展， 生態(tài)環(huán)境的保護等必須協調發(fā)展。土地利用總體規(guī)劃是保證和落實這一現代概念的重要措施，這一現代概念就是持續(xù)發(fā)展的概念，所以土地利用總體規(guī)劃必須是充分利用區(qū)域土地

19、資源，全面持續(xù)滿足社會發(fā)展的需要。中國農業(yè)大學林培教授根據這一思想認為應該進行多目標土地利用總體規(guī)劃（1994） 。他指出： 所謂多目標土地利用總體規(guī)劃就是要在一定的行政區(qū)內，根據區(qū)域自然特點、社會經濟狀況以及經濟發(fā)展要求進行土地利用的戰(zhàn)略規(guī)劃，以期達到資源最大效益的合理利用，區(qū)域的持續(xù)綜合發(fā)展、社會經濟協調穩(wěn)定上升和環(huán)境與生態(tài)不斷優(yōu)化。1995 年 7 月在夏威夷的第一次關于土地、 水和環(huán)境管理的多目標決策支持系統國際會議提到多目標土地利用總體規(guī)劃概念涉及到技術可能，經濟可行，環(huán)境質量提高， 且能被土地使用者所接受，總的來說是持續(xù)發(fā)展的概念。在1995 年，郝晉珉也認為進行土地利用總體規(guī)必須

20、是多目標的，并給出了定義。他認為：多目標利用總體規(guī)劃是在計算機支持下，根據當地的自然、經濟與社會情況進行多目標的土地利用規(guī)劃方案的計算機比較，以求得當地的優(yōu)化方案。綜合以上所述，認為多目標土地利用總體規(guī)劃是借助計算機技術、利用系統工程的多目標決策理論，實現與土地利用持續(xù)管理有關的各種目標，以及多方案比較優(yōu)化的過程。多目標土地利用規(guī)劃的特點：（一）多目標土地利用總體規(guī)劃的方法論特點多目標性，這主要是由于：（1）區(qū)域發(fā)展對土地要求的多用性；（2）土地的多適宜性；（3）對土地利用過程中有關資源、社會、經濟和生態(tài)環(huán)境可持續(xù)性等有關方面內容必須有所考慮， 即在土地利用總體規(guī)劃中，不僅要考慮區(qū)域土地自然因

21、素特點，也要考慮區(qū)域經濟和社會發(fā)展對土地資源的各方面的要求，同時也要考慮區(qū)域土地利用結構和特點的持續(xù)精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載性。所以，多目標土地利用總體規(guī)劃是現代化土地管理的需求。（二）多目標土地利用總體規(guī)劃的技術特點1、多方案比較：過去的土地利用總體規(guī)劃和農業(yè)區(qū)劃，主要是應用lp 模型和 sd（system dynamic ）模型，模型中只考慮一個目標，即僅僅對某一個目標進行優(yōu)化，求得的解是唯一的最優(yōu)解，因而只形成了一個靜態(tài)方案。這樣的結果就會使決策者沒

22、有選擇和比較的余地。應用多目標決策模型來優(yōu)化土地利用系統，在調整不同目標優(yōu)先級時，就可求得一系列非劣解，相應地形成許多方案。 決策者根據不同的標準，進行不同方案的比較，選擇最優(yōu)的規(guī)劃方案，從而提高了規(guī)劃和決策的科學性。多方案的比較是多目標土地利用總體規(guī)劃的一個明顯特點。2、多層次分析：多目標土地利用總體規(guī)劃除了戰(zhàn)略上對土地利用系統進行分析，如縣域發(fā)展性質、 農業(yè)用地和城鎮(zhèn)用地綜合分析外，更重要是進一步進行到戰(zhàn)術上用地優(yōu)化分析，主要是專項規(guī)劃內部的用地分析，如農業(yè)內部糧食、蔬菜、油料、 果樹等用地安排，只是對目標的設計更多、更具體。 由于有計算機的幫助，使較多目標優(yōu)化實現成為可能，從而提高土地利

23、用的專項規(guī)劃和總體規(guī)劃的銜接性和科學性，增強了規(guī)劃實施的可操作性。3、計算機和gis 的應用：土地利用規(guī)劃涉及目標多，要求限制條件復雜，在進行多宜性評價、多目標計算及方案優(yōu)選時，常規(guī)下人工不可能完成，必須借助計算機支持。地理信息系統是實現地理數據(包括空間數據和屬性數據)輸入、存儲、分析、顯示、輸出的計算機系統。 土地利用總體規(guī)劃所需的空間數據主要來自于各種基礎圖件，遙感信息以及實際土地調查。 屬性數據是對應空間數據的一些本質特征的描述，通過用戶標識碼和內部標識碼把二者聯系在一起。通過gis 可以很方便地得到土地利用總體規(guī)劃與土地利用現狀、土地資源、 土地需求的綜合平衡表，也可以得到規(guī)劃后的土

24、地利用與規(guī)劃前土地利用的變動情況 ，以及資源開發(fā)利用情況和用地矛盾的解決情況。在計算機上應用不同模型選擇的方案，可以通過gis 技術很方便地實現土地用地指標平面配置，進行實時模擬顯示。對空間數據和屬性數據的分析和處理工作量相當大，只能通過計算機幫助才能完成。所以計算機和gis是完成和實現多目標土地利用總體規(guī)劃的一個有力工具和良好技術支持。土地利用總體規(guī)劃是對區(qū)域內整個土地的合理安排，涉及面很廣， 內容復雜， 用過去單一經濟目標衡量， 無疑是不現實的。這是因為， 用單一目標模型描述土地利用系統這樣一個具有復雜關系的問題欠合理。單目標規(guī)劃考慮目標單一，但是在實際中是各用地部門追求多種目標。單目標規(guī)

25、劃沒有考慮問題的動態(tài)發(fā)展，只是靜態(tài)地考慮問題，問題解是某一特定狀態(tài)下的解。 所以，把多目標決策應用在土地利用總體規(guī)劃中，符合實際地發(fā)展需要，具有一定的理論和現實指導意義。（一）土地利用總體規(guī)劃多目標決策模型在土地利用總體規(guī)劃中，其實質是對將來預測目標達到或一定程度的達到情況下各部門用地的分配（包括指標和位置）。土地利用總體規(guī)劃，它是由決策者先給出一組理想的目標值（各用地部門期望和預測的值），進行系統協調，并觀察土地系統能否完成各目標及完成的程度（即能恰好達到目標或超額或達不到），進行用地優(yōu)化。這與目的規(guī)劃的模型要求一致，所以，應用多目標決策的目的規(guī)劃比較合理。目的規(guī)劃模型描述見上一節(jié)目的規(guī)劃。

26、（二）規(guī)劃目標確定，方程建立及求解1、規(guī)劃目標的確定：主要根據對土地利用中存在的問題分析確定土地利用目標、國民經濟發(fā)展計劃、上級土地利用總體規(guī)劃、并對各部門發(fā)展預測需要達到的目標進行最終規(guī)劃目標的確建。2、多目標決策方程建立及求解：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載多目標土地利用總體規(guī)劃的模型，如表2-8-1。根據模型通過下列步驟建立方程：（1）確定有關土地利用的各個決策變量。（2）根據上述規(guī)劃目標值確定函數各項目標值。（3）確定與決策變量有關的約束條件。包括總土地

27、資源面積約束、專項規(guī)劃的約束、土地利用平衡方面約束及非負約束。（4）建立目標函數：確定各個目標的優(yōu)先級及其權重，加和形成目標函數。（5）對目的規(guī)劃模型求解。目的規(guī)劃有線性目的規(guī)劃與非線性目的規(guī)劃，主要是根據函數之間的關系確定的，但目前非線性目的規(guī)劃解法是一種近似算法，所以， 若某一表達函數是非線性的，采用對數換成線性規(guī)劃，而按統一的線性規(guī)劃求解，這里只討論線性目的規(guī)劃。（ 6）若運算結果不滿意，可修改目標函數，調整優(yōu)先級別及變化優(yōu)化方式等修改模型，重新計算，求得非劣解。通過這樣多次調整目標的優(yōu)先級和改變目標個數，計算出來的結果就不一樣，從而產生一系列非劣解，這一系列非劣解組成非劣解集。六、多方

28、案比較及決策結果的輸出（一）多方案比較對有著不同著眼點和不同目的的使用者來說，通過調整優(yōu)先級及目標（即目標重要程度和可期望目標的變化） ，就可以看到解空間中各個目標之間交換的可能性，即模型中某些決策變量參數變更，會引起其它決策變量數值變化，從這點講， 它具有正負反饋的特征。而且通過調整優(yōu)先級，可以使某些目標或決策變量向決策者期望的方向變化，從這個意義上講，多目標規(guī)劃具有可調性和可控性。利用這兩個特征，調整優(yōu)先級，求模型非劣解。一個非劣解就形成了一個方案，非劣解集就形成了多種方案，通過決策者的標準，進行多方案比較，形成最終滿意的規(guī)劃方案（satisfactory planning scenari

29、o ） 。（二）用地指標平面配置確定滿意方案后，根據各個決策變量的大小，與土地適宜評價結果及各方面要求匹配，土地分解指標通過gis 能較方便地實現了土地的平面配置。步驟如下：進行優(yōu)先級為pi的土地利用規(guī)劃指標分解調用pi為目標的土地適宜性評價圖pi的土地利用指標與空間配置參照土地利用分區(qū)扣除掉規(guī)劃的部分（pi土地利用適宜部分與其它土地利用適宜等級重疊部分，不影響后繼其它土地利用的適宜配置）根據余下的適宜性結果，再進行 pi+1目標規(guī)劃的空間布置依次類推，直到全部指標在空間分配完畢。（三）決策結果的輸出決策結果包括規(guī)劃方案表和規(guī)劃圖。規(guī)劃方案表可按一定格式，主要是用地類型及數量，編排好后，在屏幕

30、上顯示或打印機上打印輸出。規(guī)劃圖按用地指標平面配置后，還應在gis支持下，進行用地顏色調配，行政界線、交通道路、水系、地名、比例尺、圖例等的編輯，然后按一定的比例尺大小輸出，輸出方式有屏幕顯示、打印機或繪圖儀輸出。四，應用實例土地利用問題某農場 i、ii、iii 等耕地的面積分別為100 hm2、300 hm2 和 200 hm2，計劃種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為190000 kg、 130000 kg 和 350000kg。i、 ii、 iii等耕地種植三種作物的單產如下表所示。若三種作物的售價分別為水稻1.20 元/kg， 大豆 1.50元/ kg，玉米 0.80 元/kg。那么， （ 1）如何制訂種植計劃，才能使總產量最大和總產值最大？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（1）應用目標規(guī)劃法求解實際上，除了線性加權求和法以外，我們還可以用目標規(guī)劃方法求解