五種輔助線助你證全等

1、五種輔助線助你證全等構造全等二角形解競賽題一、已知角平分線，利用軸對稱構造全等三角形。例i在四邊形二二中，對角線廠一二、丄>”二_，下列結論中正確的是（）.A丄匸' > 二.：B 二匸亠二：C二一V 二二 D 二一V 與二: 的大小關系不確定解：因為丄二.以AC為對稱軸作 ACD 的對稱圖形 ACE ,則 亠亠小們> 二上二二.故選A.二、已知中線，禾U用中心對稱構造全等三角形。例2 設G ABC的重心，且' 1 1- ；則厶ABC的面積為（）。解：如圖，以 BC的中點D為中心，將點 G旋轉(zhuǎn)180。至E,則四邊形 BGCE是平行四邊 形.在厶BEG 中，山丨&

2、#39;- V所以 BEG 是直角三角形，因此 汕廣2$迦"DBG = 72例1圖例2圖例3圖三、已知等邊三角形，旋轉(zhuǎn) 60°構造全等三角形。例3 已知P是等邊 ABC內(nèi)的一點，二一1一 -匸二一一匚；一二F-的度數(shù)為（）.解：繞著點 B將厶ABP順時針旋轉(zhuǎn) 60°,則厶ABP CBE , BPE為等邊三角形。在厶PCE中， 工-匸-所以厶PCE是直角三角形，因此 _一J -.四、已知正方形，旋轉(zhuǎn) 90°構造全等三角形。例4 已知P是正方形ABCD內(nèi)的一點，PA： PB： PC=1 : 2 : 3,上"的度數(shù)為()解：繞著點在 PCEB將厶AB

3、P順時針旋轉(zhuǎn)90°,則厶ABP S' CBE , BPE為等腰直角三角形。 中，設 PC = 3af?E = a,CE = a, 所以 PCE是直角角形，因此例5圖五、已知特殊角度，構造全等三角形。例5 A、B、C三個村莊在一條東西走向的公路沿線，如圖， AB=2千米，BC=3千米，在B村莊的正北方向有一個 D村，測得一 二-今將 ADC區(qū)域規(guī)劃為開發(fā)區(qū)，除其中4平方千米的水塘外，均作為建筑或綠化用地， 試求這個開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是多少？解：分別以DA、DC為對稱軸，作Rt ADB和Rt BDC的對稱圖形 Rt ADE和Rt FDC , 延長EA和FC交于G ,則四

4、邊形DEGF是以DB為邊長的正方形。設二 一 2 由勾股定理得 -r因此-所以這個開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是11平方千米。三角形全等證明思路解析:(1) 可以從結論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段(或兩個角)分別在哪兩個可能全等的三角形中;(2) 可以從已知條件岀發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；(3) 可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；(4) 若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。有了思路也就有了解題的方向，但解題這條路卻不一定是坦途，仍然充滿著荊棘，那我們要怎樣才能 在解任何的解題的過程中一路順利呢？答案就是熟悉各種輔助線及其做法。以下是總結的

5、常見輔助線。常見輔助線的作法有以下幾種：(1 )遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用"三線合一 ”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的”對稱".(2) 遇到三角形的中點或中線，倍長中線或倍長類中線，使延長線段與原中線長相等，構造” ”字形全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的”旋轉(zhuǎn)".(3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，或者沿著角平分線翻折，利用的思維模式是三角形全等變換中的”對稱”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.(4) 過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 ”平移".(5

6、)截長補短，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目具體做法是在某條線段端點處截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段 相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明.常見輔助線類型：B在證明三角形全等時有時需添加輔助線，對學習幾何證明不久的學生而言往往是難 點下面介紹證明全等時常見的五種輔助線，供同學們學習時參考.一、截長補短一般地，當所證結論為線段的和、差關系，且這兩條線段不在同一直線上時，通?？梢钥紤]用截長補短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等;或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等.例 1.如圖 1，在 ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分

7、別平分/ BAC、/ ACB .求證:AC=AE+CD .圖1分析：要證 AC=AE+CD , AE、CD不在同一直線上.故在 AC上截取AF=AE，則只要 證明CF=CD .證明：在AC上截取AF=AE，連接OF./ AD、CE 分別平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 °/ 1 + Z 2=60 ° ,aZ 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° .顯然， AEO AFO，/ 5= / 4=60 ° ,/ 7=180° (/ 4+ / 5) =60 °在厶 DOC 與厶 FOC 中，/ 6= / 7=60°，

8、/ 2= / 3, OC=OC DOC FOC, CF=CD AC=AF+CF=AE+CD .、中線倍長三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍， 構造全等三角形是常用的解題思路.例2已知三角形的兩邊長分別為 7和5，那么第三邊上中線長 x的取值范圍是（） 分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個已知邊轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關系才能進行分析和判斷.A解：如圖2所示，設 AB=7 , AC=5 , BC上中線AD=x . 延長AD至E,使DE = AD=x ./ AD是BC邊上的中線， BD=CD/ ADC= / EDB （對頂角） ADC EDB B

9、E=AC=5在 ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE即 7-5 V 2xV 7+5 1V xv 6三、作平行線當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件.例3.如圖3,在等腰 ABC中，AB=AC ,在AB上截取BD ,在AC延長線上截取 CE,且使CE=BD .連接DE交BC于F.求證：DF=EF .分析：要證 DF=EF，必須借助三角形全等而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形由等腰三 角形條件，可知/ B= / ACB，作DH / AE，可得/ DHB= / ACB 則 DBH為等腰三角形.證

10、明：作DH / AE交BC于H./ DHB= / ACB ,/ AB=AC，/ B= / ACB/ DHB= / B , DH=BD/ CE=BD DH= CE又 DH / AE，/ HDF= / E/ DFH= / EFC （對頂角） DFH EFC （AAS ） DF=EF四、補全圖形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關系，有助于問題的解決.例4 .如圖4，在 ABC中，AC=BC，/ B=90 ° , BD為/ ABC的平分線.若 A點到 直線BD的距離AD為a,求BE的長.分析：題設中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求

11、的 BE為斜邊.要找到它們之間的關系，需設法構造其他的全等三角形.證明：延長 AD、BC相交于F.由BD為/ ABC的平分線，BD丄AF .又/ BAD+ / ABD=90。，/ F+Z FAC=90 °/ ABD= Z FAC/ BD 為Z ABC 的平分線 / ABD= Z CBE Z FAC= Z CBE，而 Z ECB= Z ACF=90 ° , AC=BC ACF BCE (ASA ) BE=AF=2a五、利用角的平分線對稱構造全等角的平分線是角的對稱軸， 在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角， 還有一條公共 邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段， 或向

12、兩邊作垂線，對稱構造出全等三角 形是常用的證明方法.例5 .如圖5,在四邊形 ABCD中，已知BD平分Z ABC，Z A+ Z C=180 ° .證明：AD=CD .分析：由角的平分線條件，在BC上截取 BE=BA，可構造厶ABD EBD，從而AD=DE .則只要證明 DE=CD .證明：在 BC上截取BE=BA，連接DE .由 BD 平分Z ABC，易證 ABD EBD AD=DE ZA= Z BED又Z A+ Z C=180 °，Z BED+ Z DEC=180 Z DEC= Z C，. DE=CD AD=CD易證 ADBFDB FD= AD=a AF=2a / F=

13、/ BAD遇三角形中線常見輔助線：若遇到三角形的中線，可倍長中線， 使延長線段與原中線長相等， 構造全等三角形，利用的 思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。二、角平分線常見輔助線：1、角分線上點向角兩邊作垂線構全等：過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。2、截取構全等如圖，/ AOCM BOC如取 OE=OF并連接 DE DF,則有 OEDA OFD從而為我們證明線 段、角相等創(chuàng)造了條件。3、延長垂線段遇到垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構成等腰三角形。4、做平行線 、以角分線上一點做角的另一邊的平行線，構造等腰三角形（如圖1） 、通

14、過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形（如圖 2）。三、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的逆定理“三線合一”性質(zhì)： 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理：那么這個三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合, 、如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。 、如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形?！竞喲灾浚喝切沃腥我鈨删€合一，必能推導出它是一個等腰三角形。四、截長法與補短法遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。 、對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。 、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來， 可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中， 再運用三角形三邊的不等關