微分中值定理及其應用

1、總界面總界面 結束結束 濟南大學數(shù)學科學學院濟南大學數(shù)學科學學院 第三章第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理與導數(shù)的應用 第三章第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 2一、羅爾一、羅爾(rolle)定理定理.,的的切切線線是是水水平平的的在在該該點點處處有有一一點點上上至至少少在在曲曲線線弧弧cabab1 2 xyo)(xfy crolle (1652 1719 )french第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 3 0,000000

2、0 xfxfxfxfxfxuxxxuxxf，那么，那么或或，有，有如果對任意的如果對任意的可導可導并且在并且在內(nèi)有定義內(nèi)有定義的某鄰域的某鄰域在點在點設函數(shù)設函數(shù)證證 ,.000000 xfxxfxuxxxfxfxux 有有對對于于于于是是，時時，不不妨妨設設; 0)()(00 xxfxxf ; 0)()(00 xxfxxf 時時從從而而當當0 x 時時當當0 x 導數(shù)為零的點稱為導數(shù)為零的點稱為函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點或或穩(wěn)定穩(wěn)定點、臨界點點、臨界點第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 4; 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 0-000 xfxfxf

3、xxf 可導可導在在據(jù)極限的局部保號性，得據(jù)極限的局部保號性，得; 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 從而從而 00 xf 情情況況完完全全類類似似時時，00 xfxfxux 注意注意第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 5幾何解釋幾何解釋ab1 2 xyo)(xfy .,的的切切線線是是水水平平的的在在該該點點處處有有一一點點上上至至少少在在曲曲線線弧弧cabc羅爾羅爾第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 6證：證：.)1(mm 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(mxf

4、則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mm 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點點由由費費馬馬引引理理. 0)( f有有),(afm 不不妨妨設設.)(),(mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 7 .3 , 1322上上的的正正確確性性在在區(qū)區(qū)間間驗驗證證羅羅爾爾定定理理對對函函數(shù)數(shù) xxy例例132)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1)(上連續(xù)上連續(xù)在在 xf,)3 , 1(上上可可導導在在 , 0)3()1( ff且且.)3

5、, 1(1(, 1即即為為上上面面所所求求顯顯然然 ),1(2)( xxf由羅爾定理知，由羅爾定理知，. 0)(31 f），使使，（至至少少事實上，事實上，解解: :-131第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 8注：注：羅爾定理的三個條件缺一不可，否則結論可能不成立羅爾定理的三個條件缺一不可，否則結論可能不成立.例如例如, ,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的一一切切條條不不存存在在外外上上除除在在f . 0)()2 , 2( xf內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能使使但但在在 00)0(1 , 0(1xfxxy.1 , 0, x

6、xy又例如又例如, ,x=0不可導不可導xy-22第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 9 2110012)(xxxxxxf. )2 , 1(, 0)()( fxf有有實實定定理理的的三三個個條條件件，但但確確在在給給定定區(qū)區(qū)間間不不滿滿足足羅羅爾爾-112又如又如 至至少少存存在在一一個個根根的的任任意意兩兩根根之之間間則則可可微微若若推推論論0,0,: xfxfxf應用應用: :羅爾定理常用來討論方程根的情況，尤其與某函數(shù)羅爾定理常用來討論方程根的情況，尤其與某函數(shù)的一階導數(shù)有關的方程的一階導數(shù)有關的方程. .第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返

7、回返回 結束結束 10.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx例例2證：證：, 15)(15 xxxf）設）設（,1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點定理知，由零點定理知，. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1 1的正實根的正實根. .,),1 , 0(2011xxx ）設設另另有有（. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間介介于于至至少少存存在在一一個個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1

8、, 0( , 0 x矛盾矛盾, ,.0為唯一實根為唯一實根x結論結論: :可微函數(shù)在任意兩個零點之間至少有其導函數(shù)的一個零點可微函數(shù)在任意兩個零點之間至少有其導函數(shù)的一個零點存在存在唯一唯一第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 11).()(:bfaf 去掉了去掉了與羅爾定理相比條件中與羅爾定理相比條件中注意注意).()()( fabafbf 結論亦可寫成結論亦可寫成二、二、lagrange中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 12ab1 2 xxoy)(xfy abcd

9、n)(,(xfxm幾何解釋幾何解釋: :.,abcab線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧分析分析: :).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦ab方程為方程為).()()()(axabafbfafy nm).()()()()(axabafbfafxf )(xf ).()(bfaf 顯然顯然第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 13證證條條件件中中與與羅羅爾爾定定理理相相差差弦弦ab方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(abxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩兩端端點點的的函

10、函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線ba構造輔助函數(shù)構造輔助函數(shù)).()()()()(axabafbfafxf ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xf,),( 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在則在ba0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或. 0)( f使使得得ab1 2 xoy)(xfy abcdxnm)()(bfaf nm )(xf拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式精確表達了函數(shù)在一區(qū)間上的增量與拉格朗日中值公式精確表達了函數(shù)在一區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點處一階導數(shù)之間的關系函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點處一階導數(shù)之間的關系. .注注: :第三

11、章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 14,),()()3內(nèi)內(nèi)可可導導在在設設baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的精確表達式的精確表達式增量增量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式. .微分中值定理微分中值定理注意：注意：1）b a 上述公式也成立；上述公式也成立；2）若）若f（b）=f（a ）時，即為羅爾定理；）時，即為羅爾定理；比較：比較：xxfxoxxfy )(

12、)()(00增量近似公式第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 15.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數(shù)恒為零上的導數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)ixfixf推論推論1推論推論2: cxgxfxgxf 第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 16 例例3).11(2arccosarcsin xxx 證明證明證：證：1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設設)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2ar

13、ccosarcsin xx第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 17 例例4證：證：.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當),1ln()(txf 設設, 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即方法：方法：構造函數(shù)、選區(qū)間、應用定理、放大縮小構造函數(shù)、選區(qū)間、應用定理、放大縮小說明：說明： 上應用拉氏定理上應用拉氏定理，在在令令xttf 11ln第三章

14、第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 18拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：，)(:xfyl ，的斜率：的斜率：易知弦易知弦)()()()(afbfafbfab ),(,)()()(baffdxdytx baafbfafbfff ,)()()()()()(即即柯西中值定柯西中值定理理abafbff )()()( 確定且確定且由由)()( xy ),(,)()(battfytfxl ）給出）給出（由參數(shù)方程由參數(shù)方程若若問題：問題：拉格朗日中值定理的結論會怎樣？拉格朗日中值定理的結論會怎樣？btoaba),(,)()()(battftfx 第三章第三章 總界面總界面 上

15、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 19三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理柯西柯西柯西柯西(cauchy )中值定理中值定理)(1 f)(2 fxoy )()(xfyxfx)(afa)(bfbcd)(xfnm幾何解釋幾何解釋: :.),(),(abffcab處的切線平行于弦處的切線平行于弦在該點在該點點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧 第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 20注注: :,)(1xxf ）當）當（, 1)(,)()( xfabafbf)()()()()()( ffafbfafbf).()()( fabafbf拉拉格格朗朗日日中

16、中值值公公式式)()()()()()(22abfafbfabfafbf ，使使，使使得得：）問問題題：由由定定理理（.)()()()()()( ffafbfafbf ？說明說明: :1、柯西定理中的柯西定理中的 是同一過程中的量是同一過程中的量. .2、當考察兩個函數(shù)與其導數(shù)之間的關系時，可、當考察兩個函數(shù)與其導數(shù)之間的關系時，可考慮用柯西定理考慮用柯西定理.第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 21).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一點點證證明明內(nèi)內(nèi)可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在設設函函數(shù)數(shù)例例

17、5證：證：結論可變形為結論可變形為: : 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設設,1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 22lagrange(1736 1813) 法國數(shù)學家、力學家、天文學家。他在數(shù)學法國數(shù)學家、力學家、天文學家。他在數(shù)學上最突出的貢獻是使數(shù)學分析與幾何與力學脫離上最突出的貢獻是使數(shù)學分析與幾何與力學脫離開來，使數(shù)學的

18、獨立性更為清楚，從此數(shù)學不再開來，使數(shù)學的獨立性更為清楚，從此數(shù)學不再僅僅是其他學科的工具。他是僅僅是其他學科的工具。他是1818世紀對微積分基世紀對微積分基礎的嚴格化做出嘗試的主要代表人物之一，他承礎的嚴格化做出嘗試的主要代表人物之一，他承認微積分可以在極限理論的基礎上建立起來，并認微積分可以在極限理論的基礎上建立起來，并主張用泰勒級數(shù)來定義導數(shù)，由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗主張用泰勒級數(shù)來定義導數(shù)，由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。另外，他在代數(shù)學、微分方程、數(shù)論、方程論、日中值定理。另外，他在代數(shù)學、微分方程、數(shù)論、方程論、無窮級數(shù)等領域都做出了重要貢獻，堪稱法國最杰出的數(shù)學大無窮級數(shù)等領域都做出了重要貢獻，堪稱法國最杰出的數(shù)學大師。近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地師。近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗