第五章點(diǎn)的運(yùn)動和剛體的基本運(yùn)動

1、t )(12)(ttt 運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)研究的對象運(yùn)動學(xué)研究的對象運(yùn)動學(xué)學(xué)習(xí)目的運(yùn)動學(xué)學(xué)習(xí)目的運(yùn)動是相對的運(yùn)動是相對的瞬時、瞬時、時間間隔時間間隔運(yùn)動分類運(yùn)動分類運(yùn)動學(xué)的一些基本概念運(yùn)動學(xué)的一些基本概念是研究物體在空間位置隨時間變化的幾何性質(zhì)的科學(xué)是研究物體在空間位置隨時間變化的幾何性質(zhì)的科學(xué)。 (包括包括:軌跡軌跡，速度速度，加速度等，加速度等) )不考慮運(yùn)動的原因。不考慮運(yùn)動的原因。 建立機(jī)械運(yùn)動的描述方法建立機(jī)械運(yùn)動的描述方法 建立運(yùn)動量之間的關(guān)系建立運(yùn)動量之間的關(guān)系為后續(xù)課打基礎(chǔ)及直接運(yùn)用于工程實(shí)際為后續(xù)課打基礎(chǔ)及直接運(yùn)用于工程實(shí)際。( relativity ):):參考體參考體(

2、(物物););參考系參考系; ;靜系靜系; ;動系。動系。1)1)點(diǎn)的運(yùn)動點(diǎn)的運(yùn)動 2)2)剛體的運(yùn)動剛體的運(yùn)動引引 言言 2點(diǎn)的運(yùn)動直角坐標(biāo)法點(diǎn)的運(yùn)動直角坐標(biāo)法3點(diǎn)的運(yùn)動自然坐標(biāo)法點(diǎn)的運(yùn)動自然坐標(biāo)法4剛體的基本運(yùn)動剛體的基本運(yùn)動5定軸輪系的傳動比定軸輪系的傳動比第五章第五章 點(diǎn)的運(yùn)動和剛體的基本運(yùn)動點(diǎn)的運(yùn)動和剛體的基本運(yùn)動6以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度1點(diǎn)的運(yùn)動矢量法點(diǎn)的運(yùn)動矢量法點(diǎn)的運(yùn)動矢量表示法一、一、點(diǎn)的運(yùn)動方程點(diǎn)的運(yùn)動方程 在參考坐標(biāo)系上任取某確定的點(diǎn)在參考坐標(biāo)系上任取某確定的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動點(diǎn)的位置可用原點(diǎn)至動點(diǎn)的矢徑的位置可用原點(diǎn)至動

3、點(diǎn)的矢徑r表示。當(dāng)動點(diǎn)表示。當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時，矢運(yùn)動時，矢徑徑r是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即 r O M )(trr 上式稱為用矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動上式稱為用矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動方程。動點(diǎn)方程。動點(diǎn)M在運(yùn)動過程中在運(yùn)動過程中, ,其矢徑其矢徑r的末端在空間描繪出的曲線，稱為動點(diǎn)的末端在空間描繪出的曲線，稱為動點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡。的運(yùn)動軌跡。動點(diǎn)在動點(diǎn)在t t時間內(nèi)的平均速度可時間內(nèi)的平均速度可表示為表示為*trv二、點(diǎn)的運(yùn)動速度二、點(diǎn)的運(yùn)動速度 點(diǎn)的速度可用矢量表示，設(shè)動點(diǎn)在點(diǎn)的速度可用矢量表示，設(shè)動點(diǎn)在t t 時刻的位置為時刻的位置為M點(diǎn)，點(diǎn)，經(jīng)過經(jīng)過t t后，即在后，即在t+t時

4、刻的位置為時刻的位置為M 。如圖所示。動點(diǎn)在。如圖所示。動點(diǎn)在t時間內(nèi)發(fā)生的位移為時間內(nèi)發(fā)生的位移為()( )ttt rrr r v M O ( ) tr ()tt r M 即即動點(diǎn)的速度等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)動點(diǎn)的速度等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)。它是。它是一個矢量一個矢量, ,其其方向沿動點(diǎn)的矢端曲線方向沿動點(diǎn)的矢端曲線( (即動點(diǎn)軌跡即動點(diǎn)軌跡) )的切線，的切線，并與動點(diǎn)運(yùn)動的方向一致并與動點(diǎn)運(yùn)動的方向一致。在國際單位制中，速度的單位。在國際單位制中，速度的單位為為m/s。00dlim *limdtttt rrvv三、三、點(diǎn)的運(yùn)動加速度點(diǎn)的運(yùn)動加速度動點(diǎn)的瞬時速度動點(diǎn)的瞬時速度

5、v a 運(yùn)動軌跡運(yùn)動軌跡 a v N N v v N 速度矢端曲線速度矢端曲線 O 瞬時加速度瞬時加速度2200ddlimlimddtt*ttt vvraa*tva 設(shè)動點(diǎn)在設(shè)動點(diǎn)在 t 時刻的速度為時刻的速度為v, ,經(jīng)過經(jīng)過 t后后, ,即在即在 t+t 時刻的時刻的速度為速度為v。動點(diǎn)在。動點(diǎn)在t 時間內(nèi)速度的改變?yōu)闀r間內(nèi)速度的改變?yōu)関= = v-v。則在。則在t 時間內(nèi)的平均加速度時間內(nèi)的平均加速度a可表示為可表示為 即即動點(diǎn)的加速度等于它的速度動點(diǎn)的加速度等于它的速度v對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于矢徑等于矢徑r對時間的二階導(dǎo)數(shù)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。它是一個矢量，其。它是一

6、個矢量，其方向沿方向沿速度矢端曲線的切線方向，并指向速度矢端運(yùn)動的方向速度矢端曲線的切線方向，并指向速度矢端運(yùn)動的方向。在國際單位制中，加速度的單位為在國際單位制中，加速度的單位為m/s2。 a v N N v v N 速度矢端曲線速度矢端曲線 O 矢端曲線 速度速度矢徑矢端曲線切線矢徑矢端曲線切線 加速度加速度速度矢端曲線切線速度矢端曲線切線 設(shè)動點(diǎn)設(shè)動點(diǎn)M 在空間做曲線運(yùn)動，過固定點(diǎn)在空間做曲線運(yùn)動，過固定點(diǎn)O作如圖所示作如圖所示的直角坐標(biāo)系的直角坐標(biāo)系Oxyz。則動點(diǎn)在。則動點(diǎn)在t 時刻的位置時刻的位置M 可用它的三個直角坐標(biāo)可用它的三個直角坐標(biāo) x, ,y, ,z 表示，表示，如圖所示

7、。如圖所示。一、點(diǎn)的運(yùn)動方程 O M x y z i r j k y x z 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，這些坐標(biāo)一運(yùn)動時，這些坐標(biāo)一般可表示為時間般可表示為時間t 的單值連續(xù)函的單值連續(xù)函數(shù)，即數(shù)，即 點(diǎn)的運(yùn)動直角坐標(biāo)表示法點(diǎn)的運(yùn)動直角坐標(biāo)表示法)(1tfx)(2tfy 3( )zf t， 一、點(diǎn)的運(yùn)動方程)(1tfx )(2tfy )(3tfz 上式稱為點(diǎn)上式稱為點(diǎn)M以直角坐標(biāo)表示以直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的運(yùn)動方程。從形式上可以看點(diǎn)的運(yùn)動方程。從形式上可以看出，上式也是動點(diǎn)軌跡的參數(shù)方出，上式也是動點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，動點(diǎn)的軌跡可通過消去時間參數(shù)程，動點(diǎn)的軌跡可通過消去時間參數(shù)t 而直接得到。而直接得到。 在

8、工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到點(diǎn)在某平面內(nèi)運(yùn)動的情形，在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到點(diǎn)在某平面內(nèi)運(yùn)動的情形，此時點(diǎn)的運(yùn)動方程可簡化為此時點(diǎn)的運(yùn)動方程可簡化為二、點(diǎn)的運(yùn)動速度點(diǎn)的運(yùn)動速度可用直角坐標(biāo)表示，即點(diǎn)的運(yùn)動速度可用直角坐標(biāo)表示，即ddddd()dddddxyzxyztttttrvijkijk)(1tfx )(2tfy 上式消去時間上式消去時間t，可得軌跡方程為，可得軌跡方程為0),(yxfxyzvvvv ijk比較以上兩式，可得比較以上兩式，可得ddxxvtddyyvtddzzvt 這就是動點(diǎn)速度的直角坐標(biāo)表示?？梢姡瑒狱c(diǎn)的速度這就是動點(diǎn)速度的直角坐標(biāo)表示?？梢?，動點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相應(yīng)的

9、直角坐標(biāo)對時間的一在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相應(yīng)的直角坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。 動點(diǎn)動點(diǎn)M的速度矢可寫為的速度矢可寫為222222ddddddxyzxyzvvvvttt方向方向速度的大小速度的大小 cos( , )xvvv icos( , )yvvv jcos( , )zvvv k 三、點(diǎn)的運(yùn)動加速度三、點(diǎn)的運(yùn)動加速度動點(diǎn)的加速度：速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)動點(diǎn)的加速度：速度對時間的一階導(dǎo)數(shù) 222222ddddddddddddddyxzvvvxyztttttttvaijkijk加速度矢量亦可表示為加速度矢量亦可表示為 xyzaaaaijk22ddddxxvxatt22ddddyyvyatt2

10、2ddddzzvzatt 222222222222ddddddcos()cos()cos()xyzyxzxyzaaaatttaaa,aaaa ia ja k 可見，動點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相應(yīng)可見，動點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相應(yīng)速度投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于其相應(yīng)的坐標(biāo)對時間速度投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于其相應(yīng)的坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。加速度的大小和方向余弦為的二階導(dǎo)數(shù)。加速度的大小和方向余弦為 例例 5-1 橢圓規(guī)的曲柄橢圓規(guī)的曲柄OC 可繞定軸可繞定軸O 轉(zhuǎn)動，其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動，其端點(diǎn)C 與規(guī)尺與規(guī)尺AB 的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，而規(guī)尺的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，而規(guī)尺A，B 兩

11、端分別在兩端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動。相互垂直的滑槽中運(yùn)動。,OCACBCl MCat已知：。求：求： M 點(diǎn)的運(yùn)動方程；點(diǎn)的運(yùn)動方程； 軌跡；軌跡； 速度；速度； 加速度。加速度。解：點(diǎn)解：點(diǎn)M作曲線運(yùn)動，取坐標(biāo)系作曲線運(yùn)動，取坐標(biāo)系Oxy如圖所示。如圖所示。運(yùn)動方程運(yùn)動方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去消去t t, , 得軌跡得軌跡1)(2222alyalx）求：運(yùn)動方程、軌跡、速度和加速度。求：運(yùn)動方程、軌跡、速度和加速度。,OCACBCl MCat。已知：已知：速度速度talxvxsin talyvycos)( 22()sincos( , )2c

12、os2xvlatv ivlaalt 22()coscos( , )2cos2yvlatv jvlaalt2222222222()sin()cos2 cos2xyvvvl atl atlaalt 求：運(yùn)動方程、軌跡、速度和加速度。求：運(yùn)動方程、軌跡、速度和加速度。,OCACBCl MCat。已知：已知：加速度加速度talxvaxxcos2 talyvayysin2 taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos2laalt22()coscos( , )2cos2xalata ialaalt 22()sincos( , )2cos2yalata jalaalt 求：運(yùn)動方程、

13、軌跡、速度和加速度。求：運(yùn)動方程、軌跡、速度和加速度。,OCACBCl MCat。已知：已知：例例5-2 正弦機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄正弦機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OM長為長為r，繞，繞O軸勻速轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動，它與水平線間的夾角為其中動，它與水平線間的夾角為其中 為為t = 0時的夾角，時的夾角， 為一常數(shù)。已知動桿上為一常數(shù)。已知動桿上A，B兩點(diǎn)間距離為兩點(diǎn)間距離為b。求點(diǎn)。求點(diǎn)A和和B的運(yùn)動的運(yùn)動方程及點(diǎn)方程及點(diǎn)B的速度和加速度。的速度和加速度。,t解：解： A，B點(diǎn)都作直線運(yùn)動，取點(diǎn)都作直線運(yùn)動，取Ox軸如圖所示。軸如圖所示。運(yùn)動方程運(yùn)動方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxB求：求

14、： A，B點(diǎn)運(yùn)動方程；點(diǎn)運(yùn)動方程； B點(diǎn)速度、加速度。點(diǎn)速度、加速度。,OMrtABb 常數(shù)。已知：已知： ()x tTx tB點(diǎn)的速度和加速度點(diǎn)的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx周期運(yùn)動周期運(yùn)動頻率頻率Tf1求：求： A，B點(diǎn)運(yùn)動方程；點(diǎn)運(yùn)動方程； B點(diǎn)速度、加速度。點(diǎn)速度、加速度。,OMrtABb 常數(shù)。已知：已知：例例5-3 如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時，它的活塞在套如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時，它的活塞在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動。設(shè)活塞的加速度筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動。設(shè)活塞的加速度 （ 為活為活塞的速度，塞的速度，k為比例常數(shù)為比例常數(shù))，初速度為，初速度為 。求活塞的

15、運(yùn)動規(guī)律。求活塞的運(yùn)動規(guī)律。akv v0v 00,takv vvx t 已知：。求：。解：活塞作直線運(yùn)動，取坐標(biāo)軸解：活塞作直線運(yùn)動，取坐標(biāo)軸Ox如圖所示如圖所示ddvakvt 由00ddvtvvktv 得00ln,ktvkt vv ev 0ddktxvv et由tevxktxxtdd000得ktekvxx100 點(diǎn)的運(yùn)動自然坐標(biāo)表示法點(diǎn)的運(yùn)動自然坐標(biāo)表示法一、點(diǎn)的運(yùn)動方程一、點(diǎn)的運(yùn)動方程動點(diǎn)動點(diǎn)M的運(yùn)動用自然法表示，動點(diǎn)的運(yùn)動用自然法表示，動點(diǎn)M在軌跡上的位置由在軌跡上的位置由動點(diǎn)到原點(diǎn)的弧長動點(diǎn)到原點(diǎn)的弧長s來確定，稱為動點(diǎn)來確定，稱為動點(diǎn)M的弧坐標(biāo)。當(dāng)動點(diǎn)的弧坐標(biāo)。當(dāng)動點(diǎn)M 運(yùn)動時，運(yùn)動

16、時，s 隨時間而變化，是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即隨時間而變化，是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即( )sf t上式稱為點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動方程上式稱為點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動方程 若以若以表示切線的單位矢量，表示切線的單位矢量，n表示主法線的單位矢量，以表示主法線的單位矢量，以b表表示副法線的單位矢量，其方向由示副法線的單位矢量，其方向由右手螺旋法則確定，即右手螺旋法則確定，即 二、自然軸系二、自然軸系nb 過點(diǎn)過點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面，在法平面內(nèi)并與切線垂直的平面稱為法平面，在法平面內(nèi)過點(diǎn)過點(diǎn)M的所有直線都和切線垂直，都是法線。軌道上無限的所有直線都和切線垂直，都是法線。軌道上無限接近的兩條切線所確定的平面稱

17、為密切面，在密切面內(nèi)的接近的兩條切線所確定的平面稱為密切面，在密切面內(nèi)的那條法線稱為主法線。法平面內(nèi)過點(diǎn)那條法線稱為主法線。法平面內(nèi)過點(diǎn)M與主法線垂直的法與主法線垂直的法線稱為副法線。線稱為副法線。 以點(diǎn)以點(diǎn)M為原點(diǎn)，切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的為原點(diǎn)，切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系。的自然坐標(biāo)系。自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)三、點(diǎn)的運(yùn)動速度三、點(diǎn)的運(yùn)動速度 點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度v是一個矢量，它的方向沿軌跡的切線，如圖所是一個矢量，它的方向沿軌跡的切線，如圖所示。示。 速度的大小等于弧坐標(biāo)對速度的大小等于弧坐標(biāo)對時間的

18、一階導(dǎo)數(shù)，即時間的一階導(dǎo)數(shù)，即ddsvt 如果如果ds/dt0，則速度與，則速度與的正向相同，弧坐標(biāo)隨時間而的正向相同，弧坐標(biāo)隨時間而增大。反之，速度與增大。反之，速度與的正向相反。的正向相反。dd dddd ddrrssvvtstt四、點(diǎn)的運(yùn)動加速度四、點(diǎn)的運(yùn)動加速度速度對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得速度對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得ddddddvvtttva22ddddvstta 右邊兩項(xiàng)分別稱為切向加速度和法向加速度。前者表示右邊兩項(xiàng)分別稱為切向加速度和法向加速度。前者表示速度大小變化對加速度的貢獻(xiàn)，而后者是速度方向變化對速度大小變化對加速度的貢獻(xiàn)，而后者是速度方向變化對加速度的貢獻(xiàn)。加速度的貢獻(xiàn)。 Sli

19、mv)tSS(limvtlimvdtdvatttn 0200 )lim(0vdtdStSt2sin22sin| 2| 曲率（曲率半徑的倒數(shù)）的定義為曲率（曲率半徑的倒數(shù)）的定義為01dlimdsss 由上圖可知由上圖可知 22sin, 0,0St時當(dāng) 于是1|這樣法向加速度可寫為這樣法向加速度可寫為2nvan 由此可見，法向加速度由此可見，法向加速度的大小等于點(diǎn)的速度平方除以曲率的大小等于點(diǎn)的速度平方除以曲率半徑，方向與主法線的方向一致，指向軌跡的曲率中心。半徑，方向與主法線的方向一致，指向軌跡的曲率中心。 12222000 dSd)Ssin(limSsinlim|S|limttt按以上分析，

20、加速度可以寫為按以上分析，加速度可以寫為 2nddvvtaaan加速度的大小可寫為加速度的大小可寫為 ， 22222nddvvaaat 其方向由其方向由a與主法線方向與主法線方向n的夾的夾角角來確定來確定，它的正切為，它的正切為tannaa， 曲線勻速運(yùn)動曲線勻速運(yùn)動 0 a常常數(shù)數(shù) 0vvtvss00 曲線勻變速運(yùn)動曲線勻變速運(yùn)動 常常數(shù)數(shù) atavv 020021tatvss 例例5-4 半徑為半徑為r的輪子沿直線軌道無滑動地滾動的輪子沿直線軌道無滑動地滾動（稱為純滾動），設(shè)輪子轉(zhuǎn)角（稱為純滾動），設(shè)輪子轉(zhuǎn)角 為常值），為常值），如圖所示。求用直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一如圖所示。求用

21、直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一點(diǎn)點(diǎn)M的運(yùn)動方程，并求該點(diǎn)的速度、切向加速度及法的運(yùn)動方程，并求該點(diǎn)的速度、切向加速度及法向加速度。向加速度。( t 解：解：M點(diǎn)作曲線運(yùn)動，點(diǎn)作曲線運(yùn)動，取直角坐標(biāo)系如圖所示。取直角坐標(biāo)系如圖所示。MCOCrr tttrMOOCxsinsin1從而trMOCOycos1cos11rt,已知常數(shù)：。求：求：M點(diǎn)的運(yùn)動方程、速度、切向和法向加速度。點(diǎn)的運(yùn)動方程、速度、切向和法向加速度。由純滾動條件得由純滾動條件得1 cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1 (222ttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrt222raaayx,

22、rt已知：常數(shù)。求：M點(diǎn)的運(yùn)動方程、速度、切向和法向加速度。又點(diǎn)M的切向加速度為2cos2ttavr則有222sin2nttaaar,rt已知：常數(shù)。求：M點(diǎn)的運(yùn)動方程、速度、切向和法向加速度。 C x y A B M O 【例【例5-55-5】已知弧】已知弧BC的半徑為的半徑為R，搖桿以勻角速度，搖桿以勻角速度繞繞O軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)運(yùn)動開始時，搖桿在水平位置。軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)運(yùn)動開始時，搖桿在水平位置。試分別用直角坐標(biāo)法和自然法給出點(diǎn)試分別用直角坐標(biāo)法和自然法給出點(diǎn)M的運(yùn)動方的運(yùn)動方程，并求出其速度和加速度。程，并求出其速度和加速度。解：解：(1) (1) 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法cos2sin2xRRty

23、Rt求導(dǎo)后可得點(diǎn)求導(dǎo)后可得點(diǎn)M速度和加速度：速度和加速度： C x y A B M O 2sin22cos2xyvxRtvyRt 22.4cos2.4sin2xxyyavRtavRt (2) (2) 自然坐標(biāo)法：自然坐標(biāo)法：22sRtR t于是點(diǎn)于是點(diǎn)M速度和加速度分別為速度和加速度分別為 2v sR 22nd04dvvaaRtR， 證明：設(shè)加速度為證明：設(shè)加速度為a, ,則經(jīng)過時間則經(jīng)過時間t 后后, ,動點(diǎn)動點(diǎn)A走過走過的弧長和速度分別為的弧長和速度分別為 s R O a A0 A 【例【例5-65-6】 動點(diǎn)動點(diǎn)A沿如圖所示的圓周做勻加速圓周沿如圖所示的圓周做勻加速圓周運(yùn)動。已知圓周半徑

24、為運(yùn)動。已知圓周半徑為R，初速度為零。若點(diǎn)，初速度為零。若點(diǎn)A A的的全加速度與切線間的夾角為全加速度與切線間的夾角為，并以，并以角表示點(diǎn)角表示點(diǎn)走過的圓弧走過的圓弧s所對應(yīng)的圓心角，試證明：所對應(yīng)的圓心角，試證明：tantan=2=2。212Sa tva t， s R O a A0 A 動點(diǎn)動點(diǎn)A的法向加速度可表示為的法向加速度可表示為22n2( a t )vSaaRRR動點(diǎn)動點(diǎn)A的全加速度與切線間的的全加速度與切線間的夾角夾角可表示為可表示為n22tan2aSRaRR這樣原問題的結(jié)論成立。這樣原問題的結(jié)論成立。 M O 1O r r A M x 1x y 1y 2 M0 s O 1O r

25、A r 【例【例5-7】 如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，兩桿的運(yùn)動通如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，兩桿的運(yùn)動通過套筒過套筒M而聯(lián)系起來，初始時桿而聯(lián)系起來，初始時桿O1M與點(diǎn)與點(diǎn)O成一直成一直線。已知線。已知OO1 =O1M=r，試求套筒，試求套筒M的運(yùn)動方程以的運(yùn)動方程以及它的速度和加速度。及它的速度和加速度。 M O 1O r r A M x 1x y 1y 2 M0 s O 1O r A r 解：解：(1)(1)自然法。取套筒初始位置自然法。取套筒初始位置M0為弧坐標(biāo)為弧坐標(biāo)s的的原點(diǎn)，以套筒的運(yùn)動方向?yàn)榛∽鴺?biāo)原點(diǎn)，以套筒的運(yùn)動方向?yàn)榛∽鴺?biāo)s的正向，由圖的正向，由圖可知可知22srr上式可寫為上式可寫為

26、2sr t 這就是用自然坐標(biāo)表示的套筒這就是用自然坐標(biāo)表示的套筒M運(yùn)動方程。上運(yùn)動方程。上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，可得套筒式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，可得套筒M的速度的速度 d2dsvrt套筒套筒M的切線和法向加速度分別為的切線和法向加速度分別為 d0dvat22n4varr套筒套筒M的加速度大小為的加速度大小為 222n4aaar(2)直角坐標(biāo)法。直角坐標(biāo)法。 選取固定直角坐標(biāo)系選取固定直角坐標(biāo)系Oxy，則有，則有 cos2xrr sin2yr套筒套筒M在直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程在直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程 cos2xrrtsin 2yrt， ， 上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，可得套筒上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，可得套筒M

27、的速度的速度d2 sin2dxxvrttd2 cos2dyyvrtt套筒套筒M的速度的大小和方向分別可表示為的速度的大小和方向分別可表示為222xyrvvvcos( , )sin2xvrvv icos( , )cos2yvrvv j套筒套筒M的加速度在兩個坐標(biāo)軸上的投影的加速度在兩個坐標(biāo)軸上的投影2d4cos2dxxvartt2d4sin2dyyvartt 套筒套筒M的加速度的大小和方向分別可表示為的加速度的大小和方向分別可表示為2224xyaaarcos( , )cos2xataaicos( , )sin2yataa j 顯然，兩種方法的結(jié)果完全一致，本題用自然坐顯然，兩種方法的結(jié)果完全一致

28、，本題用自然坐標(biāo)法較簡便，且物理概念清晰。標(biāo)法較簡便，且物理概念清晰。課堂自學(xué)課堂自學(xué).1 與與 有何不同有何不同?就直線和曲線分別說明就直線和曲線分別說明。dvdt dtdv ( (直線直線. .曲線都一樣曲線都一樣), ), 為速度的為速度的大小變化率大小變化率, ,在曲線中應(yīng)為切向加速度在曲線中應(yīng)為切向加速度 。dvadt adtdvdtdva 2 指出在下列情況下指出在下列情況下,點(diǎn)點(diǎn)M作何種運(yùn)動作何種運(yùn)動? , , , na0 a 常常數(shù)數(shù)a0 常常 數(shù)數(shù)a0 na0 av0, 常常數(shù)數(shù) 常常數(shù)數(shù)naa0, 常常數(shù)數(shù)na0 a0 naa, 常常數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)(勻變速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)

29、動)(勻速圓周運(yùn)動勻速圓周運(yùn)動)(勻速直線運(yùn)動或靜止勻速直線運(yùn)動或靜止)(直線運(yùn)動直線運(yùn)動)(勻速運(yùn)動勻速運(yùn)動)(圓周運(yùn)動圓周運(yùn)動)(勻速運(yùn)動勻速運(yùn)動)(直線運(yùn)動直線運(yùn)動)(勻速曲線運(yùn)動勻速曲線運(yùn)動)(勻變速曲線運(yùn)動勻變速曲線運(yùn)動)3 點(diǎn)作曲線運(yùn)動點(diǎn)作曲線運(yùn)動,畫出下列情況下點(diǎn)的加速度方向畫出下列情況下點(diǎn)的加速度方向。 (1)M1 1點(diǎn)作勻速運(yùn)動點(diǎn)作勻速運(yùn)動 (2)M2點(diǎn)作加速運(yùn)動點(diǎn)作加速運(yùn)動 (3)M3點(diǎn)作減速運(yùn)動點(diǎn)作減速運(yùn)動4 判斷下列運(yùn)動是否可判斷下列運(yùn)動是否可 能出現(xiàn)能出現(xiàn),若能出現(xiàn)判斷是什么運(yùn)動若能出現(xiàn)判斷是什么運(yùn)動? ? (加速運(yùn)動加速運(yùn)動) (不可能不可能) (勻速曲線運(yùn)動勻速曲

30、線運(yùn)動)(不可能或改作不可能或改作直線減速運(yùn)動直線減速運(yùn)動)(不可能不可能) (減速曲線運(yùn)動減速曲線運(yùn)動)(不可能或改作線加速運(yùn)動不可能或改作線加速運(yùn)動) 5 點(diǎn)作直線運(yùn)動時點(diǎn)作直線運(yùn)動時,若其速度為零若其速度為零,其加速度也為零其加速度也為零 點(diǎn)作曲線運(yùn)動時點(diǎn)作曲線運(yùn)動時,若其速度大小不變?nèi)羝渌俣却笮〔蛔?加速度是否一定為零加速度是否一定為零答答:不一定不一定. .速度為零時加速度不一定為零速度為零時加速度不一定為零( (自由落體上自由落體上拋到頂點(diǎn)時拋到頂點(diǎn)時) ) 加速度不一定為零，只要點(diǎn)作曲線運(yùn)動，就有向心加加速度不一定為零，只要點(diǎn)作曲線運(yùn)動，就有向心加速度速度6 6 切向加速度和法向

31、加速度的物理意義？切向加速度和法向加速度的物理意義？答：表示速度大小的變化答：表示速度大小的變化 表示速度方向的變化表示速度方向的變化dtdva 2van7 點(diǎn)點(diǎn)M沿著螺線自外向內(nèi)運(yùn)動，它走過的弧長與時間的一次沿著螺線自外向內(nèi)運(yùn)動，它走過的弧長與時間的一次方成正比，問點(diǎn)的加速度是越來越大，還是越來越?。奎c(diǎn)是方成正比，問點(diǎn)的加速度是越來越大，還是越來越?。奎c(diǎn)是越跑越快，還是越跑越慢？越跑越快，還是越跑越慢？ dSSbtavbdt 常常數(shù)數(shù)nndvvbbaaaadt 2220, , 由于點(diǎn)由外向內(nèi)運(yùn)動由于點(diǎn)由外向內(nèi)運(yùn)動,曲率半徑曲率半徑 越來越小越來越小,所以加速度所以加速度越來越大越來越大。而速

32、度。而速度 v = =常數(shù)常數(shù), ,故點(diǎn)運(yùn)動快慢不變。故點(diǎn)運(yùn)動快慢不變。解：解：例例 由于研究對象是剛體由于研究對象是剛體, ,所以運(yùn)動中要考慮其本身形狀和尺所以運(yùn)動中要考慮其本身形狀和尺寸大小寸大小, ,又由于剛體是幾何形狀不變體又由于剛體是幾何形狀不變體, ,所以研究它在空間的所以研究它在空間的位置就不必一個點(diǎn)一個點(diǎn)地確定位置就不必一個點(diǎn)一個點(diǎn)地確定,只要根據(jù)剛體的各種運(yùn)動形只要根據(jù)剛體的各種運(yùn)動形式式,確定剛體內(nèi)某一個有代表性的直線或平面的位置即可。確定剛體內(nèi)某一個有代表性的直線或平面的位置即可。 是指剛體的平行是指剛體的平行 移動和轉(zhuǎn)動移動和轉(zhuǎn)動基本運(yùn)動基本運(yùn)動5-4 剛體的基本運(yùn)動剛

33、體的基本運(yùn)動OB作定軸轉(zhuǎn)動作定軸轉(zhuǎn)動CD作平動作平動AB、凸輪均作平動、凸輪均作平動例例AB在運(yùn)動中方向和大小始終不變在運(yùn)動中方向和大小始終不變 它的軌跡它的軌跡可以是直線可以是直線可以是曲線可以是曲線一、一、 剛體平動的定義剛體平動的定義剛體在運(yùn)動中剛體在運(yùn)動中,其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持方向不變。其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持方向不變。具有這種特征的剛體運(yùn)動稱為剛體的平行移動，簡稱平動。具有這種特征的剛體運(yùn)動稱為剛體的平行移動，簡稱平動。二、二、 剛體平動的運(yùn)動特征剛體平動的運(yùn)動特征 設(shè)剛體做平動，如圖所示。設(shè)剛體做平動，如圖所示。在剛體內(nèi)任選兩點(diǎn)在剛體內(nèi)任選兩點(diǎn)A和和B，令點(diǎn)，令點(diǎn)A的矢徑為

34、的矢徑為rA，點(diǎn)，點(diǎn)B的矢徑為的矢徑為rB。由圖可知由圖可知ABBArr 平動剛體在任一瞬時各點(diǎn)的運(yùn)動軌跡形狀平動剛體在任一瞬時各點(diǎn)的運(yùn)動軌跡形狀,速度速度,加速度都加速度都一樣。一樣。 即即:平動剛體的運(yùn)動可以簡化為一個點(diǎn)的運(yùn)動平動剛體的運(yùn)動可以簡化為一個點(diǎn)的運(yùn)動。上式兩邊同時對時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，有上式兩邊同時對時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，有 ddddddABB(BA)ttt rrr222222ddddddABB(BA)ttt rrr即即ABvvBAaa 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)剛體作平動時，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同，在當(dāng)剛體作平動時，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同，在同一瞬時，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。同一

35、瞬時，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。因此，剛體因此，剛體的平面運(yùn)動可歸結(jié)于前一節(jié)介紹的點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)問題。的平面運(yùn)動可歸結(jié)于前一節(jié)介紹的點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)問題。 由于剛體作平動，只要把由于剛體作平動，只要把B點(diǎn)的軌跡平移一段距離，就能點(diǎn)的軌跡平移一段距離，就能得到點(diǎn)得到點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡?？梢?，剛體作平動時，剛體內(nèi)任意兩的運(yùn)動軌跡?？梢姡瑒傮w作平動時，剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的軌跡完全相同。點(diǎn)的軌跡完全相同。 (+) O1 O2 O A B M l l 【例【例5-85-8】蕩木用兩條長為】蕩木用兩條長為l 的鋼索平行吊起，如圖所示。的鋼索平行吊起，如圖所示。當(dāng)蕩木擺動時，鋼索的擺動規(guī)律為當(dāng)蕩木擺動時，鋼索的擺動規(guī)律為

36、 ， 為最為最大擺角。試求當(dāng)大擺角。試求當(dāng)t=2st=2s時，蕩木中點(diǎn)時，蕩木中點(diǎn)M M的速度和加速度。的速度和加速度。0cos4t0， 解：蕩木在運(yùn)動的過程中解：蕩木在運(yùn)動的過程中, , 蕩木作平動。為求中點(diǎn)蕩木作平動。為求中點(diǎn)M 的速的速度和加速度度和加速度, ,只需求出蕩木上另一點(diǎn)只需求出蕩木上另一點(diǎn)A( (或點(diǎn)或點(diǎn)B) )的速度和加的速度和加速度即可。速度即可。 點(diǎn)點(diǎn)A 的運(yùn)動方程為的運(yùn)動方程為0cos4sllt (+) O1 O2 O A B M l l 將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，可得可得A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度0dsind44lsvtt A點(diǎn)的切向加速度和法向加速度

37、可分別寫為點(diǎn)的切向加速度和法向加速度可分別寫為20dcosd164lvatt22220nsin164lvatl當(dāng)當(dāng)t=2s時，速時，速度和加速度可分別寫為度和加速度可分別寫為04lv ( (方向水平向左方向水平向左) )202cos0164tlat2222200n2sin16416tllat( (方向鉛直向上方向鉛直向上) )三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動1 1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的特征及其簡化、剛體定軸轉(zhuǎn)動的特征及其簡化 特點(diǎn)特點(diǎn): :有一條不變的線稱為轉(zhuǎn)軸有一條不變的線稱為轉(zhuǎn)軸, ,其余各點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸其余各點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面上做圓周運(yùn)動。的平面上做圓周運(yùn)動。2 2、轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)動方程、

38、轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)動方程 - -轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角, ,單位弧度單位弧度(rad)(rad) =f=f( (t t) )-為轉(zhuǎn)動方程為轉(zhuǎn)動方程 方向規(guī)定方向規(guī)定: : 從從z z 軸正向看去軸正向看去, , 逆時針為正逆時針為正 順時針為負(fù)順時針為負(fù)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動的動畫剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動的動畫3、定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度、定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度 1）角速度）角速度： 工程中常用單位：工程中常用單位： n = 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分(r / min)則則n與與 的關(guān)系為的關(guān)系為:)nnn(rad/s1030602)(:tf 則單位單位 rad/s若已知轉(zhuǎn)動方程若已知轉(zhuǎn)動方程f(t)( lim :0代數(shù)量定義dtdtt2）

39、角加速度角加速度: 設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)t 時刻為時刻為 , t +t 時刻為時刻為 + 與與 方向一致為加速轉(zhuǎn)動方向一致為加速轉(zhuǎn)動, 與與 方向相反為減速轉(zhuǎn)動方向相反為減速轉(zhuǎn)動 3）勻速轉(zhuǎn)動和勻變速轉(zhuǎn)動勻速轉(zhuǎn)動和勻變速轉(zhuǎn)動當(dāng)當(dāng) =常數(shù)常數(shù),為勻速轉(zhuǎn)動為勻速轉(zhuǎn)動；當(dāng)當(dāng) =常數(shù)常數(shù),為勻變速轉(zhuǎn)動為勻變速轉(zhuǎn)動。020220122ttt 常用公式常用公式與點(diǎn)的運(yùn)動相類似。與點(diǎn)的運(yùn)動相類似。220:lim( )tddfttdtdt 角角加加速速度度單位單位:rad/s2 (代數(shù)量代數(shù)量)【例【例5-95-9】電動機(jī)由靜止開始勻加速轉(zhuǎn)動，在】電動機(jī)由靜止開始勻加速轉(zhuǎn)動，在t=20s時，其時，其轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=360r

40、/min ，求在此，求在此20s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。 解：電動機(jī)初始靜止，即解：電動機(jī)初始靜止，即0 0=0=0。在。在t=20s時其轉(zhuǎn)動的時其轉(zhuǎn)動的角速度為角速度為12rad s30n / 由由 =0 0+ +t ，可得電動機(jī)轉(zhuǎn)動，可得電動機(jī)轉(zhuǎn)動的角加速度為的角加速度為00 6rad s. /t 在在20s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為2200110 62012022tt. 故在故在20s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為602N ( (圈圈) ) , 對整個剛體而言對整個剛體而言(各點(diǎn)都一樣各點(diǎn)都一樣)； v, a 對剛體中某個點(diǎn)而言對剛體中某個點(diǎn)而言(各點(diǎn)不一樣各點(diǎn)不一樣)。tSdtdS

41、vt0limRtRvt0limRv1、線速度、線速度V和角速度和角速度 之間的關(guān)系之間的關(guān)系( (即角量與線量的關(guān)系即角量與線量的關(guān)系)四、轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度四、轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度,)(RRdtdRdtddtdva222)(RRRvan2224| |nnaaaaaR 全全22 tgRRaan2、角加速度、角加速度 與與an ,a 的關(guān)系的關(guān)系4）速度與加速度分布圖vR2tantnaa2224tnaaaR結(jié)論結(jié)論: v方向與方向與 相同時為正相同時為正 , R ,與與 R 成正比。成正比。 各點(diǎn)的全加速度方向與各點(diǎn)轉(zhuǎn)動半徑夾角各點(diǎn)的全加速度方向與各點(diǎn)轉(zhuǎn)動半徑夾角 都一致都一致

42、,且且 小于小于90o , 在同一瞬間的速度和加速度的分布圖為在同一瞬間的速度和加速度的分布圖為: M A a na a Av Mv O Aa 【例【例5-10】半徑】半徑R=0.2m的圓輪繞固定軸的圓輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動，其運(yùn)動方程轉(zhuǎn)動，其運(yùn)動方程為為 。試求。試求t=1s時，時，輪緣上任一點(diǎn)輪緣上任一點(diǎn)M以及重物以及重物A的速的速度和加速度。度和加速度。24tt 解：解：t=1s時圓輪轉(zhuǎn)動的角速度和角時圓輪轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度分別為加速度分別為11d422 rad sdtt(t ) /t2d2 rad sd /t0 4 m sMAvvR. /20 4 m sAaaR. /方向如圖所示。方向如

43、圖所示。點(diǎn)點(diǎn)M的法向加速度的法向加速度的大小為的大小為22n0 8 m saR. /點(diǎn)點(diǎn)M的全加速度的大小和方向分別為的全加速度的大小和方向分別為222n0 894m saaa./2arctanarctan0 526 34.這里這里 表示點(diǎn)表示點(diǎn)M的全加速度和半徑之間的全加速度和半徑之間的夾角。的夾角。 M A a na a Av Mv O Aa 5-5 5-5 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的傳動問題繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的傳動問題 我們常見到在工程中我們常見到在工程中, ,用一系列互相嚙合的齒輪用一系列互相嚙合的齒輪來實(shí)現(xiàn)變速來實(shí)現(xiàn)變速, ,它們變速的基本原理是什么呢它們變速的基本原理是什么呢? ? 一、齒輪傳動

44、一、齒輪傳動1.1.內(nèi)嚙合內(nèi)嚙合因?yàn)槭亲黾儩L動因?yàn)槭亲黾儩L動(即沒有相對滑動即沒有相對滑動)FEvv EFvv EEFFrr定義齒輪傳動比定義齒輪傳動比EFEFFEEFZZrritrZ2齒數(shù)EFEFEFZZtrtrrr/ 2/ 22.外嚙合外嚙合CDCDC CD Dvvvvrr CDCDDCCDZZrri由于轉(zhuǎn)速由于轉(zhuǎn)速n與與有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：1122260 nnn 成成正正比比11221 22211,:nrzinrz 主主動動輪輪即即從從動動輪輪顯然當(dāng)顯然當(dāng): 時時, ,為升速轉(zhuǎn)動；為升速轉(zhuǎn)動； 時時, ,為降速轉(zhuǎn)動。為降速轉(zhuǎn)動。1 21,|i 21 1 21,|i 21 二、皮帶輪系

45、傳動二、皮帶輪系傳動 ABvv (而不是而不是 方向不同方向不同 ) ABvv BBAArr皮帶傳動皮帶傳動ABABBArir r1 r2 M2 B M1 1 1 1v 2v 2 2 A M2 r2 M1 A 1 B 1v 2v 2 2 1 r1 【例【例5-115-11】設(shè)主動輪】設(shè)主動輪A和從動輪和從動輪B的節(jié)圓半徑分別為的節(jié)圓半徑分別為r1和和r2，齒數(shù)分別為齒數(shù)分別為z1和和z2。主動輪。主動輪A的角速度為的角速度為1 1 ，角加速度為，角加速度為1 1，試求從動輪，試求從動輪B的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 r1 r2 M2 B M1 1 1 1v 2v 2 2 A M2

46、r2 M1 A 1 B 1v 2v 2 2 1 r1 解：在齒輪傳動中，嚙合點(diǎn)的速度和切向加速度的大小解：在齒輪傳動中，嚙合點(diǎn)的速度和切向加速度的大小和方向相同，即和方向相同，即 12vv12aa因而有因而有2211rr2211rr 從而可以求得從動輪的角速度和角加速度分別為從而可以求得從動輪的角速度和角加速度分別為 1212rr1212rr一對相互嚙合的齒輪，它們的齒數(shù)和節(jié)圓的半徑成正比，一對相互嚙合的齒輪，它們的齒數(shù)和節(jié)圓的半徑成正比，所以上面式子可寫為所以上面式子可寫為 1211212zzrr1211212zzrr聯(lián)合上面兩式，可得聯(lián)合上面兩式，可得 12122121zzrr121221

47、2112zzrri 有時為了區(qū)分輪系中各輪轉(zhuǎn)向，對各輪規(guī)定統(tǒng)一的轉(zhuǎn)有時為了區(qū)分輪系中各輪轉(zhuǎn)向，對各輪規(guī)定統(tǒng)一的轉(zhuǎn)動正向，這時各輪的角速度可取代數(shù)值，從而傳動比也動正向，這時各輪的角速度可取代數(shù)值，從而傳動比也可取代數(shù)值可取代數(shù)值12212211rzirz 式中，正號表示主動輪與從動輪轉(zhuǎn)向相同式中，正號表示主動輪與從動輪轉(zhuǎn)向相同( (內(nèi)嚙合內(nèi)嚙合) )，而負(fù)號表示主動輪和從動輪轉(zhuǎn)向相反而負(fù)號表示主動輪和從動輪轉(zhuǎn)向相反( (外嚙合外嚙合) ) 。 通常在機(jī)械工程中，把主動輪和從動輪的角速度之比稱為通常在機(jī)械工程中，把主動輪和從動輪的角速度之比稱為傳動比，用傳動比，用i12表示表示5-6 5-6 以

48、矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角速度矢量t dd 大小作用線 沿軸線滑動矢量指向右手螺旋規(guī)則k角加速度矢量角加速度矢量ddddkktt角速度矢的指向 2、繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上點(diǎn)的速度和加速度ddddvarttddddrrttrvtartnaasinrRvvr 大大小小方方向向 右右手手法法則則 速度速度加速度M點(diǎn)切向加速度點(diǎn)切向加速度()navrM點(diǎn)法向加速度點(diǎn)法向加速度 O x y z r M 【例【例5-12】 如圖所示圓盤以恒定的角速度如圖所示圓盤以恒定的角速度= =50rad/s

49、繞垂直于繞垂直于盤面的中心軸轉(zhuǎn)動，該軸在盤面的中心軸轉(zhuǎn)動，該軸在yz面內(nèi)，傾角面內(nèi)，傾角=arctan3/4，動點(diǎn)，動點(diǎn)M 的矢徑在圖示瞬時為的矢徑在圖示瞬時為 。試用。試用矢量法求動點(diǎn)矢量法求動點(diǎn)M的速度和加速度。的速度和加速度。 rijk0.150.160.1 解：由轉(zhuǎn)軸所在的方位可將圓盤轉(zhuǎn)動的角速度矢寫為解：由轉(zhuǎn)軸所在的方位可將圓盤轉(zhuǎn)動的角速度矢寫為3450()304055jkjk動點(diǎn)動點(diǎn)M的速度的速度030409.464.50.150.160.1ijkvrijk Mn030403753762829.464.5ijkavijk MM 由于圓盤角速度為常數(shù)，所以動點(diǎn)由于圓盤角速度為常數(shù)，所

50、以動點(diǎn)M的切向加速度為零的切向加速度為零。動點(diǎn)動點(diǎn)M的法向加速度為的法向加速度為例例5-13 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，已知轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點(diǎn)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，已知轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點(diǎn)O,角速角速度矢為度矢為 。5sin5cos5 322ttijk 求：求：t t =1s=1s時時, ,剛體上點(diǎn)剛體上點(diǎn)M（0，2，3）的速度矢及）的速度矢及加速度矢。加速度矢。10 31510ijk 5sin5cos5 322023ijkttvr解:ddarvrvt1575 3200752ijk 解：角速度矢量解：角速度矢量nM點(diǎn)相對于轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)點(diǎn)相對于轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)M0的矢徑的矢徑 010,7,112,1,38,6,8MMrrr0

51、.60.480.6486868ijkvrnrjk0.6 0.48 0.64n 其中（，）求：剛體上點(diǎn)求：剛體上點(diǎn)M（10，7，11）的速度矢。）的速度矢。例例5-14 某定軸轉(zhuǎn)動剛體通過點(diǎn)某定軸轉(zhuǎn)動剛體通過點(diǎn)M0（2，1，3），其角速度），其角速度矢矢 的方向余弦為的方向余弦為0.6，0.48，0.64，角速度，角速度 的大小的大小=25rad/s ?？偨Y(jié)總結(jié)一一.基本概念和基本運(yùn)動規(guī)律及基本公式基本概念和基本運(yùn)動規(guī)律及基本公式1. 基本概念：直線運(yùn)動基本概念：直線運(yùn)動,曲線運(yùn)動曲線運(yùn)動 (點(diǎn)點(diǎn)) ; 平動平動,定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 (剛體剛體)。2. 基本運(yùn)動規(guī)律與公式基本運(yùn)動規(guī)律與公式: 剛體

52、定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動方程:角速度角速度:)(tf dtd 22dtddtd 角加速度角加速度:勻速轉(zhuǎn)動勻速轉(zhuǎn)動:勻變速運(yùn)動勻變速運(yùn)動:t0t 020021tt 2202 二二. .解題步驟及注意問題解題步驟及注意問題1.1.解題步驟解題步驟: :弄清題意弄清題意, ,明確已知條件和所求的問題。明確已知條件和所求的問題。選好坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)法，自然法。選好坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)法，自然法。根據(jù)已知條件進(jìn)行微分，或積分運(yùn)算。根據(jù)已知條件進(jìn)行微分，或積分運(yùn)算。用初始條件定積分常數(shù)。用初始條件定積分常數(shù)。 對常見的特殊運(yùn)動，對常見的特殊運(yùn)動，可直接應(yīng)用公式計(jì)算可直接應(yīng)用公式計(jì)算。注意問題：注意問

53、題：幾何關(guān)系和運(yùn)動方向。幾何關(guān)系和運(yùn)動方向。求軌跡方程時要消去參數(shù)求軌跡方程時要消去參數(shù)“t t”。坐標(biāo)系（參考系）的選擇。坐標(biāo)系（參考系）的選擇。三三.例題例題例例1列車在列車在R=300m的曲線上勻變速行駛。軌道上曲線部分長的曲線上勻變速行駛。軌道上曲線部分長l=200m，當(dāng)列車開始走上曲線時的速度，當(dāng)列車開始走上曲線時的速度v0=30km/h，而將要離開，而將要離開曲線軌道時的速度是曲線軌道時的速度是v148km/h。求列車走上曲線與將要離開曲線時的加速度？求列車走上曲線與將要離開曲線時的加速度？解解：由于是勻變速運(yùn)動，則常量。由于是勻變速運(yùn)動，則常量。由公式而由已知由公式而由已知avva s 2202,m200lsvvasvv 222100116006250.27m /s2922003010002548100040m /s, m /s3600336003列車走上曲線時，列車走上曲線時，全加速度全加速度列車將要離開曲線時，列車將要離開曲線時，全加速度全加速