高等數學3泰勒公式南京航空航天大學

1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函數單調性與曲線的凹凸性函數單調性與曲線的凹凸性3 33 3 函數的極值與最值函數的極值與最值 3 34 4 函數圖形的描繪函數圖形的描繪3 35 5 洛必達法則洛必達法則3 36 6 泰勒（泰勒（Taylor)Taylor)公式公式3.6 泰勒泰勒(Taylor)公式公式一、問題的提出一、問題的提出二、二、 泰勒中值定理泰勒中值定理三、三、 簡單應用簡單應用 應用應用用多項式近似表示函數用多項式近似表示函數理論分析理論分析近似計算近似計算特點特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、問題的提出一、問題的提出)(xfxy)(xfy

2、o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應用中已知近似公式在微分應用中已知近似公式 :需要解決的問題需要解決的問題如何提高精度如何提高精度 ?如何估計誤差如何估計誤差 ?xx 的一次多項式的一次多項式下面來解決這兩個問題：下面來解決這兩個問題：2001)()(21)(xxxfxR 由洛必達法則及極限與無窮小的關系，知由洛必達法則及極限與無窮小的關系，知)()()()(:0001xxxfxfxfxR 記記誤誤差差1）200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf 000 00112200()( )( )( )limlim,()()2xx

3、xxfxR xf xP xxxxx 00120()( )lim0()2xxfxR xxx 200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf 300)()(! 31xxxf 2000002)(21)()()()(xxxfxxxfxfxfxR 誤差誤差300200000)(! 31)(21)()()(xxxfxxxfxxxfxfxf 由此分析看出，隨著多項式函數的階數的提高，這一由此分析看出，隨著多項式函數的階數的提高，這一特殊類型的多項式與函數特殊類型的多項式與函數 f (x)的近似程度越來越好的近似程度越來越好. .問題問題:.)()()()(0202010nnnxxaxxaxxaax

4、p 2 2）設函數）設函數 f (x) 在含有在含有x0 0的開區(qū)間的開區(qū)間( (a, ,b) )內具有直到內具有直到n+1+1階的導數階的導數, ,并并設設 f (x)的近似多項式為：的近似多項式為：0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxpn )()(00 xfxpn )()(00 xfxpn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點相交點相交0 xPn(x)的確定的確定),(00 xfa nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 ,

5、 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 二、泰勒二、泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 證明證明: : 由由假假設設, ,)(xRn在在),(ba內內具具有有直直到到)1( n階階導導數數, ,且且兩函數兩函數)(xRn及及10)( nxx在以在以0 x及及 x 為端點的為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,故有故有)()(1()(0011之間之間與與在在xxxnRnn 0)

6、()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去, ,經經過過)1( n次次后后, ,得得 兩兩函函數數)(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 為為端端點點的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之間之間與與在在nx 0, ,也在也在 x0 0與與 x 之間之間) )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnRnn nkn

7、kkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 階階泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn , 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 則由上面推導可知則由上面推導可知拉格朗日型的余項拉格朗日型的余項 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 佩亞諾佩亞諾( (Peano) )型的余項型的余項0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 記記 1010)1(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR

8、時的某鄰域內當在Mxfxn)() 1(0-帶拉格朗日型余項的帶拉格朗日型余項的Taylor展式展式)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf -帶帶佩佩亞諾亞諾型型余項的余項的Taylor展式展式10)1(000)()()!1()()(!)()( nnknkkxxnfxxkxfxf 注意注意: :1 1. . 當當0 n時時, ,泰泰勒勒公公式式變變成成 L L- -中中值值公公式式 )()()()(000之之間間與與在在xxxxfxfxf 20000)(! 2)()()()(,1. 2xxfxxxfxfxfn 泰勒公式變成泰勒公式變成時時當當0)(xx 在在與與之之間間可見

9、可見( )f x )(0 xf00()()fxxx 210( )( )()2 !fR xxx 誤差誤差fd0)(xx 在在與與之之間間)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林( (Maclaurin) )公式公式泰勒公式變成泰勒公式變成時時當當,0. 30 x例例1 按按(x+1)的冪展開的冪展開. 423)(23 xxxxf解解函數的泰勒展開：函數的泰勒展開：, 10 x, 8)1()(0 fxf5)1( f, 6)1( f, 0

10、)1( f. 4, 0)1()( nfn.)1()1(58423)(323 xxxxxxf1|1| )(, 0)(111 xxxxxfxf)!1()1(|)!1()1(| )(,11| )(1111)(121 nxnxfxxfnxnnxnxxnnxnxxxxx)1(1)1()1(41)1(31)1(21)1(ln1432 11)1(11)1( nnnxn 位于位于 x 與與 1之間。之間。例例2 .1ln)(0階階泰泰勒勒公公式式處處展展開開成成在在將將nxxxf 解解 解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公

11、式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe 常用函數的麥克勞林公式常用函數的麥克勞林公式! 7! 5! 3753xxxxy ! 5! 353xxxy ! 33xxy xysin xy )!12()1(! 5! 3sin1253 nxxxxxnn解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式例例5解解)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 301sin()limxxexxxx3333023()!limxxxo xx130sin()limxexxxxx233331123330()()()!limxxxxo xxo xxxxx 13)(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx展開至展開至x -2次項次項3.3.