相似三角形存在性問(wèn)題(含解析)

1、相似存在性問(wèn)題1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= - Wx2+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B,四邊形OBC國(guó)矩3形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1, 0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0, 4）,已知點(diǎn)E （日0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作P已x軸交拋物線于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)H.（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請(qǐng)用含 m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn) P,使彳導(dǎo)以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與 DEHf似?若存在，求出此時(shí) m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由._ _4_試題解析：(1) :拋物線%-五工+及收與乂軸交于點(diǎn)4(1.0),與y

2、岫交于點(diǎn)f 8-J-U-Lr-nb= L -A QB(0f 4) U 解得 3 ,二拋物然的解析式為尸送屋-1c=4黑+4 ;_(2 ) vE (m,0), PE_Lxtt交拋物線于點(diǎn)P ,交設(shè)于點(diǎn)一48484G , P ( m f ' - m+4 ) f G C ni f 4 ) , aPG= - nn-4 - 4= ' rJJJJJ- 5 m ;點(diǎn)P在直式BC上方時(shí),故需要求出地物鏤與直蛭BC的交點(diǎn),令4二2m2 -X4 XW,解得m三-2或0 ,即ni的取值范圍:" 2<m<0 , PG的長(zhǎng)度為：=m之二 m （ - 2 < m < 0

3、）;在（2 ）的條件下，存在點(diǎn)P ,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與口DEH相似,vy=- :麻 g x+4 ,二當(dāng)y=0時(shí)，一1就-，k+4=0 . 或-3 ,二D （ = 3 , 0），當(dāng) 點(diǎn)時(shí),-2<m<0 .的為片kx+4 ,特o門(mén) o q ,一-4D-3 , 0 ）代入.得-3kM=0解得匕三"直線8D的解析式為VF4k+4 , aH （ m , m+4 ）._j4 2 _8分兩種情況：如果-RGPy DEH ,那么圣士第,即二=三二，解得 UL En m+J R ,nri-4w1m= - 3或故m =-1;即導(dǎo)皿 百國(guó)三qnr+3 311rH- 2<m&

4、lt;0 ,解彳導(dǎo)如果WGBDEH ,那么2二番， Ud eIIje=瓦.綜上所述，在（2 ）的條件下.存在點(diǎn)P ,使得以P、氏G為頂點(diǎn)的三角 形與二DEH相似,此時(shí)m的值為-1或-金.252.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=ax + x+c過(guò)點(diǎn)A (0, 4)和C (8, 0), P (t, 0)是x軸正6半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， M是線段AP的中點(diǎn)，將線段 M雄點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段PB.過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線、過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，兩直線相交于點(diǎn) D. (1)求此拋物線的對(duì)稱軸；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn) D落在拋物線上？(3)是否存在t,使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與 PEB相似？若存

5、在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.c = 4i _ 2試®： ( 1)由題得,ax64 - xS + c = 0 ，解得" 6 .、6c=4二拋物線的解析式為；J=n/+4 ,它的對(duì)稱軸為：工二g一D D1(2)由得：“邑,2)，"0).，從而有BD 而即VF5是尸立繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得，印+工。)，距+工上P(r+2J) ,”假設(shè)辦0 + 24)在拋物線上，有一+ + 4 = 4 ,解得OOt =里或F = -2,門(mén)0.門(mén)=3 ，即當(dāng)才=3時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上.當(dāng)Od時(shí)，如圖，3E=勺旌=2班7-、年=4 ,PE(1)若“ADB ,此時(shí)上尸

6、BE二乙取0 二上石，有：化簡(jiǎn)得二-16，此時(shí)，無(wú)解.RE d n若以PEB i3ADB,此時(shí)二5尸=，有：下二方 ,即1 4-1 2=2 , 27+2化筒得：尸+我一16 =。，關(guān)于才的一元二次方程的判別式二二手-4x(76) = 8Q由求根公式得：才=*產(chǎn)= q±2在 丁，0 ，二 E = -2 + 2括,當(dāng)時(shí)，如圖，若-PQA-二ADB BE = PE = TAD = 4/ £(1)若二 BEP 5七ADB , ittW/EE=拉5Tm = ZA ,有：L -4PF RD7 q=,即亍=:化簡(jiǎn)得/一16才-16 = 0，解得才=8±赤(負(fù)根舍去BE AD&#

7、163; f-25一(2)奇PEB -MDB .同理得此時(shí)，無(wú)解。綜合上述：當(dāng)r = -2+2在、/=£ + 4君時(shí)，以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與WEB相，3.如圖，過(guò)點(diǎn) A (0, 3)的直線li與x軸交于點(diǎn)B, tan/ABO=4 ,過(guò)點(diǎn)A的另一直線 S y= 4tx+b (t >0)與x軸交于點(diǎn)Q點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作PHL x軸于點(diǎn)H,設(shè)PA 5t. (1)求直線li的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè) PHQ勺面積為S (SW0),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式(要求寫(xiě)出自變量 t的 取值范圍)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的 t值

8、，使以P, H, Q為頂點(diǎn)的三角形與 AOQf似？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的t值所對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.試題分析：(1)(0,3) , BtanzABO=-工B ( 4,0 )4沒(méi)y="kX4b：將A(0,B(4,0)代入上式得 b=3 0=4k + b解得仁一:. b= ¥4，函數(shù)解析式為y=-= x + 34(2 )由B (4,0)0B = 4 .*.,0A = 3 . .AB 5 .由題苣.得二BHPrROA.,OA : OB : AB = 3 : 4 : 5 , 二HP:HB;BP=3;4;5.+/PB = 5t, AHB=4t f HP = 3

9、t .+-.0H = OB - HB = 4 -4t ,由y = - j x + 3與x軸交于點(diǎn)Q.得Q ( 4t t 0 )當(dāng)H在Q、B之間時(shí)(如圖1)QH=OH- 0Q= (4-4t) -4t = 4-8t .S;(4-8t) x3t=-12f2+6r(0<<i)當(dāng)H在。、Q之間時(shí)(如圖2)QH = OQ- 0H=4t- ( 4 - 4t) = 8t - 4 .S二:(8t - 4) 3t=12r:<r<l)(3 )存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與MOQ相似當(dāng)H在Q B之間tl = ,或#tz= W -1 , P2(8-4723(2-3)“8 32當(dāng)H在O

10、* Q之間257 75t3=M .得或笥4 = l'P4(02當(dāng)H在B的右側(cè)It5=l, P5 ( 8 , - 3 )，.CTOAACAB4.如圖，點(diǎn)A是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B的坐標(biāo)為(0, 4),將線段AB的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得 點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為 F,過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線與直線 CF相交于點(diǎn)E,點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)，連接AG BC CD設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t .(1)線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系是位置關(guān)系是(2)當(dāng)t=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn) C落在線段BD上？求出此時(shí)點(diǎn) C的坐標(biāo)；(4)設(shè) BCE的面積為S,求S與t之間的

11、函數(shù)關(guān)系式.試題分析：(1 ) ,，如圖,將線段A日的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蚴?#39;/AB-2AC r zBAC-M4,./.ABXAC .故智案是:AB=2AC . A8-LAC ;(2 )由題意,易證RhACF-RhBAO ,1?AB=2AM=2AC ,1CF= - 0A=-22(3)由(1)知,RtACF-RtBAO , AF AC a _一一fOB AB;.AF=- 0B=2 f aFD=AF=2 ,. 2,J點(diǎn)C落在線段BD上,”DC1DB。，金更，即卜2 .OB °。 寧前整理得16=0解得t二2出_ 2的2a - 2 (不合題意,舍去) 工當(dāng)t=2瓶- 2時(shí)，點(diǎn)C落

12、在線段BD上.此時(shí).CF= ： t二店-1 ,0F=t+2= 2-y5 .八點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2質(zhì)* T+曲)：(4)當(dāng)0«乜8時(shí)，如題圖1所示：S=1bECE=t ( t+2 )(4 右)二-4t2嗑+4 ； 心口！EhT：乙當(dāng)t則，如答圖1簡(jiǎn)：C£=CF - E忌t - 4-US=L BE*CE(t+2 ) ( - t *4 ) = - t2 - - t - 4 ;22242如答圖2 r當(dāng)點(diǎn)占點(diǎn)E重合時(shí)，CF=0B=4 ,可得t=OA=8 ,此時(shí)S=0. y5.如圖，拋物線y=1x2+3x2交x軸于A, B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,分別過(guò)點(diǎn)B, C作y 42軸

13、，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D,將 BDCg點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到 FEC,連接BF.（1）求點(diǎn)B, C所在直線的函數(shù)解析式；（2）求 BCF的面積；（3）在線段BC上是否存在點(diǎn) 巳 使得以點(diǎn)P, A, B為頂點(diǎn)的三角形與 BOCffi似？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.試題解析：（1）當(dāng)y=0時(shí),->2+4 x-2=G, 42解得乂工=2 . x?=4 ,:點(diǎn)4 , B 的別為（2,0） , （4,0） .當(dāng)K=0時(shí).y= - 2 ,，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0, -2） ff 5二一2設(shè)直線K的解析式為y，kx+b （匕0）,則匕一工八 4/l c?

14、= U.5.坦_愿CO=OB解得 2.5 二一二 X的解隘為V= i x - 3 ;（2 ） vCDlixte,8D：iv軸, .1.zECD=900 .；點(diǎn)B.C的坐標(biāo)分別為（4.0） . （0, -2）,，BC= J* = ,4* + 2'=2 5 *.FEC是由二BDC繞點(diǎn)C逆雄十?dāng)〉玫剑?quot;BCF的面積二? BCFC=： *2# *2 出=10 ; M（3 ）存在.分兩種情況討論：過(guò)A作AP_lx軸交線段BC于點(diǎn)P1，則lBAPiB。J，,點(diǎn)A的坐際為（2,0 ）,點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)是2.7點(diǎn)正在點(diǎn)BC所在直打.?-y= 7 x ' 2二 - 2= - 1 ,點(diǎn)取的坐標(biāo)為（2,-1）；過(guò)A作APaBC ,垂足點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)Pz