第07節(jié)可降階的高階微分方程

1、 一、引言一、引言 二、二、 型方程的求解型方程的求解 三、三、 型方程的求解型方程的求解 )()(xfyn),(yxfy 四、四、 型方程的求解型方程的求解 ),(yyfy 華南理工大學數(shù)學科學學院華南理工大學數(shù)學科學學院 楊立洪楊立洪 博士博士一、引言一、引言 二階或二階以上的微分方程，統(tǒng)稱為二階或二階以上的微分方程，統(tǒng)稱為高階微高階微我們在本章只介紹一些特殊類型的高階微分方程的我們在本章只介紹一些特殊類型的高階微分方程的求解方法。求解方法。2.降階，而且要求降階后能求解。降階，而且要求降階后能求解。求解方法。求解方法。1.根據(jù)高階微分方程本身的特殊性，尋找直接的根據(jù)高階微分方程本身的特殊

2、性，尋找直接的兩條思路：兩條思路：程困難得多。程困難得多。一般來說，求解高階微分方程比一階微分方一般來說，求解高階微分方程比一階微分方分方程。分方程。n階微分方程：階微分方程： ；,)1()(nnyyyxfy特殊類型：特殊類型： （只含（只含x）)()(xfyn二階微分方程：二階微分方程： ；),(yyxfy 特殊類型：特殊類型： （不顯含（不顯含 ）yy,)(xfy （不顯含（不顯含 ）y),(yxfy （不顯含（不顯含 ） x),(yyfy （關(guān)于線性）（關(guān)于線性）)()()(xfyxqyxpy 二、二、 型方程的求解型方程的求解)()(xfyn特征：右端只含自變量特征：右端只含自變量x

3、反復積分反復積分n次，直至求出未知函數(shù)次，直至求出未知函數(shù) ，即：，即：y標準型：標準型： ； （1）)()(xfyn ；1)1()(cdxxfyn ； 21)2()(cxcdxdxxfyn每積分一次，增加一個任意常數(shù)，積分每積分一次，增加一個任意常數(shù)，積分n n次，共有次，共有n n個個任意常數(shù)。任意常數(shù)。 注注解法：解法：先介紹先介紹 型方程求解的例題。型方程求解的例題。)()(xfyn 122sin21coscxedxxeyxxdxcxeyx12sin21dxcxcxeyx212cos41是原方程的通解，其中，是原方程的通解，其中， 是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。321,ccc三、例題（三、例

4、題（i i）322122sin81cxcxcxex，212cos41cxcxex，解解例例1 1 求三階微分方程求三階微分方程 的通解。的通解。xeyxcos2 例例2 2 設(shè)設(shè) ，求，求 。yxxy sin)4( dxcxxy)21cos(12dxcxcxxy21361sindxcxcxcxxy322142241cos4322315261201sincxcxcxcxx。322142241coscxcxcxx，解解21361sincxcxx， 1221cos)(sincxxdxxxy，設(shè)設(shè) ，由牛頓第二定律，得，由牛頓第二定律，得)(txx)(22tfdtxdm又又 均勻減少，均勻減少，)(t

5、fttfktftf1)(00例例3 3 質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點受力的質(zhì)點受力f的作用沿的作用沿 軸作直線運軸作直線運動，設(shè)力動，設(shè)力f僅是時間的函數(shù)：僅是時間的函數(shù)： ； 時，時， ；隨隨t增加，力增加，力f均勻地減少；直到時均勻地減少；直到時 ， 。如果開始時質(zhì)點位于原點，初速度為如果開始時質(zhì)點位于原點，初速度為0，求質(zhì)點的，求質(zhì)點的運動規(guī)律。運動規(guī)律。ox)(tff 0t0ff tt 0)(tf解解ttmfdtxd1022, 0|0tx0|0tdtdxdtttmfdtdx101202ctttmfdtctttmfx1202（通解）（通解）2132062ctctttmf再由初始條件求得，故質(zhì)點的

6、運動規(guī)律為再由初始條件求得，故質(zhì)點的運動規(guī)律為 tttmfx62320tt 0，標準型：標準型： (2),(yxfy 令令 則則 ，代入，得，代入，得),(xpy dxdpdxdydxdy ),(pxfdxdp四、四、 型方程的求解型方程的求解),(yxfy 特征：右端不含特征：右端不含y于一階微分方程中的四種特殊情形之一，而且能求于一階微分方程中的四種特殊情形之一，而且能求該方程是關(guān)于該方程是關(guān)于pp(x)的一階微分方程，假如它屬的一階微分方程，假如它屬解法：解法：出其解為出其解為 ，則有，則有),(1cxp),(1cxdxdy21),(cdxcxy為所求通解。為所求通解。于是再解一個一階微

7、分方程，可得于是再解一個一階微分方程，可得 下面介紹下面介紹 型的方程求解的例題。型的方程求解的例題。),(yxfy 例例4 4 設(shè)設(shè) ， ， ，求特解。，求特解。yxyx 2)1 (21|0 xy3|0 xy設(shè)設(shè) ，則，則 ，代入得，代入得)(xpy dxdpy 212xxpdxdp五、例題（五、例題（iiii）12ln)1ln(lncxp，這是可分離變量方程，利用分離變量法，得這是可分離變量方程，利用分離變量法，得解解將將 ， 代入得代入得 ， ，1|0 xy3|0 xy31c12c 所求特解為所求特解為 。133xxy即即 或或 ，)1 (21xcp)1 (21xcdxdy23121)3

8、()1 (cxxcdxxcy這是一個一階微分方程。這是一個一階微分方程。 例例5 5 解方程解方程 .yyyx ln令令 ，則，則 ，代入得，代入得)(xpy dxdpy xdxppdpln ，即，即1lnln)ln(lncxpxcep1 為所求通解為所求通解.21111cecdxeyxcxc解解標準型：標準型： (3),(yyfy 令令 則則)(ypy = ，代入得，代入得dxdydydpdxydpy )(dydpp),(pyfdydpp特征：右端不含特征：右端不含x六、六、 型方程的求解型方程的求解),(yyfy 解法：解法：該方程是該方程是 關(guān)于的一階微分方程。如果關(guān)于的一階微分方程。如

9、果)(ypp并能求出其解并能求出其解 ，則，則),(1cyp 為通解。為通解。 dxcydy),(1),(1cydxdp ,這也是一階微分方程；這也是一階微分方程；它屬于一階微分方程中的四種特殊類型之一，它屬于一階微分方程中的四種特殊類型之一，下面介紹下面介紹 型方程的求解的例題。型方程的求解的例題。),(yyfy 令令 ，則，則 ，代入得，代入得)(ypy dydppy 當當 時，即時，即 ，有，有 ；0p0 ycy 當當 時，得時，得 ,0pydypdp七、例題（七、例題（iiii）02pdydppy；解解例例6 6 解方程解方程 .02 yyy ，即，即 ；1lnlnlncypycp1

10、，或，或 ycdxdy1dxcydy1解之得：解之得： ，故通解為，故通解為 .21lnlncxcyxcecy12例例7 7 解方程解方程 .yyy212 令令 ，則，則 ，代入得，代入得)(ypy dydppy 故故 ，12lnln)1ln(cyp112ycdxdy 解之得解之得 dxdyyc11121112cxycc22121)() 1(4cxycc故通解為故通解為dyydppp1122，解解 本節(jié)主要內(nèi)容如下：本節(jié)主要內(nèi)容如下：1 型方程的求解；型方程的求解；)()(xfyn2 型方程的求解；型方程的求解；),(yxfy 方法：積分變換，令方法：積分變換，令 則則 ，),(xpy dxd

11、pdxdydxdy 代入，得代入，得 ，轉(zhuǎn)化為一階微分方程。，轉(zhuǎn)化為一階微分方程。),(pxfdxdp3 型方程的求解；型方程的求解；),(yyfy 關(guān)鍵：積分變換，令關(guān)鍵：積分變換，令 ，則，則)(ypy dxdydydpdxydpy )(= ，代入得，代入得 ，轉(zhuǎn)化為關(guān)于，轉(zhuǎn)化為關(guān)于dydpp),(pyfdydpp)(ypp小結(jié)：小結(jié)：的一階微分方程去求解。的一階微分方程去求解。方法：逐步積分方法：逐步積分n次，降階。次，降階。 本節(jié)重點介紹降階法：對兩種可降階的本節(jié)重點介紹降階法：對兩種可降階的對對 型方程的求解，其求解方法型方程的求解，其求解方法)()(xfyn 本節(jié)難點在本節(jié)難點在

12、中，令中，令 ，),(yyfy )(ypy 有有 ，如何理解？見輔導。，如何理解？見輔導。dydppy 重點：重點：難點：難點：本質(zhì)上也是降階法本質(zhì)上也是降階法 : 逐步積分逐步積分n次，降階。次，降階。代換，轉(zhuǎn)化為一階微分方程來求解。代換，轉(zhuǎn)化為一階微分方程來求解。二階微分方程的求解問題，采用相應的變量二階微分方程的求解問題，采用相應的變量 1 型方程的求解；型方程的求解；)()(xfyn2 型方程的求解；型方程的求解；),(yxfy 3 型方程的求解；型方程的求解；),(yyfy 主要題型：主要題型： 降階法是一種數(shù)學思想方法，將高階方程降降階法是一種數(shù)學思想方法，將高階方程降學習方法建議

13、：學習方法建議：后利用已知求解方法去求解。后利用已知求解方法去求解。階，可以化難為易，化新題型為熟悉的題型，然階，可以化難為易，化新題型為熟悉的題型，然 1為什么為什么 中，令中，令 降階，要降階，要用用 ，而不用，而不用 呢？呢？),(yyfy )(ypy dydppy dxdpy 因因 中不顯含自變量中不顯含自變量 x，令，令),(yyfy ，再用，再用 ，可將原方程化為僅含，可將原方程化為僅含)(ypy dydppy 反之，若用反之，若用 去代換，則得到去代換，則得到dxdpy ),(pyfdxdp學習輔導：學習輔導：這就出現(xiàn)了三個變量，這就出現(xiàn)了三個變量，x,y與與p，仍然不便于積分。

14、，仍然不便于積分。),(pyfdydp關(guān)于關(guān)于p和和y的一階微分方程：的一階微分方程：答：答：2 是怎樣導出的？是怎樣導出的？dydppy dydppdxdydydpdxdpdxdydxddxydy 22 . .答：答： 用復合函數(shù)求導法即可導出：用復合函數(shù)求導法即可導出： 1解方程：解方程： ;12)1 (2 yxyx2解方程：解方程： ； ， yy3 1)0(y2)0( y課堂練習課堂練習答案答案1解：解：這屬于這屬于 型；型；),(yxfy 令令 ，則，則 ，代入得，代入得)(xpy dxdpy 即即 ；221112xpxxdxdp課堂練習題解課堂練習題解這是一階線性方程，由公式得這是一

15、階線性方程，由公式得1212 xpdxdpx，1122122211cdxexepdxxxdxxx11ln21ln2211cdxexexx2112111xcxcxx212211ln211carctgxcxdxxcxy返回2解解這屬于這屬于 型；型；yyfy ,令令 代入得代入得 dydppyypy 則，將將 代入上式得代入上式得 ，所以，所以2)0(, 1)0(py01c故所求特解為故所求特解為 。1241xy2412cxy ，代入，代入y(0)=1得得c21，342ypy（舍去負根），（舍去負根），12324,3cypydydpp；返回1求求 的通解。的通解。2試求試求 的經(jīng)過點的經(jīng)過點m（0

16、，1）且在此點）且在此點與直線與直線 相切的積分曲線。相切的積分曲線。3求微分方程求微分方程 滿足初始條滿足初始條件件 的特解。的特解。4解方程解方程 .5解方程解方程 .xxey xy 12xy012 yxyx 10, 00yy012 yyy02 yyy自測題自測題答案123451解解 1cexedxxeyxxx2112cxcexedxcexeyxxxx322121232cxcxcexedxcxcexeyxxxx自測題解自測題解返回2解：解： 122cxy2131262cxcxdxcxy故所求曲線故所求曲線 .12163xxy1,21,21, 12100ccyyxx得由題設(shè)：由題設(shè)： ;返回3解：解：令令 ，原方程化為，原方程化為 dxdpyxpy 則,分離變量后并積分得分離變量后并積分得 ;21211xcpxyarc