空間幾何體的結(jié)構(gòu)(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上空間幾何體的結(jié)構(gòu)【知識要點(diǎn)】1簡單空間幾何體的基本概念：(1)(2)特殊的四棱柱：(3)其他空間幾何體的基本概念：幾何體基本概念正棱錐底面是正多面形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心正棱臺正棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面間的幾何體是正棱臺圓柱以矩形的一邊所在的直線為軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體圓錐以直角三角形的一邊所在的直線為軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體圓臺以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體球面半圓以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)而成的曲面球球面所圍成的幾何體2簡單空間幾何體的基本性質(zhì)：幾何

2、體性質(zhì)補(bǔ)充說明棱柱(1)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對角面)是平行四邊形(1)直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面及對角面都是矩形(2)長方體一條對角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和正棱錐(1)側(cè)棱都相等，側(cè)面是全等的等腰三角形(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個(gè)直角三角形球(1)球心和球的截面圓心的連線垂直于截面(2)球心到截面的距離d，球的半徑R，截面圓的半徑r滿足(1)過球心的截面叫球的大圓，不過球心的截面叫球的小圓(2)在球面上，兩點(diǎn)之間的最短

3、距離，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度(兩點(diǎn)的球面距離)3簡單幾何體的三視圖與直觀圖：(1)平行投影：概念：如圖，已知圖形F，直線l與平面a 相交，過F上任意一點(diǎn)M作直線MM1平行于l，交平面a 于點(diǎn)M1，則點(diǎn)M1叫做點(diǎn)M在平面a 內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面a 內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F1，則F1叫圖形F在a 內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影平面a 叫投射面，直線l叫投射線平行投影的性質(zhì)：性質(zhì)1直線或線段的平行投影仍是直線或線段；性質(zhì)2平行直線的平行投影是平行或重合的直線；性質(zhì)3平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；性質(zhì)4與投射面平行的平面圖形，它的

4、投影與這個(gè)圖形全等；性質(zhì)5在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比(2)直觀圖：斜二側(cè)畫法畫簡單空間圖形的直觀圖(3)三視圖：正投影：在平行投影中，如果投射線與投射面垂直，這樣的平行投影叫做正投影三視圖：選取三個(gè)兩兩垂直的平面作為投射面若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做主視圖；和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖將空間圖形向這三個(gè)平面做正投影，然后把三個(gè)投影按右圖所示的布局放在一個(gè)水平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫空間圖形的三視圖畫三視

5、圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”4簡單幾何體的表面積與體積：(1)柱體、錐體、臺體和球的表面積：S直棱柱側(cè)面積ch，其中c為底面多邊形的周長，h為直棱柱的高，其中c為底面多邊形的周長，h為正棱錐的斜高，其中c，c分別是棱臺的上、下底面周長，h為正棱臺的斜高S圓柱側(cè)面積2pRh，其中R是圓柱的底面半徑，h是圓柱的高S圓錐側(cè)面積pRl，其中R是圓錐的底面半徑，l是圓錐的母線長S球4pR2，其中R是球的半徑(2)柱體、錐體、臺體和球的體積：V柱體Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高，其中S，S分別是臺體的上、下底面的面積，h為臺體的高，其中

6、R是球的半徑【例題分析】例1 如圖，正三棱錐PABC的底面邊長為a，側(cè)棱長為b ()證明：PABC；()求三棱錐PABC的表面積；()求三棱錐PABC的體積【分析】對于()只要證明BC(PA)垂直于經(jīng)過PA(BC)的平面即可；對于()則要根據(jù)正三棱錐的基本性質(zhì)進(jìn)行求解證明：()取BC中點(diǎn)D，連接AD，PDPABC是正三棱錐，ABC是正三角形，三個(gè)側(cè)面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形D是BC的中點(diǎn)，BCAD，且BCPD，BC平面PAD，PABC()解：在RtPBD中，三個(gè)側(cè)面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形，三棱錐PABC的側(cè)面積是ABC是邊長為a的正三角形，三棱錐PABC的底面

7、積是三棱錐PABC的表面積為()解：過點(diǎn)P作PO平面ABC于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是正ABC的中心，在RtPOD中，三棱錐PABC的體積為【評述】1、解決此問題要求同學(xué)們熟悉正棱錐中的幾個(gè)直角三角形，如本題中的RtPOD，其中含有棱錐的高PO；如RtPBD，其中含有側(cè)面三角形的高PD，即正棱錐的斜高；如果連接OC，則在RtPOC中含有側(cè)棱熟練運(yùn)用這幾個(gè)直角三角形，對解決正棱錐的有關(guān)問題很有幫助2、正n(n3，4，6)邊形中的相關(guān)數(shù)據(jù)： 正三角形正方形正六邊形邊長aaa對角線長長：2a；短：邊心距面積a2外接圓半徑a例2 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)()求證：平面BEC1平面ACC1

8、A1；()求證：AB1平面BEC1【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考證明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()證明：連接B1C，設(shè)BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中點(diǎn)， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC1例3 在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8，

9、()設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD；()求四棱錐PABCD的體積【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動點(diǎn)分析知，MB，MD隨點(diǎn)M的變動而運(yùn)動，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動”的直線BD是否垂直平面PAD證明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：過P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO為四棱錐PABCD的高，又PAD是邊長為4的等邊

10、三角形因此在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為故例4 如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖它的主視圖和左視圖在下面畫出(單位：cm)()畫出該多面體的俯視圖；()按照給出的尺寸，求該多面體的體積；()在所給直觀圖中連結(jié)BC，證明：BC平面EFG【分析】畫三視圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”，根據(jù)此原則及相關(guān)數(shù)據(jù)可以畫出三視圖證明：()該幾何體三視圖如下圖：()所求多面體體積()證明：在長方體ABCDA'B'C

11、9;D'中，連結(jié)AD'，則AD'BC'因?yàn)镋，G分別為AA'，A'D'中點(diǎn)， 所以AD'EG，從而EGBC '又BC'平面EFG， 所以BC'平面EFG例5 有兩個(gè)相同的直三棱柱，底面三角形的三邊長分別是3a，4a，5a，高為，其中a0用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的一個(gè)是四棱柱，求a的取值范圍 解：直三棱柱ABCA1B1C1的三個(gè)側(cè)面的面積分別是6，8，10，底面積是6a2，因此每個(gè)三棱柱的表面積均是2×6a2681012a224情形：將兩個(gè)直三棱柱的底面重合拼在一

12、起，只能拼成三棱柱，其表面積為：2×(12a224)2×6a212a248情形：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面ABB1A1重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面積一定是：2×(12a224)2×824a232情形：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面ACC1A1重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面積一定是：2×(12a224)2×624a236情形：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面積為：2×(12a224)2×1024a228在以上四種情形中，、的結(jié)果都比大，所以

13、表面積最小的情形只能在、中產(chǎn)生依題意“表面積最小的一個(gè)是四棱柱”，得24a22812a248，解得所以a的取值范圍是例6 在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求三棱錐FA1ED1的體積 【分析】計(jì)算三棱錐FA1ED1的體積時(shí)，需要確定錐體的高，即點(diǎn)F到平面A1ED1的距離，直接求解比較困難利用等積的方法，調(diào)換頂點(diǎn)與底面的方式，如，也不易計(jì)算，因此可以考慮使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法求解解法1：取AB中點(diǎn)G，連接FG，EG，A1GGFADA1D1，GF平面A1ED1，F(xiàn)到平面A1ED1的距離等于點(diǎn)G到平面A1ED1的距離解法2：取CC1中點(diǎn)H，連接FA1，F(xiàn)D1，

14、FH，F(xiàn)C1，D1H，并記FC1D1HKA1D1EH， A1D1EH，A1，D1，H，E四點(diǎn)共面A1D1平面C1CDD1，F(xiàn)CA1D1又由平面幾何知識可得FC1D1H，F(xiàn)C平面A1D1HEFK的長度是點(diǎn)F到平面A1D1HE(A1ED1)的距離容易求得練習(xí)72一、選擇題：1將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為( )(A)2p(B)4p(C)8p(D)16p2如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是( )(A)9p(B)10p(C)11p(D)12p3有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為4 cm，高為12 cm現(xiàn)要為100個(gè)這種相同規(guī)格的筆筒涂色(筆筒

15、內(nèi)外均要涂色，筆筒厚度忽略不計(jì))如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m2，那么為這批筆筒涂色約需涂料( )(A)1.23 kg(B)1.76 kg(C)2.46 kg(D)3.52 kg4某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則ab的最大值為( )(A)(B)(C)4(D)二、填空題：5如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的每條棱長均為2，E、F分別是BC、A1C1的中點(diǎn)，則EF的長等于_6將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD1，則三棱錐DABC的體積是_7一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為_8平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件：_；充要條件：_(寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件)三、解答題：9如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)(