用空間向量解決空間中“夾角”問題

1、利用空間向量解決空間中的“夾角”問題學習目標 ：1.學會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量方法；2.能夠應用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題；3.提高分析與推理能力和空間想象能力。重點 ：利用空間向量解決空間中的“夾角”難點 ： 向量夾角與空間中的“夾角”的關系一、復習引入1用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意

2、義。（回到圖形）2向量的有關知識：（1）兩向量數(shù)量積的定義：abO（2）兩向量夾角公式：（3）平面的法向量：與平面垂直的向量二、知識講解與典例分析知識點1：異面直線所成的角（范圍：）（1）定義：過空間任意一點o分別作異面直線a與b的平行線a´與b´，那么直線a´與b´ 所成的銳角或直角，叫做異面直線a與b 所成的角.（2）用向量法求異面直線所成角設兩異面直線a、b的方向向量分別為和，問題1： 當與的夾角不大于90°時，異面直線a、b 所成的角與 和 的夾角的關系？ 問題 2：與的夾角大于90°時，異面直線a、b 所成的角與 和的夾角的

3、關系？ 結論：異面直線a、b所成的角的余弦值為ABCA1B1C1xyZD例1如圖，正三棱柱的底面邊長為,側棱長為，求和所成的角.解法步驟：1.寫出異面直線的方向向量的坐標。 2.利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角。解：如圖建立空間直角坐標系，則 ， 即和所成的角為知識點2、直線與平面所成的角（范圍：）（圖1）思考：設平面的法向量為，則與的關系？（圖2）據(jù)圖分析可得：結論：例2、如圖，正三棱柱的底面邊長為,側棱長為，求和所成角的正弦值.分析：直線與平面所成的角步驟： 1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個向量的夾角，(銳角)其余角為所求角ABCA1B1C1xyZD解：如圖建立空間直角坐標系，則 設平面的法向量為 由取，和所成角的正弦值.知識點3：二面角（范圍：）ll結論： 或歸納：法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.例3、如圖，是一直角梯形，面，求面與面所成二面角的余弦值.解：如圖建立空間直角坐標系，則 易知面的法向量為 設面的法向量為，則有 ，取，得， 又方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進一出”的情況，二面角等于法向量夾角 即所求二面角的余弦值為.三、課堂小結 1異面直線所成的角： 2直線和平面所成的角： 3二面角：.四、小試牛刀 1：正方體的棱長為1，點、分別為、的中