2015年新課標(biāo)1卷文科數(shù)學(xué)高考真題及答案

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新課標(biāo)1卷)文一、選擇題：每小題 5分，共60分1、已知集合 A x|x 3n 2,n N, B 6,8,10,12,14,則集合AI B中的元素個(gè)數(shù)為(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2uurumr2、已知點(diǎn) A(0,1), B(3,2)，向量 AC ( 4, 3),則向量 BC(A) ( 7, 4)(B) (7,4)(C) ( 1,4)(D) (1,4)3、已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z 1)i 1 i ,則z ()(A)2 i (B)2 i(C) 2 i(D) 2 i4、如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這 3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,

2、3, 4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這 3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()3111(A) (B) (C) (D)10510205、已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為1 , E的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn) C:y2 8x的焦點(diǎn)重合,2A,B是C的準(zhǔn)線(xiàn)與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則 AB(A) 3(B) 6(C) 9(D) 126、九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著， 書(shū)中有如下問(wèn)題： 今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn) ”積及為米幾何”其意思為： 在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少 已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3,

3、估算出堆放的米約有()(A) 14 斛(B) 22 斛(C) 36 斛(D) 66 斛7、已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S8 4S4,則a10(A)17219 (B)2(C) 10(D) 128、函數(shù)f(x) cos( x )的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(A) (k(B )1 ,k4(2 k3 ),k Z413,2k),k Z44C )(k 4,k 41,k Z (D) (2k ,2k43)，k Z49、執(zhí)行右面的程序框圖， 如果輸入的t 0.01,則輸出的n12、設(shè)函數(shù)yf (x)的圖像與y2x a的圖像關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)，且f( 2) f ( 4)

4、1 ,貝U a ( ) (A)1(B) 1(C) 2(D) 4、填空題：本大題共 4小題,每小題5分13、數(shù)列an中a12,an12an,Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sn126,則n14. f x3ax3 x 1的圖像在點(diǎn)1,f 1的處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)2,7，則a15.若x,y滿(mǎn)足約束條件x 2y 1 0，則z=3x+y的最大值為216.已知F是雙曲線(xiàn)C : x2x y 2 0y- 1的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)， A 0,66 ，當(dāng) APF周 8長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 三、解答題217 .(本小題滿(mǎn)分12分)已知a,b,c分別是 ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，sin B 2sinAsinC.（I）若

5、a b,求 cosB; （II）若 B 900,且 a J2,求 ABC 的面積.18 .（本小題滿(mǎn)分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE 平面ABCD,（I）證明：平面 AEC 平面BED ;6（II）若 ABC 120°, AE EC,三棱錐E ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積. 319 .（本小題滿(mǎn)分12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量 y （單位：t）和年利潤(rùn)z （單位：千元）的影響，對(duì)近 8年的宣傳費(fèi)X和年銷(xiāo)售量y i 1,2,L ,8數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.（I）根據(jù)

6、散點(diǎn)圖判斷，y a bx與y c d JX ,哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量 y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x, y的關(guān)系為z 0.2y x ,根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少（ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大2220 .（本小題滿(mǎn)分12分）已知過(guò)點(diǎn)A 1,0且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C： x 2 y 31uuur uuur交于M, N兩點(diǎn).（I）求k的取值范圍；（II）若OM ON 12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)

7、，求MN21 .（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù)f xe2x aln x.2（I）討論f x的導(dǎo)函數(shù)f x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（II）證明：當(dāng)a 0時(shí)f x 2a aln-.a請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)22 .（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1:幾何證明選講如圖ab是eo直徑，ac是eo切線(xiàn)，bc交e O與點(diǎn)Eif、（I）若D為AC中點(diǎn)，證明：DE是eO切線(xiàn)；J上%（II）若OA <3CE ,求 ACB的大小.23 .（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)C1：x2,/C2： x 1 y 21,以坐標(biāo)

8、原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 .（I）求C1,C2的極坐標(biāo)方程（II）若直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為R，設(shè)C2,C3的交點(diǎn)為M ,N求C2MN的面積.24.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5 :不等式選講633x已知函數(shù)fx x 1 2 x a , a 0（I）當(dāng)a 1時(shí)求不等式f x 1的解集;(II)若f x的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.一、 D A C C B B B(8) D (9) C (10) A (11) B (12) C二、 填空題(13) 6(14) 1(15) 4(16) 12y617、解：（I）由題設(shè)及正弦定理可得b2 =2ac.又a=b,可得2a

9、cosB=22c b 1=2ac 4（II）由（I）知 b2=2ac. 因?yàn)锽=90°,由勾股定理得 a2 c2=b2.故a2 c2=2ac ,的c=a= V2 .所以 ABC的面積為1.12分18、解：（I）因?yàn)樗倪呅?ABC陰菱形，所以 AC!BD.因?yàn)锽已平面 ABCD所以AC! BE,故AC平面BED.又AC 平面AEC所以平面 AECL平面 BED.5分EG=x.2(II)設(shè)AB=x,在菱形 ABCD中，又/ ABC=120o ,可得AG=GC13x, GB=GD=-.因?yàn)?AE± EC,所以在 RtAEC中，可的 22由通平面ABCD知田砂直角三角開(kāi)可得BE=2

10、2x.由已知得，三棱錐 E-ACD的體積VE ACD = X , AC GD - BE= 3224故X=2從而可得AE=EC=ED=6 .所以 EAC的面積為3, EAD的面積與 ECD的面積土勻?yàn)?、?故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2 5 .12分1 k219、解：（I）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+dJX適宜作為年銷(xiāo)售量 y關(guān)于年宣傳費(fèi)X的回歸方程式類(lèi)型.（II）令w %反，先建立y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程式.由于8) (w w)(y y) d= i1d82(w w)i 1108.8 68,1.6563 68 6.8100.6 ，所以y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程為 y=100.6 68w，因此y關(guān)于x

11、的回歸方程為（出）（i）由（II）知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值y 100.6 68'49=576.6 ,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值Z=576.6 0.2 49 66.329分（ii）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值Z=0.2（100.6+68 x）-x=-x 13.6 x 20.12 .所以當(dāng) & 里6=6.8 ,即x=時(shí)，Z取得最大值.2故年宣傳費(fèi)為千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分2k 3 120、解：（I）由題設(shè)，可知直線(xiàn)l的方程為y kx 1.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以 1.1 k2解得 ，一 47 47所以k的取值氾圍為 （,）.5分3322.(II)設(shè)M Oy ,

12、 Nd*).將y kx 1代入方程(x 2) (y 3)1,整理得(1 k2)x2 4(1 k)x 7 0.所以 x1 x2 4(1 k),x1x2 -y.4k 1 k8.1 k21 k22,OM ON c1x2 y1y2 1kxix2 kxi x21由題設(shè)可得4k 1 k1 k28=12,解得k=1,所以l的方程是y=x+1.故圓心C在l上，所以|MN| 2.12分2x a21、解： f x的定義域?yàn)?0, f x 2e (x0).x當(dāng)aw0時(shí)，f x 0, f x沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a 0時(shí)，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，a單調(diào)遞減，所以f x在0,單調(diào)遞增，又f a 0,xa1當(dāng)b滿(mǎn)足0vbv巴且bv時(shí)，

13、f (b) 0,故當(dāng)a <0時(shí)f x存在唯一零點(diǎn). 6分44(II)由(I),可設(shè)f x在0,的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x 0, x0時(shí)，f x V0;當(dāng) x x0,時(shí)，f x >0.故f x在0,單調(diào)遞減，在 x0,單調(diào)遞增，所以x x0時(shí)，f x取得最小值，最小值為 f Xo .由于2e2x0 0 ,所以f x0Xoa2xo- 2 -2ax0 a1n 2aaa1n2.a故當(dāng)a 0時(shí)，f x-/ 22a a1n a12分23、解：因?yàn)閤cos , ysin,所以Ci的極坐標(biāo)方程為cos2,2C2的極坐標(biāo)萬(wàn)程為2 cos 4 sin 4 0.(II)將一代入 22cos 4 sin 40,得2 3后41 2,2,2 M2 .故1272,即 MN石1由于C2的半徑為1,所以 C2MN的面積為一.10分224、解：當(dāng) a 1時(shí)，f x 1 化為 x 1| 2|x 1 1>0.當(dāng)x 1時(shí)，不等式化為 x 4>0,無(wú)解；當(dāng)1<x< 1時(shí)，不等式化為3x 2>0,解得2<x< 1；3當(dāng)X