數(shù)值分析習(xí)題與答案

1、1 / 31 第一章緒論習(xí)題一1. 設(shè) x0,x* 的相對誤差為，求 f(x)=ln x的誤差限。解：求 lnx 的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相對誤差滿足，而，故即2. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限和相對誤差限。解：直接根據(jù)定義和式(1.2.2)(1.2.3)則得有5 位 有 效 數(shù) 字 ， 其 誤 差 限， 相 對 誤 差 限有 2 位有效數(shù)字，有 5 位有效數(shù)字，3. 下列公式如何才比較準(zhǔn)確？（1）（2）2 / 31 解：要使計算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。（1）（2）4.

2、 近似數(shù) x*=0.0310,是 3 位有數(shù)數(shù)字。5. 計算取，利用： 式計算誤差最小。四個選項：第二、三章插值和函數(shù)逼近習(xí)題二、三1. 給定的數(shù)值表用線性插值和二次插值計算ln0.54的近似值并估計誤差限. 解： 仍可使用 n=1 及 n=2 的 lagrange 插值或 newton 插值 ,并應(yīng)用誤差估計（5.8 ） 。線性插值時，用0.5 及 0.6 兩點(diǎn)，用 newton 插值誤差限，因3 / 31 ，故二次插值時，用0.5 ，0.6 ，0.7 三點(diǎn)，作二次newton 插值誤差限，故2. 在- 4x4 上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過，函數(shù)表的步長h

3、應(yīng)取多少 ? 解：用誤差估計式（5.8 ） ，令因得4 / 31 3. 若，求和. 解：由均差和導(dǎo)數(shù)關(guān)系于是4. 若互異，求的值，這里pn+1.解 ：，由 均 差對 稱 性可知當(dāng)有而當(dāng) pn1 時于是得5. 求證 . 解：解：只要按差分定義直接展開得5 / 31 6. 已知的函數(shù)表求出三次 newton 均差插值多項式， 計算 f(0.23)的近似值并用均差的余項表達(dá)式估計誤差. 解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表由式 (5.14) 當(dāng) n=3 時得 newton 均差插值多項式n3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0

4、.23) n3(0.23)=0.23203 由余項表達(dá)式 (5.15) 可得由于7. 給定 f(x)=cosx的函數(shù)表6 / 31 用 newton 等距插值公式計算cos 0.048及 cos 0.566的近似值并估計誤差解：先構(gòu)造差分表計算，用 n=4 得 newton 前插公式誤差估計由公式（5.17 ）得其中計算時用newton后插公式（5.18)7 / 31 誤差估計由公式（5.19 ）得這里仍為 0.565 8求 一 個 次 數(shù) 不 高 于 四 次 的 多 項 式p(x),使 它 滿 足解：這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡單為宜。此處可先造使它滿足，顯然，再令p(x)=x2(2

5、-x)+ax2(x-1)2 由 p(2)=1 求出 a ，于是9. 令稱為第二類chebyshev 多項式，試求 的表達(dá)式，并證明是 -1,1 上帶權(quán)的正交多項式序列。解：因8 / 31 10. 用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗(yàn)公式， 使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計算均方誤差. 解：本題給出擬合曲線，即，故法方程系數(shù)法方程為解得最小二乘擬合曲線為均方程為9 / 31 11. 填空題(1) 滿 足 條 件的 插 值 多 項 式p(x)=( ). (2) , 則 f 1,2,3,4=( ) ，f 1,2,3,4,5=( ). (3) 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，為對應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則 ( ) ， ( ). (4) 設(shè)是

6、區(qū)間 0,1 上權(quán)函數(shù)為(x)=x的最高項系數(shù)為1 的正交多項式序列， 其中， 則( ) ，( ) 答：（1）（2）（3）（4）第 4 章數(shù) 值 積 分和數(shù)值微分習(xí)題 4 10 / 31 1. 分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合simpson 公式計算下列積分. 解本題只要根據(jù)復(fù)合梯形公式（6.11 ）及復(fù)合simpson公式（ 6.13 ）直接計算即可。對，取 n=8, 在分點(diǎn)處計算f(x)的值構(gòu)造函數(shù)表。按式（ 6.11 ）求出，按式（ 6.13 ）求得，積分2. 用 simpson 公式求積分，并估計誤差解：直接用simpson 公式（ 6.7 ）得由（ 6.8 ）式估計誤差，因，故3. 確定下列

7、求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度. (1) (2) (3) 解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。（1）令代入公式兩端并使其相等，得11 / 31 解此方程組得，于是有再令，得故求積公式具有3 次代數(shù)精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得解出得而對不準(zhǔn)確成立，故求積公式具有3 次代數(shù)精確度。（3）令代入公式精確成立，得解得，得求積公式對12 / 31 故求積公式具有2 次代數(shù)精確度。4. 計算積分，若用復(fù)合simpson 公式要使誤差不超過，問區(qū)間要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分為多少等分? 解：由

8、simpson 公式余項及得即，取 n=6，即區(qū)間分為 12 等分可使誤差不超過對梯形公式同樣，由余項公式得即取 n=255 才更使復(fù)合梯形公式誤差不超過5. 用 romberg求積算法求積分，取解：本題只要對積分使用 romberg算法（ 6.20 ） ，計算到 k3，結(jié)果如下表所示。13 / 31 于是積分，積分準(zhǔn)確值為0.713272 6用三點(diǎn) gauss-legendre 求積公式計算積分. 解：本題直接應(yīng)用三點(diǎn)gauss公式計算即可。由于區(qū)間為，所以先做變換于是本題精確值7用三點(diǎn) gauss-chebyshev 求積公式計算積分解：本題直接用gauss-chebyshev 求積公式計

9、算即于是，因 n=2, 即為三點(diǎn)公式，于是，即14 / 31 故8. 試確定常數(shù)a，b，c，及 ，使求積公式有盡可能高的代數(shù)精確度，并指出所得求積公式的代數(shù)精確度是多少 . 它是否為 gauss型的求積公式 ? 解：本題仍可根據(jù)代數(shù)精確度定義確定參數(shù)滿足的方程，令對公式精確成立，得到由（ 2） （4）得 a=c ，這兩個方程不獨(dú)立。故可令，得（5）由（ 3） （5）解得，代入（1）得則有求積公式令公式精確成立，故求積公式具有5 次代數(shù)精確度。三點(diǎn)求積公式最高代數(shù)精確度為5 次，故它是gauss型的。15 / 31 第五章解線性方程組的直接法習(xí)題五1. 用 gauss 消去法求解下列方程組. 解

10、本題是 gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。故2. 用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣 a的行列式 deta 的值解：先選列主元，2 行和 1 行交換得16 / 31 消元3 行和 2 行交換消元回代得解行列式得3. 用 doolittle分解法求的解. 解：由矩陣乘法得再由求得由解得17 / 31 4. 下述矩陣能否作doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一 ? 解 ： a中， 若a能 分 解 ， 一 步 分 解 后 ，相互矛盾，故a 不能分解，但，若 a中 1 行和 2 行交換，則可分解為lu 對 b，顯然，但它仍可分解為分解不唯一，為一任意

11、常數(shù)，且u 奇異。 c可分解，且唯一。5. 用追趕法解三對角方程組ax=b，其中解：用解對三角方程組的追趕法公式（3.1.2 ）和（ 3.1.3 ）18 / 31 計算得6. 用平方根法解方程組解：用分解直接算得由及求得7. 設(shè)，證明解：即，另一方面故8設(shè)計算 a的行范數(shù)，列范數(shù)及f-范數(shù)和 2 范數(shù)解：故9設(shè)為上任一種范數(shù)，是非奇異的，定義，證明19 / 31 證明：根據(jù)矩陣算子定義和定義，得令，因 p非奇異，故x 和 y 為一對一，于是10. 求下面兩個方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計. ，即，即解：記則的解，而的解故而由（ 3.12 ）的誤差估計得20 / 31 表明估計略大，是符合實(shí)

12、際的。11. 是非題（若 是 在末尾（）填+, 不是 填- ） ：題目中（1）若 a 對稱正定 , 則是上的一種向量范數(shù)（）（2）定義是一種范數(shù)矩陣（）（3）定義是一種范數(shù)矩陣（）（4）只要，則 a 總可分解為a=lu,其中 l 為單位下三角陣， u為非奇上三角陣（）（5） 只要， 則總可用列主元消去法求得方程組的解（）（6）若 a 對稱正定 , 則 a 可分解為，其中 l 為對角元素為正的下三角陣（）（7）對任何都有（）（8）若 a為正交矩陣，則（）答案：（1） （） （2） （） （3） （）（4） （）（5） （） （6） （） （7） （）（8） （）第六章解線性方程組的迭代法習(xí)題六1

13、. 證明對于任意的矩陣a， 序列收斂于零矩陣21 / 31 解：由于而故2. 方程組(1) 考查用 jacobi法和 gs法解此方程組的收斂性. (2) 寫出用 j 法及 gs法解此方程組的迭代公式并以計算到為止解：因?yàn)榫哂袊?yán)格對角占優(yōu)，故j 法和 gs法均收斂。（2）j 法得迭代公式是取，迭代到 18 次有g(shù)s迭代法計算公式為取22 / 31 3. 設(shè)方程組證明解此方程的jacobi 迭代法和 gauss-seidel迭代法同時收斂或發(fā)散解： jacobi迭代為其迭代矩陣，譜半徑為，而gauss-seide 迭代法為其迭代矩陣，其譜半徑為由于，故 jacobi迭代法和gauss-seidel

14、法同時收斂或同時發(fā)散。4. 下列兩個方程組ax=b，若分別用j 法及 gs法求解，是否收斂 ? 23 / 31 解： jacobi法的迭代矩陣是即，故，j 法收斂、gs法的迭代矩陣為故，解此方程組的gs法不收斂。5. 設(shè)，deta0，用,b 表示解方程組ax=f 的 j 法及 gs法收斂的充分必要條件. 解j 法迭代矩陣為，故 j 法收斂的充要條件是。gs法迭代矩陣為24 / 31 由得 gs法收斂得充要條件是6. 用 sor方法解方程組 ( 分別取 =1.03, =1,=1.1)精確解，要求當(dāng)時迭代終止，并對每一個 值確定迭代次數(shù)解：用 sor方法解此方程組的迭代公式為取， 當(dāng)時 ， 迭 代

15、5次 達(dá) 到 要 求若取，迭代 6 次得7. 對上題求出sor迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收斂速25 / 31 度 ， 并 求j法 和gs 法 的 漸 近 收 斂 速 度 . 若 要 使那么 j 法 gs法和 sor法各需迭代多少次? 解： j 法的迭代矩陣為， 故，因 a為對稱正定三對角陣，最優(yōu)松弛因子j 法收斂速度由于，故若要求，于是迭代次數(shù)對于 j 法，取 k15 對于 gs法，取 k8 對于 sor法，取 k5 8. 填空題26 / 31 (1) 要使應(yīng)滿足（） . (2) 已知方程組，則解此方程組的jacobi迭代法是否收斂（） . 它的漸近收斂速度r(b)=（） . (3) 設(shè)方程組

16、 ax=b, 其中其 j 法的迭代矩陣是 （）.gs法的迭代矩陣是（）. (4) 用 gs法解方程組，其中a 為實(shí)數(shù)，方法收斂的充要條件是a 滿足（） . (5) 給定方程組,a 為實(shí)數(shù) . 當(dāng) a滿足（） ，且 0 2 時 sor迭代法收斂 . 答: (1)(2)j法是收斂的，(3)j法迭代矩陣是，gs法迭代矩陣(4)滿足(5)滿足第七章非線性方程求根習(xí)題七1. 用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05 解使 用 二 分 法 先 要 確 定 有 根 區(qū) 間。 本 題f(x)=x2-x-1=0,因 f(1)=-1,f(2)=1,故區(qū)間 1,2為有根區(qū)間。另一根在-1,0內(nèi)，故正根在 1,2內(nèi)。

17、用二分法計算各次迭代值如表。27 / 31 其誤差2. 求方程在=1.5附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應(yīng)迭代公式. (1) ，迭代公式 . (2) , 迭代公式. (3) ，迭代公式 . 試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有 4 位有效數(shù)字的近似根解： （1）取區(qū)間且，在且，在中，則 l1，滿足收斂定理條件，故迭代收斂。（2），在中，且，在中有，故迭代收斂。（3），在附近，故迭代法發(fā)散。在迭代（ 1）及（ 2）中，因?yàn)椋?2）的迭代因子l 較小，故它比（ 1）收斂快。用（2）迭代，取，則28 / 31 3. 設(shè)方程的迭代法(1) 證明對, 均有, 其中為方程的根 . (2) 取=4, 求此迭代法的近似根，使誤差不超過,并列出各次迭代值. (3) 此迭代法收斂階是多少?證明你的結(jié)論解 ：（1 ） 迭 代 函 數(shù)， 對有，（2）取，則有各次迭代值取，其誤差不超過（3）故此迭代為線性收斂4. 給定函數(shù)， 設(shè)對一切 x,存在，而且.證明對的任意常數(shù), 迭代法均收斂于方程的根解：由于，為單調(diào)增函數(shù)，故方程的根29 / 31 是唯一的（假定方程有根） 。迭代函數(shù)，。令，則，由遞推有，即5. 用 steffensen方法計算第2 題中 (2) 、(3) 的近似根，精確到解: 在(2) 中, 令, 則有令, 得, 和第 2 題中 (2) 的結(jié)果