旋轉(zhuǎn)體體積公式

1、在傳統(tǒng)立體幾何中，各種旋轉(zhuǎn)形體的側(cè)（表）面 積和體積計(jì)算方法是各自獨(dú)立的，不便學(xué)習(xí)記 憶。本文介紹一個(gè)適用于一切旋轉(zhuǎn)形體的萬(wàn)能公 式，簡(jiǎn)單，易學(xué)，好用。一.基本概念位置。在平面內(nèi)，。我 稱1.質(zhì)量 空間圖形（點(diǎn)，線，面，體）都可以看作是空間 點(diǎn)的集合，一個(gè)具體的空間圖形包含的點(diǎn)數(shù)是有 限但不可數(shù)的。 我們把一個(gè)空間圖形包含的全部 點(diǎn)數(shù)，稱為該圖形的質(zhì)量。 由于圖形包含的點(diǎn)數(shù)不可數(shù)， 所以要用間接方式 來(lái)表示圖形的質(zhì)量。 我們可以用長(zhǎng)度來(lái)表示線的 質(zhì)量，用面積來(lái)表示面的質(zhì)量，用體積來(lái)表示體 的質(zhì)量。這就像，一堆小米的粒數(shù)是有限但不可 數(shù)的。盡管這堆小米的粒數(shù)一定有一個(gè)確切的數(shù) 字，但這個(gè)數(shù)字可能

2、我們永遠(yuǎn)也不會(huì)知道，也不 必知道，我們只需知道有幾斗幾升，或幾斤幾兩 就行了。 關(guān)于質(zhì)量概念，存在著下面的事實(shí)：空間圖形的 質(zhì)量，等于它各個(gè)部分的質(zhì)量之和 （質(zhì)量公理） 。 2.位量和重心 構(gòu)成空間圖形的點(diǎn)， 都有各自的位 點(diǎn)的位置可以用它到參考直線的距離來(lái)表示 們把構(gòu)成一個(gè)空間圖形的所有點(diǎn)的位置總和， 為該圖形的位量； 把構(gòu)成空間圖形的所有點(diǎn)的平 均位置，稱為該圖形的重心，并以它作為整個(gè)圖 形的位置。顯然，位量 =重心*總點(diǎn)數(shù)。用 W 表 示位量，用Z表示重心，用P表示質(zhì)量，上式可 以寫(xiě)成W=Z*P（1） 關(guān)于位量概念，也存在著下面的事實(shí)：空間圖形 的位量，等于它各個(gè)部分的位量之和（位量公

3、理）。3.旋轉(zhuǎn)基圖 旋轉(zhuǎn)面和旋轉(zhuǎn)體可統(tǒng)稱為旋轉(zhuǎn)形體。 用過(guò)旋轉(zhuǎn)軸 的平面截切后，得到一個(gè)軸對(duì)稱形的截面圖，我 們?nèi)⌒D(zhuǎn)軸一側(cè)的半圖作為旋轉(zhuǎn)基圖。 旋轉(zhuǎn)面的 基圖是線，旋轉(zhuǎn)體的基圖是由閉合的線圍成的 面。二.平面圖形的位量和重心 要使用萬(wàn)能公式，需先計(jì)算旋轉(zhuǎn)基圖的位量，筆 者提供以下判斷和計(jì)算平面圖形的位量和重心 的方法：1. 形狀規(guī)則圖形的重心是它的幾何中心。如圓， 正多邊形，中心對(duì)稱圖形等。2. 軸對(duì)稱圖形的重心在它的對(duì)稱軸上3. 形狀不規(guī)則的圖形可以先分解成幾個(gè)規(guī)則或 簡(jiǎn)單的部分，分別求出各部分的位量后，再求總 和。常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)形體的基圖，總可以分解成以下四 種圖形： （抱歉，因發(fā)帖數(shù)量不夠，

4、無(wú)法上傳 示意圖）（ 1 ）直線段 直線段的重心是它的中點(diǎn)（ 2 ）圓弧線如圖 1，位于位置參考線一側(cè)且圓心在參考線上 的圓弧線， 其位量等于它在參考線上的投影長(zhǎng)度 與弧半徑的乘積，即 W=h*R 。 （3）三角形面 三角形面的重心是三個(gè)頂點(diǎn)的平均位置， 即重心 到參考線的距離等于三個(gè)頂點(diǎn)分別到參考線距 離的平均值。（4）弓形面 如圖 2 ，圓心在位置參考線上，弓弦與參考線平 行的弓形面的位量，是弦長(zhǎng)立方的十二分之一， 即 W=a*a*a/12 。如圖 3 ，弓弦與參考線不平行的弓形面，可以看 作是上述弓形面繞圓心旋轉(zhuǎn)一定角度所得， 它的 位量還與旋轉(zhuǎn)的角度有關(guān)。即W=cos 0 *a*a*a

5、/124.如果一個(gè)圖形的位量是 W0質(zhì)量是P,則當(dāng)它的重心改變了 Z后, 其位量變?yōu)閃=W0+Z*P三. 旋轉(zhuǎn)形體質(zhì)量計(jì)算的萬(wàn)能公式 在旋轉(zhuǎn)基圖中，以旋轉(zhuǎn)軸作為位置參考線，則基圖的位量，重心和質(zhì)量可以分別表示為 Wj，Zj ，Pj。已知，圓周長(zhǎng)等于半徑的2n倍，據(jù)此可以推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)形體質(zhì)量計(jì)算 的統(tǒng)一方法。定理：旋轉(zhuǎn)形體的質(zhì)量，等于它的基圖位量的2n倍。證明：如圖 4，旋轉(zhuǎn)基圖由有限但不可數(shù)的許多空間點(diǎn)構(gòu)成，它們到 旋轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1,r2,r3,rn 。每個(gè)點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)一周后，都形成一條圓周線，旋轉(zhuǎn)形體由所有圓周線構(gòu)成。根據(jù)質(zhì)量公理，旋 轉(zhuǎn)形體的質(zhì)量，就是所有圓周線質(zhì)量的總和。即P旋=2n

6、r1+2 n r2+2 n r3+.2 n rn=2 n *（r1+r2+r3+.rn）=2 n *Wj=2 n *Zj*Pj（ 證畢 ）四 . 應(yīng)用舉例（抱歉，因發(fā)帖數(shù)量不夠，無(wú)法上傳例題示意圖）例 1. 如何理解圓周長(zhǎng)公式？答：圓周線是最簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)形體，基圖是一個(gè)點(diǎn)，其質(zhì)量是 1，它到 旋轉(zhuǎn)軸的距離是半徑R,所以C=2 兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *1*R=2 nR例 2. 求半徑為 r 的圓的面積。 解：圓可以看作是最簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)形體之一,基圖是半徑,質(zhì)量為 r, 重心為 r/2 ,所以S=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *r*r/2= n *r*r例3.求半

7、徑為r，高為h的圓柱的側(cè)面積和體積。解：圓柱側(cè)面的基圖是一條線段，長(zhǎng)度為h,重心距旋轉(zhuǎn)軸為r，所以S=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *h*r圓柱體的基圖是一個(gè)矩形面，面積為h*r，重心距旋轉(zhuǎn)軸為r/2，所以V=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *h*r*r /2= n *h*r*r例4.求底半徑為r，高為h,母線長(zhǎng)為I的圓錐的側(cè)面積和體積。 解：圓錐側(cè)面的基圖是一條線段,長(zhǎng)度為 l ,重心距旋轉(zhuǎn)軸為 r/2 , 所以S=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *I*r/2= n *l*r 圓錐體的基圖是一個(gè)三角形面,質(zhì)量為 S=r*h/2 ,重心距旋轉(zhuǎn)軸為 r

8、/3 ,所以V=2 n *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *r*h/2 *r/3=1/3 * n *r*r*h例5.求上底半徑為r1，下底半徑為r2，高為h,母線長(zhǎng)為I的圓臺(tái) 的側(cè)面積和體積。解：圓臺(tái)側(cè)面的基圖是一條線段，長(zhǎng)度為I ,重心距旋轉(zhuǎn)軸為(r1+r2 )/2 ，所以S=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *l*( r1+r2 ) 12= n *l*(r1+r2 )圓臺(tái)體的基圖是一個(gè)梯形面，它可以分解成兩個(gè)三角形面，所以V=2兀 Wj=2n (W1+W2)=2 n r1*h/2 *(r1+0+0)/3 +r2*h/2 *(r1+r2+0)/3=2n *h/6 *(r1*

9、r1+r1*r2+r2*r2)=n /3*h*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)例 6. 求半徑為 r 的圓球體的表面積和體積。解：圓球面的基圖是一條半圓弧線，圓球體的基圖是一個(gè)半圓形面，所以 S=2兀 Wj=2n *2r*r=4 n *r*rV=2兀 Wj=2n *(2r*2r*2r/12)=4/3 * n *r*r*r例7.求球半徑R,底半徑為r，高為h的球缺的側(cè)面積和體積。 解：球缺的側(cè)面是球冠，基圖是一條圓弧線；球缺體的基圖可以分解 成一個(gè)弓形面和一個(gè)三角形面,弓形面的位量為W=cos9 *a*a*a/12=(r*葉h*h)*h/12,所以S=2兀 Wj=2n *h*RV=2兀 W

10、j=2n *(W 三角形 +W弓形)=2 n *r*h/2*r/3+(r*葉h*h)*h/12=2 n *h/12*( 2r*葉r*葉h*h )=n /6*h*(3r*葉h*h)由于 R*R-r*r=(R-h)*(R-h)r*r=2Rh-h*h, 所以V=n /6*h*(3r*葉h*h)=n /3*h*h*(3R -h)例8.求球半徑R,上，下底半徑分別為r1 , r2，高為h的球臺(tái)的側(cè) 面積和體積。解：球臺(tái)的側(cè)面是球帶,基圖是一條圓弧線；球臺(tái)體的基圖可以分解 成一個(gè)弓形面和一個(gè)梯形面,所以S= 2 n Wj=2n *h*RW(弓形面)=1/12*(r2-r1)*(r2-r1)+h*h*hW

11、(梯形面)=h/6*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)V= 2 n Wj=2n W (弓形面)+W(梯形面)=n *h/6*(3r1*r1+3r2*r2+h*h)例9.在一個(gè)球體上過(guò)圓心車了一個(gè)長(zhǎng)度為a圓柱形孔洞，求剩余部分的體積。解：本題用傳統(tǒng)方法非常棘手,因?yàn)橹挥锌锥撮L(zhǎng)度這一個(gè)條件。但用萬(wàn)能公式卻是再簡(jiǎn)單不過(guò)。球體剩余部分的 基圖是一個(gè)弦長(zhǎng)為 a 的弓形面，所以V= 2 n Wj=2n *a*a*a/12= n *a*a*a/6例10.求圓x f 2+（y- a） f 2二bf2繞X軸旋轉(zhuǎn)所成幾何體的表面積和 體積 解：旋轉(zhuǎn)所成的幾何體是個(gè)環(huán)。在傳統(tǒng)立體幾何教材中，環(huán)體作為復(fù) 雜圖形不

12、介紹其表面積和體積計(jì)算， 但在萬(wàn)能公式法中， 環(huán)體卻是最 簡(jiǎn)單的形體之一。環(huán)體表面的基圖是閉合的圓周線，質(zhì)量是其周長(zhǎng)，重心是其圓心；環(huán) 體的基圖是個(gè)圓面，質(zhì)量是其面積，重心也是其圓心；所以S=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *2 n b*a=4 n * n *a*bV=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n * n *b*b*a=2 n * n *a *b*b例 11. 求邊長(zhǎng)為 a 的正六邊形繞一邊旋轉(zhuǎn)所成幾何體的表面積和體 積。解：傳統(tǒng)方法是通過(guò)割補(bǔ)成圓柱，圓錐，圓臺(tái)來(lái)計(jì)算，非常麻煩，尤 其當(dāng)多邊形的邊數(shù)很多時(shí)。 用萬(wàn)能公式法則非常簡(jiǎn)單。 圖形中心即是 其重心，邊心距k

13、=3開(kāi)平方/2*a，所以S=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *6a*k=12 n *a*kV=2兀 *Wj=2 n *Zj*Pj =2 n *（6a*k/2）*k=6 n *a * k*k嚴(yán)格說(shuō)，旋轉(zhuǎn)所成幾何體表面的基圖只有 5 條邊，且不閉合，需補(bǔ)一 條邊才能成為正六邊形線框， 但因補(bǔ)上的這條邊恰在旋轉(zhuǎn)軸上， 位量 為 0，不影響整個(gè)基圖的位量，所以可以用正六邊形線框作為基圖。 在計(jì)算圓柱表面積時(shí)，也可以采用同一思路。例12.半徑為R的圓周被長(zhǎng)度為a的弦分成兩段弧，求這兩段弧分別 繞弦旋轉(zhuǎn)所成形體的表面積 解：如果兩段弧長(zhǎng)度不等，則所成形體分別為檸檬形和蘋(píng)果形。劣弧 可看作是圓心原在旋轉(zhuǎn)軸上的弧朝旋轉(zhuǎn)軸方向平移后所得， 移動(dòng)距離 為弦心距 k=（2R*2R-a*a） 開(kāi)平方后再 /2 ，弧長(zhǎng) l=2R*arcsin（a/2R）, 所以W （劣弧）=2n *R*a-l*kS1=2兀*W （劣?。┯忠?yàn)檎麄€(gè)圓周的位量為 W=2t *R*k，且兩段弧分居參考線兩側(cè)，位 量正負(fù)相反，所以W（優(yōu)?。┒-W （劣弧）=2 n *R*k+W（劣?。㏒2=2兀 *W （