三角函數(shù)資料總結(jié)(詳細版)

1、正害U: secr , r,x k , k Z y三角函數(shù)1.任意角的三角函數(shù)在角 的終邊上任取 一點P(x,y),記: r OP &y2 ,如圖1-8所示正弦：sin,x Rr余弦：cosx,x Rr正切：tan±x k-,k Zx2x余切：cot ,x k ,k Zyr . 一 一，一,x k 一, k Z 余割：cscx2以上六種函數(shù)都稱為三角函數(shù)，其中正弦、余弦、正切、余切曲線如圖1-9所示:10圖1-9顯然正弦、余弦函數(shù)的最小正周期是2 ,正切、余切函數(shù)的最小正周期是2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1, tan cot 1。倒數(shù)關(guān)系：sin csc 1, cos secc

2、ossin平方關(guān)系：22sin2cos222221,1 tansec , 1 cotcsc商數(shù)關(guān)系：tansincotcos3、誘導公式 2k (k Z)、2的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號。 前面加33 一 、一 、的三角函數(shù)值，等于的異名函數(shù)值,2222上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號。 4、和角公式和差角公式coscossinsin()sinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintan()tantan1 tan tantan()tantan1 tan tan5、二倍角公式sin2 2si

3、n cos 2. 222cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ()2 tantan 221 tan6、萬能公式22 tan1 tan2 tansin 2cos2 2, tan 22-1 tan1 tan1 tan萬能公式告訴我們，單角的三角函數(shù)都可以用半角的正切來表示。 7、和差化積公式sin sin 2sincos22sin sin 2cossin22coscos2 coscos 228、積化和差公式1 ./一 sin()sin()sincos2cossin1 sin(2)sin()coscos1,一 cos(2)cos()sinsin1,一 cos( 2)cos()我們可以

4、把積化和差公式看成是和差化積公式的逆應用。cos cos2sinsin9、輔助角公式asinx bcosx一a2 b2 sin(x )其中：角的終邊所在的象限與點(a,b)所在的象限相同,- bsin ,a2b2cosa,a2b2tan反三角函數(shù)前面所講三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是周期函數(shù)，并不是單值函數(shù)，其映射不是單射，因數(shù)，這樣就存在反函數(shù)。例如限制 x 此在其定義域內(nèi)不存在反函數(shù)。但我們可以限制自變量取值，使其在一定范圍內(nèi)成為單值函2,-2,函數(shù)y sinx為單值函數(shù)，y 1,1,存在唯一確定x 一,一|,使得y sin x,這時的反函數(shù)記為 y arcsinx,x 一,一2 22 2類似可

5、定義其他三角函數(shù)的反函數(shù)，各種反三角函數(shù)見下表1-1 ：表1-1名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)定義y=sinx（x6-, _的反函數(shù)，叫做反正弦 函數(shù)，記作x=arsinyy=cosx（x C 0, 兀）的反函數(shù)，叫 做反余弦函數(shù)，記 作 x=arccosyy=tgx（x （- _ ,一）的反函數(shù)，叫2做反正切函數(shù)，記作x=arctgyy=ctgx（x 6 （0, 兀）的反函數(shù)， 叫做反余切函 數(shù)，記作 x=arcctgy理解arcsinx 表示屬于-,一且正弦值等于x的角arccosx WtkWT0,兀,且余弦值等于x的角arctgx 表示屬于（ - , 一 ）,且正切值等于x

6、的角arcctgxWtk 屬于（0 ,兀）且余切 值等于x的角性 質(zhì)定義域-1 ,1】-1 , 1(-巴 +OO)(-8, +OO)值域-,一10,兀(-,)（0,兀）單調(diào)性在-1 , 1上是 增函數(shù)在-1 ,1上是減 函數(shù)在（-OO, +OO）上是增 數(shù)在（-OO , +OO ）上 是減函數(shù)奇偶性arcsin(-x)=-arc sinxarccos(-x)=兀-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=兀-arcctgx周期性都不是同期函數(shù)恒等式sin(arcsinx)=x( x C -1 , 1 )arcsin(sinx )=x(x£-,)cos(ar

7、ccosx)=x(x C -1,1)arccos(cosx)=x(x e 0,兀1)tg(arctgx)=x(xCR)arctg(tgx)=x(x。(- -2 , -2 )ctg(arcctg x)=x(x C R) arcctg(ctgx)=x (xC(0,兀)互余恒等式arcsinx+arccosx= (x C -1,1 )arctgx+arcctgx= (X C R)注記：根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 y x對稱，自己畫出反三角函數(shù)的大致的圖形雙曲函數(shù)：雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切：thxshxchxxxe exxe e如圖所示雙曲函數(shù)公式sh(xy) shxchychxshy ；ch(xy) chxchyshxshy ；,2ch x,2sh x 1 ；sh2x2shxchxch2x=ch 2x反雙曲正弦：y反雙曲余弦：y反雙曲正切：y arthxy= arthx= 1In1x21-x反雙曲函數(shù) 雙曲函數(shù)y shx, y chx (x 0), y thx的反函數(shù)依次為 arshx ; y = arshx = ln(x+ x2+1)archx ； y = archx = ln(x+ ,x2-1)反雙曲曲線如圖1-1