【教育資料】第1章1.2基本不等式學(xué)習(xí)精品

1、教育資源教育資源1.2 基本不等式1.理解兩個(gè)正數(shù)的基本不等式. 2.了解三個(gè)正數(shù)和一般形式的基本不等式. 3.會(huì)用基本不等式求一些函數(shù)的最值及實(shí)際應(yīng)用題. 基礎(chǔ) 初探 教材整理基本定理 (重要不等式及基本不等式) 1.定理 1 設(shè) a，br，則 a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立 . 2.定理 2 如果 a，b 為正數(shù)，則ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立 .這個(gè)不等式我們稱(chēng)之為基本不等式或平均值不等式.同時(shí)，我們稱(chēng)ab2為正數(shù) a，b 的算術(shù)平均值，稱(chēng)ab為正數(shù) a，b 的幾何平均值，該定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值. 3.定理 3 如果 a

2、，b，c 為正數(shù)，則abc33abc，當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)，等號(hào)成立 . 4.定理 4 如果 a1，a2，an為 n 個(gè)正數(shù)，則a1a2 annna1a2an，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2 an時(shí)，等號(hào)成立 . 設(shè) 0ab，則下列不等式中正確的是() a.ababab2b.a abab2bc.a abbab2d. abaab2b教育資源教育資源【解析】0ab，aab20，即aba，故選 b.【答案】b 質(zhì)疑 手記 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn) 1：解惑：疑問(wèn) 2：解惑：疑問(wèn) 3：解惑：小組合作型 利用基本不等式證明不等式已知 a，b，c 都是正數(shù)，求證：a2bb2cc2aa

3、bc. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 38000004】【精彩點(diǎn)撥】觀察不等號(hào)兩邊差異，利用基本不等式來(lái)構(gòu)造關(guān)系.【自主解答】a0，b0，c0，a2bb2a2b b2a，同理：b2cc2b，c2aa2c.三式相加得：a2bb2cc2a(bca)2(abc)，a2bb2cc2aabc. 1.首先根據(jù)不等式兩端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形，或配湊使之具備基本不等教育資源教育資源式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式或其變形進(jìn)行證明. 2.當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)，上述不等式中“等號(hào)”成立，若三個(gè)式子中有一個(gè)“”號(hào)取不到，則三式相加所得的式子中“”號(hào)取不到. 再練一題 1.設(shè) a0，b0，m0，n0.證明：(m2n4)(m4

4、n2)4m3n3. 【證明】因?yàn)?m0，n0，則 m2n42mn2，m4n22m2n，所以(m2n4)(m4n2)4m3n3，當(dāng)且僅當(dāng) mn1 時(shí)，取等號(hào) . 利用基本不等式求最值(1)已知 x，yr，且 x2y1，求1x1y的最小值；(2)已知 x0，y0，且 5x7y20，求 xy 的最大值 . 【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題設(shè)條件，合理變形，創(chuàng)造能用基本不等式的條件.【自主解答】(1)因?yàn)?x2y1，所以1x1yx2yxx2yy32yxxy322yxxy32 2，當(dāng)且僅當(dāng)2yxxy，x2y1，即x21，y122時(shí)，等號(hào)成立 .所以當(dāng) x21，y122時(shí)，1x1y取最小值 32 2.(2)xy135(

5、5x 7y)1355x7y221352022207，教育資源教育資源當(dāng)且僅當(dāng) 5x7y10，即 x2，y107時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)xy取最大值207. 在求最值時(shí)，除了注意“一正、二定、三相等”之外，還要掌握配項(xiàng)、湊系數(shù)等變形技巧， 有時(shí)為了便于應(yīng)用公式， 還用換元法， 多用于分母中有根式的情況. 再練一題 2.若將本例 (1)的條件改為“已知x0，y0，且1x9y1”，試求 xy 的最小值. 【解】x0，y0，且1x9y1，xy(xy)1x9yyx9xy102yx9xy1016.當(dāng)且僅當(dāng)yx9xy，即 y3x 時(shí)等號(hào)成立 .又1x9y1，當(dāng) x4，y12 時(shí)，(xy)min16. 基本不等式的

6、實(shí)際應(yīng)用某廠家擬舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量(即該廠的年產(chǎn)量 )x 萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m 萬(wàn)元(m0)滿足 x3km1(k 為常數(shù) )， 如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是1 萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8 萬(wàn)元，每生產(chǎn) 1 萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16 萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為年平均每件產(chǎn)品成本的1.5 倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷(xiāo)費(fèi)用 ). (1)將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y 萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m 萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該廠家的年促銷(xiāo)費(fèi)用投入為多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？教育資源教育資源【精彩點(diǎn)撥】(1)可先通過(guò) m0 時(shí)，

7、x1 求出常數(shù) k，再根據(jù)條件列出y關(guān)于 m的函數(shù)； (2)在(1)的函數(shù)關(guān)系式下，利用基本不等式求最值.【自主解答】(1)依題意得 m0 時(shí)，x1，代入 x3km1，得 k2，即 x32m1.年成本為 816x81632m1(萬(wàn)元)，所以 y(1.51) 81632m1m28m16m1(m0).(2)由(1)得 y29m1 16m1292m1 16m121.當(dāng)且僅當(dāng) m116m1，即 m3 時(shí)，廠家的年利潤(rùn)最大，為21 萬(wàn)元. 設(shè)出變量 建立數(shù)學(xué)模型定義域利用均值不等式求最值“”成立的條件結(jié)論再練一題 3.某工廠建一底面為矩形 (如圖 1-2-1)，面積為 162 m2，且深為 1 m 的無(wú)

8、蓋長(zhǎng)方體的三級(jí)污水池，由于受地形限制，底面的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16 m，如果池外圍四壁建造單價(jià)為400 元/m2，中間兩條隔墻建造單價(jià)為248 元/m2，池底建造單價(jià)為 80 元/m2，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低. 圖 1-2-1 【解】設(shè)污水池的寬為 x m，則長(zhǎng)為162xm，則總造價(jià)教育資源教育資源f(x)400 2x2162x2482x801621 296x1 296100 x12 9601 296 x100 x12 960.由限制條件，知0 x16，0162x16，得818x16.設(shè) g(x)x100 x818x16 ，因?yàn)?g(x)在818，16 上是增函數(shù)，所以當(dāng) x818時(shí)

9、 此時(shí)162x16 ，g(x)有最小值，即 f(x)有最小值， f(x)min1 2968188008112 96038 882(元).所以當(dāng)長(zhǎng)為 16 m，寬為818m 時(shí)，總造價(jià)最低，為 38 882元. 探究共研型 基本不等式的特點(diǎn)探究 1在基本不等式ab2ab中，為什么要求 a0，b0? 【提示】對(duì)于不等式ab2ab，如果 a，b 中有兩個(gè)或一個(gè)為0，雖然不等式仍成立，但是研究的意義不大，當(dāng)a，b 都為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式不成立；當(dāng)a，b 中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另一個(gè)為正數(shù)，不等式無(wú)意義. 教育資源教育資源探究 2你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？【提示】如圖，以ab 為直徑的圓中，dcab，且dc

10、ab.因?yàn)?cd 為圓的半弦， od 為圓的半徑，長(zhǎng)為ab2，根據(jù)半弦長(zhǎng)不大于半徑，得不等式abab2.顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c 與圓心重合，即當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立 .因此，基本不等式的幾何意義是：圓的半弦長(zhǎng)不大于半徑；或直角三角形斜邊的中線不小于斜邊上的高. 探究 3利用基本不等式，怎樣求函數(shù)的最大值或最小值？【提示】利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理(即基本不等式 )可以求函數(shù)的最大值、最小值 .(1)已知 x，y(0，)，如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng) xy 時(shí)，和 xy 有最小值 2 p.(2)已知 x，y(0，)，如果和 xy 是定值 s，那么當(dāng) xy 時(shí)，積 xy 有最大值14

11、s2.以上兩條可簡(jiǎn)記作：和一定，相等時(shí)，積最大；積一定，相等時(shí)，和最小.條件滿足： “一正、二定、三相等 ”.求下列函數(shù)的值域 . (1)yx212x；(2)y2xx21. 【精彩點(diǎn)撥】把函數(shù)轉(zhuǎn)化為yaxbx或 y1axbx的形式，再利用基本不等式求解 .教育資源教育資源【自主解答】(1)yx212x12x1x，當(dāng) x0 時(shí)，x1x2，y1；當(dāng) x0 時(shí)，x0，x1x2，x1x2，y1，綜上函數(shù) yx212x的值域?yàn)?y|y1 或 y1.(2)當(dāng) x0 時(shí)，y2xx212x1x.因?yàn)?x1x2，所以 01x1x12，所以 0y1，當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng) x0 時(shí)，x1x2，所以 01

12、x1x12，所以 1y0，當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng) x0 時(shí)，y0.綜上，函數(shù) y2xx21的值域?yàn)?y|1y1. 形如 ycx2exfaxb型的函數(shù)，一般可先通過(guò)配湊或變量替換等變形為ytptc(p，c 為常數(shù) )型函數(shù)，再利用基本不等式求最值，但要注意變量t 的取值范圍 . 再練一題 4.求函數(shù) yx28x1(x1)的最小值 . 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 38000005】【解】因?yàn)?x1，所以 x10.教育資源教育資源所以 yx28x1x122x7x1x122 x1 9x1(x1)9x122x1 9x128，當(dāng)且僅當(dāng) x19x1，即 x4 時(shí)，等號(hào)成立 .所以當(dāng) x4 時(shí)，ymin8. 構(gòu)建

13、體系 1. 函數(shù) y1x3x(x3)的最小值是 () a.5b.4c.3d.2 【解析】原式變形為 y1x3x33.x3，x30，1x30，y2x3 1x335，當(dāng)且僅當(dāng) x31x3，即 x4 時(shí)等號(hào)成立 .【答案】a 2.下列函數(shù)中最小值為4 的是() a.yx4xb.ysin x4sin x(0 x)c.y3x43-xd.ylg x4logx10 教育資源教育資源【解析】a 項(xiàng)，當(dāng) x0 時(shí)，yx4x0，故 a 項(xiàng)錯(cuò)誤； b 項(xiàng)，當(dāng) 0 x 時(shí)，sin x0，ysin x4sin x2sin x4sin x4，當(dāng)且僅當(dāng) sin x4sin x，即sin x2 時(shí)取等號(hào)，但 sin x1，b

14、 項(xiàng)錯(cuò)誤；c 項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得3x0，所以 y3x4 3x2 44，當(dāng)且僅當(dāng) 3x2，即 xlog32 時(shí)取得最小值 4，故c 項(xiàng)正確； d 項(xiàng)，當(dāng) 0 x1 時(shí)，lg x0，logx100，所以 ylg x4logx100，故 d 項(xiàng)錯(cuò)誤 .【答案】c 3.若 a，br，且 ab0，則下列不等式中，恒成立的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 38000006】a.a2b22abb.ab2abc.1a1b2abd.baab2 【解析】a 選項(xiàng)中，當(dāng) ab 時(shí)，a2b22ab，則排除 a；當(dāng) a0，b0時(shí)，ab02 ab，1a1b00，ab0，得baab2 baab2，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“”，所以選 d.【答案】d 4.不等式baab2 成立的充要條件是 _. 【解析】由baab2，知ba0，即