本文發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2003年第1期

1、本文發(fā)表于中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2003年第1期中考幾何“兩解”題綜述215006 蘇州市第一中學(xué) 劉祖希數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，而思維品質(zhì)的一個(gè)重要方面就是思維的深刻性（周密性）.幾何“兩解”題，在考察分類討論思想應(yīng)用的同時(shí)，鍛煉了學(xué)生的思維品質(zhì)，其開(kāi)放性又培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造能力，因此受到中考命題者的青睞.本文以近年中考題為例，以幾何各單元知識(shí)為主線，詳細(xì)總結(jié)產(chǎn)生兩解的不同原因，幫助初三畢業(yè)班老師同學(xué)復(fù)習(xí)備考.1 敘述對(duì)象不明確 當(dāng)涉及到兩類對(duì)象時(shí)，題目往往語(yǔ)言上沒(méi)有具體指明哪一類，因此要分類討論，出現(xiàn)兩解.11未指明三角形中“一邊”是底邊還是腰、“左腰”還是“右腰”、斜邊還是直角

2、邊例1（黑龍江省，2000）等腰直角三角形的一邊長(zhǎng)為2cm，則它的周長(zhǎng)為 .解題要點(diǎn)若腰長(zhǎng)2cm，則底邊長(zhǎng)（斜邊），周長(zhǎng)為； 若底邊長(zhǎng)，則腰長(zhǎng)，周長(zhǎng)為.例2（貴州遵義，2000）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為14cm，且一邊長(zhǎng)是4cm，則它的腰長(zhǎng)是 .例3（湖北孝感，2000）直角三角形三邊之長(zhǎng)為5、4、m，則此三角形斜邊上的高為 .例4（湖北荊門(mén)，1998）等腰三角形底邊長(zhǎng)為8cm，腰長(zhǎng)5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 秒.12未指明矩形的一邊是長(zhǎng)還是寬例5（沈陽(yáng)市，2001）矩形中，AB=3，AD=2，則以該矩形的

3、一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱表面積為 .解題要點(diǎn)若以為軸、為底，則圓柱體表面積為； 若以為軸、為底，則圓柱體表面積為.例6（江西省，2000）用一張邊長(zhǎng)分別為10cm、8cm的矩形紙片做圓柱的側(cè)面，所得圓柱的底面半徑為 .（結(jié)果可帶）例7（哈爾濱，2002）將兩邊長(zhǎng)分別為和的矩形以其一邊所在直線為軸線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱體的表面積為 .例8（黑龍江省，2002）如果矩形紙片兩條相鄰的邊長(zhǎng)分別為和，將其圍成一個(gè)圓柱的側(cè)面，那么這個(gè)圓柱的底面半徑是 （結(jié)果保留）.13一條直線把圖形分為兩部分，未指明哪一部分例9（常州市，2000）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分為9和12兩部分，則腰長(zhǎng)為 ，底邊

4、長(zhǎng)為 .解題要點(diǎn)設(shè)腰長(zhǎng)x，底邊長(zhǎng)y，則有或解得或，即腰長(zhǎng)6或8，底邊長(zhǎng)9或5.例10（貴陽(yáng)市，1999）等腰三角形的一個(gè)底角平分線，把周長(zhǎng)分為63和36兩部分，求它的腰長(zhǎng).例11（遼寧省，2002）圓內(nèi)兩條弦和相交于點(diǎn)，長(zhǎng)為，把分成兩部分的線段的長(zhǎng)為2和6，那么 .14未指明相似圖形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角例12（黃岡市，1997）在中，為上一點(diǎn)，在上取一，得到若圖中兩個(gè)三角形相似，則的長(zhǎng)是 .解題要點(diǎn)如右圖，若則 若則.例13（云南玉溪，2000）要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6，另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2，欲使這兩個(gè)三角形相似，三角形框架的另兩條邊長(zhǎng)可以是

5、 .例14（桂林市，2002）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，線段的兩端在、上滑動(dòng)，當(dāng) 時(shí)， 與以、為頂點(diǎn)的三角形相似. 15圓的一條弦對(duì)應(yīng)兩個(gè)圓周角（兩角互補(bǔ)）、兩條?。ㄒ粭l優(yōu)弧、一條劣?。蓚€(gè)弦切角（兩角互補(bǔ)）、兩個(gè)弓形例15（黃岡市，2001）已知O是的外接圓，于D，且，則 .解題要點(diǎn)由知，則圓心角，若為劣弧，則；若為優(yōu)弧，則.例16（北京宣武區(qū)，2001）一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是 .例17（南京市，1999）在中，圓心角的度數(shù)1000，則弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是 .例18（遼寧省，2000）PA、PC分別切O于A、C兩點(diǎn)，B為O上與A、C不重合的點(diǎn)，若，則 .

6、例19（廈門(mén)市，2000）和相交于點(diǎn)和，是上另一點(diǎn)，AT是的切線，直線AB與AC分別交于點(diǎn)D和E.設(shè)點(diǎn)M是切線AT上的一點(diǎn)，且與A不重合.若，則 度.例20（云南省，1996）一弓形弦長(zhǎng)為弓形所在圓的半徑為7cm，那么弓形的高為 .解題要點(diǎn) 如右圖， 弓形的高為或.例21（遼寧省，2002）是半徑為的圓內(nèi)接三角形，若，則的度數(shù)為 .2 幾何圖形的相對(duì)位置不確定當(dāng)要畫(huà)的圖形與已知的圖形位置關(guān)系不確定時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)兩解21形內(nèi)、形外一條垂線與三角形一邊的交點(diǎn)可能在其上也可能在其延長(zhǎng)線上，一點(diǎn)可能在圓內(nèi)也可能在圓外例22（黃岡市，1999）在中，的中垂線與所在直線相交所得的銳角為500，則底角的大小

7、為 .解題要點(diǎn)如右圖，若交點(diǎn)E在線段AC上（為銳角三角形）時(shí)若交點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上（為鈍角三角形）時(shí).例23（武漢市，1999）已知和不在上的一點(diǎn)P，過(guò)P的直線交于A、B兩點(diǎn)，若則的半徑長(zhǎng)為 .解題要點(diǎn)如右圖，若點(diǎn)在外，則半徑，若點(diǎn)在內(nèi)，則.例24（河南省，2002）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，腰長(zhǎng)為，則其底邊上的高為 .22同側(cè)、異側(cè) 未指明兩點(diǎn)分布在一條直線的同側(cè)還是異側(cè)， 未指明兩圓在切線的同側(cè)還是異側(cè)（內(nèi)切或外切）， 未指明兩圓心在相交弦的同側(cè)還是異側(cè)， 未指明兩平行弦位于圓心的同側(cè)還是異側(cè). 例25（黑龍江，1997）平面上A、B兩點(diǎn)到直線l的距離分別為與，則線段AB

8、的中點(diǎn)C到到直線l的距離為 .解題要點(diǎn)如右圖，若A、B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè)，則；若A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，則.例26（荊門(mén)市，2001）若線段AB兩端點(diǎn)到直線l的距離分別為4和8，則線段AB的中點(diǎn)C到直線l的距離為 . 例27（安徽省，2000）以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別是9cm和5cm，O與這兩個(gè)圓都相切，則O的半徑是 .解題要點(diǎn) 由題意知,O的半徑有兩種可能性，如右圖，若O與小圓外切，則若O與小圓外切，則，所以O(shè)的半徑是.例28（貴陽(yáng)市，1999）已知O1的半徑為8cm，O2的半徑為5cm，若兩圓相切，則圓心距為 cm.例29（山西省，2000）若半徑為5和4的兩圓相交，且公共弦長(zhǎng)為

9、6，則它們的圓心距d等于 .解題要點(diǎn)如圖，若兩圓心在直線AB的兩側(cè)，則:若兩圓心在直線AB的同側(cè)，則:.例30（武漢市，2001）O1與O2交于A、B兩點(diǎn)，且O1經(jīng)過(guò)點(diǎn)O2，若，那么的度數(shù)是 .例31（石家莊，1999）在半徑為5cm的O內(nèi)，AB、CD是兩條平行弦，且 求之長(zhǎng).3 幾何中的代數(shù)兩解問(wèn)題 當(dāng)絕對(duì)值方程在幾何中的出現(xiàn)時(shí)，往往導(dǎo)致兩解問(wèn)題產(chǎn)生 例32（云南曲靖，2001）相切兩圓的半徑分別為8cm和x cm，圓心距為3cm，則x的值是 .解題要點(diǎn)由題意，兩圓必內(nèi)切，圓心距等于半徑之差，.例33（北京海淀，2001）已知兩圓內(nèi)切，圓心距為2cm，其中一個(gè)圓的半徑為3cm，那么另一個(gè)圓的

10、半徑為 cm.例34（連云港，2001）兩圓半徑分別是R和圓心距為d，若關(guān)于x的方程有相等的兩實(shí)數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）.A，一定內(nèi)切 B，一定外切 C，相交 D，內(nèi)切或外切例35（濟(jì)南市，2001）已知等腰三角形ABC底邊BC=8cm，且AC-BC=2cm，則腰AC的長(zhǎng)為 . 4 幾何圖形的對(duì)稱性滿足條件的幾何圖形往往對(duì)稱地存在兩個(gè)例36（長(zhǎng)沙市，1997）已知中，高為中線，求之長(zhǎng).解題要點(diǎn)如右圖，AC邊存在兩條，關(guān)于高AD對(duì)稱. 若構(gòu)成銳角三角形，則： 若構(gòu)成鈍角三角形，則： .例37（杭州市，2000）在四邊形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC與BD相交于O，則四邊形ABCD的

11、面積為 .例38（甘肅省，2001）等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是4，以AB邊所在的直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .5 開(kāi)放型問(wèn)題幾何開(kāi)放型問(wèn)題，就是探究、設(shè)計(jì)符合要求的幾何圖形，在這個(gè)過(guò)程中充分考察學(xué)生的空間觀念和思維創(chuàng)造能力.例39（武漢市，2000）若正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形三條邊上，直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長(zhǎng)為 cm.解題要點(diǎn)這是一道幾何開(kāi)放題.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)究竟怎樣分布在直角三角形的三條邊上，有待我們探索. 探索發(fā)現(xiàn)只有兩種可能性：如右圖，計(jì)算得：，或，即此正方形的邊長(zhǎng)為或.例40（安徽省，1997）在邊長(zhǎng)為a

12、的正方形內(nèi)有四個(gè)等圓，每相鄰兩個(gè)互相外切，它們中的每一個(gè)至少與正方形的一邊相切，那么此等圓的半徑長(zhǎng)是 .例41（陜西省，2001改編）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（），點(diǎn)B（）.在軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo). 以上我們可以看到，“兩解”題幾乎貫穿了整個(gè)初中幾何內(nèi)容，說(shuō)明它是幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn).我們借它可以深刻地理解幾何知識(shí)，鍛煉思維的深刻性品質(zhì)，防止由幾何直觀局限性、思維定勢(shì)負(fù)遷移等不良學(xué)習(xí)因素造成的解題錯(cuò)誤. 解答幾何“兩解”題，在題目沒(méi)有給圖的情況下，既要全面分析各種可能情況，又要善于將其概括為幾類，這正是數(shù)學(xué)思維深刻性的兩層含義.文中41道例題，部分給出了解答要點(diǎn)，其余的請(qǐng)讀者自行完成，參考答案附錄于后. 參考文獻(xiàn)：1劉漢文主編.中考數(shù)學(xué)熱門(mén)題.湖北教育出版社，2001年12月第1版2鄭君文、張恩華著.學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西教育出版社，1996年12月第1版32001年全國(guó)中考試題薈萃（數(shù)學(xué)）.天津人民出版社，2001年8月1版42002年全國(guó)中考試題精