空間向量與立體幾何的教學(xué)反思

1、空間向量與立體幾何的教學(xué)反思 遵義八中數(shù)學(xué)組 胡 宇 2015年1月20日本部分是高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一個(gè)重要部分，是數(shù)學(xué)必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數(shù)學(xué)必修2“立體幾何初步”的延續(xù)，努力使學(xué)生將運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力?？臻g向量為處理立體幾何問(wèn)題提供了新的視角(“立體幾何初步”側(cè)重于定性研究，本章則側(cè)重于定量研究)?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具。進(jìn)一步體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。向量是一個(gè)重要的代數(shù)研究對(duì)象，引入向量運(yùn)算，使數(shù)學(xué)的運(yùn)算

2、對(duì)象發(fā)生了一個(gè)重大跳躍：從數(shù)、字母與代數(shù)式到向量，運(yùn)算也從一元到多元。向量又是一個(gè)幾何對(duì)象，本身既有方向，又有長(zhǎng)度；是溝通代數(shù)與幾何的一個(gè)橋梁，是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)與物理模型，這些也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量和研究向量奠定了一定的基礎(chǔ)。利用向量來(lái)解決立體幾何問(wèn)題是學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的重點(diǎn)，要讓學(xué)生體會(huì)向量的思想方法，以及如何用向量來(lái)表示點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系一、現(xiàn)將原大綱目標(biāo)與新課程目標(biāo)進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較 ：原大綱目標(biāo)表述新課標(biāo)目標(biāo)表述1.理解空間向量的概念掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.2.了解空間向量基本定理；理解空間向量的坐標(biāo)的概念，掌握空間向量運(yùn)算.3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算

3、空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式.4. 理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影.5.掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)利用給出公垂線計(jì)算距離）；6.掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理；掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.1.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程 .2.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 .3.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示 .4.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.5.

4、理解直線的方向向量與平面的法向量.6.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系 . 7.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理） .8.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題。標(biāo)準(zhǔn)中要求讓學(xué)生經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程，目的是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法（類比與歸納），體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過(guò)程中的問(wèn)題，并嘗試如何解決這些問(wèn)題。同時(shí)在這一過(guò)程中，也讓學(xué)生見識(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推廣可能帶來(lái)很多更好的性質(zhì)。掌握空間向量的基本概念及其性質(zhì)是基本要求，是后續(xù)學(xué)習(xí)的前提。新老課程相比，該部分減少了大量的綜合證明的內(nèi)容，重在對(duì)于圖形的把握，發(fā)展空間概念

5、，運(yùn)用向量方法解決計(jì)算問(wèn)題，這樣的調(diào)整，將使得學(xué)生把精力更多地放在理解數(shù)學(xué)的細(xì)想方法和本質(zhì)方面，更加注意數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系和應(yīng)用，重在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生日后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，或工作、生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)，打下更好的基礎(chǔ)。二、教學(xué)要求 本章從數(shù)量表示和幾何意義兩方面，把對(duì)向量及其運(yùn)算的認(rèn)識(shí)從二維情形提升到三維情形。這是“由此及彼，由淺入深” 的認(rèn)識(shí)發(fā)展過(guò)程。本章以立體幾何問(wèn)題為載體，體現(xiàn)向量的工具作用和向量方法的基本步驟和原理，再次滲透符號(hào)化、模型化、運(yùn)算化和程序化的數(shù)學(xué)思想。主要要思想方法是：（1）類比、猜想、歸納、推廣

6、（讓學(xué)生經(jīng)歷由平面向空間推廣的過(guò)程）；（2）能靈活選擇向量法、坐標(biāo)法與綜合法解決立體幾何問(wèn)題?？臻g向量的基本概念及其性質(zhì)是后續(xù)學(xué)習(xí)的前提，由于空間向量是平面向量的推廣，空間向量及其運(yùn)算所涉及的內(nèi)容與平面向量及其運(yùn)算類似，所以，空間向量的教學(xué)上要注重知識(shí)間的聯(lián)系，溫故而知新，運(yùn)用類比的方法認(rèn)識(shí)新問(wèn)題，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程。（1）向量法有別于傳統(tǒng)的純幾何方法，而是將幾何元素用向量表示，進(jìn)行向量運(yùn)算，再回歸到幾何問(wèn)題。這種“三步曲”式的解決問(wèn)題過(guò)程，在數(shù)學(xué)中具有一般性。（2）三步曲：空間向量表示幾何元素利用向量運(yùn)算研究幾何元素間的關(guān)系把運(yùn)算結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何意義。（3）向量運(yùn)算時(shí)

7、注意其幾何意義，聯(lián)系幾何問(wèn)題（如三垂線定理及其逆定理等）加深對(duì)有關(guān)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。 必修2中，已經(jīng)討論過(guò)空間中直線、平面的平行、垂直等位置關(guān)系，當(dāng)時(shí)沒(méi)有對(duì)相關(guān)判定定理進(jìn)行證明，只證明了相關(guān)性質(zhì)定理。本章以三垂線定理、線面垂直的判定定理等為例，用向量方法對(duì)其進(jìn)行證明，然后指出運(yùn)用向量方法可以證明關(guān)于線面位置關(guān)系的其他判定定理，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嘗試。這樣可以加強(qiáng)所學(xué)前后知識(shí)的聯(lián)系，對(duì)空間位置關(guān)系提高認(rèn)識(shí)水平。三、后續(xù)教學(xué)的些思考1、空間向量在理論研究和解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛應(yīng)用，它成為解決立體幾何中的大量問(wèn)題的有力工具。在本章我們把平面向量推廣到空間向量,學(xué)習(xí)空間向量的概念、運(yùn)算、坐標(biāo)表示，并利用空間向

8、量的運(yùn)算解決有關(guān)立體幾何問(wèn)題。2、由于空間向量是平面向量的推廣，空間向量及其運(yùn)算所涉及的內(nèi)容與平面向量及其運(yùn)算類似，因此，宜多引導(dǎo)學(xué)生與平面向量及其運(yùn)算類比，與實(shí)數(shù)及其運(yùn)算類比，從“數(shù)、量與運(yùn)算”發(fā)展的角度理解向量。讓學(xué)生經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法：類比與歸納。體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過(guò)程中的問(wèn)題，并如何解決問(wèn)題3.本章的重點(diǎn)內(nèi)容空間向量和向量方法是重點(diǎn)內(nèi)容，而對(duì)于立體幾何知識(shí)并不作系統(tǒng)安排，只是通過(guò)幾個(gè)立體幾何具體問(wèn)題的例子，體現(xiàn)空間向量在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用，對(duì)解決立體幾何中某些用綜合法解決時(shí)技巧性較大、隨機(jī)性較強(qiáng)的問(wèn)題提供了一些通法。要使學(xué)生

9、加強(qiáng)對(duì)幾何中向量方法的一般性認(rèn)識(shí)。 本章的教學(xué)應(yīng)突出重點(diǎn)，不是立體幾何問(wèn)題本身為重點(diǎn)，而是把具體的立體幾何問(wèn)題作為學(xué)習(xí)向量方法的載體，以向量方法作為主要教學(xué)目標(biāo)。 4.注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián) 向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義。本章教學(xué)中，除了要關(guān)注前面多次提及的知識(shí)縱向聯(lián)系之外，還要特別關(guān)注知識(shí)的橫向聯(lián)系，從不同角度研究同一問(wèn)題，認(rèn)識(shí)與運(yùn)用向量及其運(yùn)算中數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。教學(xué)中應(yīng)結(jié)合幾何圖形予以探討，特別要重視平行六面體的模型作用，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形理解它們，注意避免不聯(lián)系幾何意義的死記硬背。5.深化理解向量運(yùn)算的作用空間向量的線性運(yùn)算（加、減、數(shù)乘）和數(shù)量積。正是有了向量運(yùn)算，向量才顯示其重要性。要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何問(wèn)題，關(guān)注向量運(yùn)算在分析解決問(wèn)題中的作用。6.根據(jù)特點(diǎn)選擇方法重視綜合方法、向量方法、坐標(biāo)方法各自特點(diǎn)的分析與歸納，綜合方法以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題；向量方法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題；坐標(biāo)方法利用數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，坐標(biāo)方法常與向量運(yùn)算結(jié)合起來(lái)使用，根據(jù)它們的具體條件和特點(diǎn)選擇合適的方法。總之新的教材，讓學(xué)生經(jīng)歷向量由平面向空間的推廣，重視了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，在學(xué)