高等數(shù)學(xué)：5-1 定積分的概念與性質(zhì)

1、5-1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、定積分的定義二、定積分的定義三、存在定理三、存在定理 四、幾何意義四、幾何意義五、定積分的性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例實(shí)例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形

2、）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )

3、(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時(shí)，時(shí)，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)當(dāng)分割無(wú)限加細(xì))0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實(shí)例實(shí)例2 2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程） 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是是時(shí)間間隔時(shí)間間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.思路思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作

4、不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值分過(guò)程求得路程的精確值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個(gè)

5、個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點(diǎn)一點(diǎn)i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)

6、，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定義中區(qū)間的分法和）定義中區(qū)間的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時(shí)，上的定積分存在時(shí)，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無(wú)無(wú)關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(x

7、f在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，則則)(xf在在三、存在定理三、存在定理區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. ., 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積取負(fù)號(hào)積取負(fù)號(hào)軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號(hào)；軸上方的面

8、積取正號(hào)；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點(diǎn)點(diǎn)為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim

9、nnn121161lim.31 例例 2 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間1 , 0上連續(xù)，且取正值上連續(xù)，且取正值.證明證明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim試證試證.10)(ln dxxfe利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指數(shù)數(shù)上上可可理理解解為為：)(lnxf在在1 , 0區(qū)區(qū)間間上上的的一一個(gè)個(gè)積積分分和和分分割割是是將將1 , 0n等等分分分點(diǎn)為分點(diǎn)為nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim極限運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算換序得極限運(yùn)算與

10、對(duì)數(shù)運(yùn)算換序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因?yàn)橐驗(yàn)?(xf在區(qū)間在區(qū)間1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xf所所以以)(lnxf在在1 , 0上上有有意意義義且且可可積積 ,對(duì)定積分的對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)， abbadxxfdxxf)()(.說(shuō)明說(shuō)明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小五、定積分的性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)證證 badxxgxf)()(iiin

11、ixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)

12、位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則則假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba

13、上上0)( xf，例例 1 1 比較積分值比較積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(b

14、a 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說(shuō)明：說(shuō)明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6例例 2 2 估估

15、計(jì)計(jì)積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例 3 3 估估計(jì)計(jì)積積分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為極極大大點(diǎn)點(diǎn)，2 x為為極極小小點(diǎn)點(diǎn),22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉

16、區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知?jiǎng)t則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個(gè)點(diǎn)上至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab

17、)( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形的的面面積積。例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 六、小結(jié)六、小結(jié)定積分的實(shí)質(zhì)定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和

18、方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限3定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4典型問(wèn)題典型問(wèn)題（）估計(jì)積分值；（）估計(jì)積分值；（）不計(jì)算定積分比較積分大小（）不計(jì)算定積分比較積分大小思考題思考題將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.思考題解答思考題解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin

19、1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i P235 *2 (2) ; 4(2)，(4) 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 13 (1) , (5) 一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關(guān)，而與有關(guān)，而與_的記法無(wú)關(guān)的記法無(wú)關(guān) . .3 3、 定積分的幾何意義是定積分的幾何意義是_ . .4 4、 區(qū)間區(qū)間 ba ,長(zhǎng)度的定積分表示是長(zhǎng)度的定積分表示是_ . .二、二、 利用定積分的定義計(jì)算由拋物

20、線利用定積分的定義計(jì)算由拋物線,12 xy兩直線兩直線)(,abbxax 及橫軸所圍成的圖形的面積及橫軸所圍成的圖形的面積 . .三、三、 利用定積分的定義計(jì)算積分利用定積分的定義計(jì)算積分 baxdx，)(ba . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、四、 利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列等式：利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要計(jì)算攔水閘門所受的水壓力，已知水利工程中要計(jì)算攔水閘門所受的水壓力，已知閘門上水的閘門上水的是是壓強(qiáng)壓強(qiáng) P的的水深水深 h函數(shù)，且有函數(shù)，且有)(8 . 92米米千千米米hp

21、 ，若閘門高，若閘門高米米3 H，寬，寬米米2 L，求水面與閘門頂相齊時(shí)閘門所受的水，求水面與閘門頂相齊時(shí)閘門所受的水壓力壓力P（見教材圖（見教材圖 5-35-3）. .一、一、1 1、 niiixf10)(lim ； 2 2、被積函數(shù)、被積函數(shù), ,積分區(qū)間積分區(qū)間, ,積分變量；積分變量；3 3、介于曲線、介于曲線)(xfy , ,軸軸x, ,直線直線bxax ,之間之間 各部分面積的代數(shù)和；各部分面積的代數(shù)和；4 4、 badx. .二、二、abab )(3133. .三、三、)(2122ab . .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).練習(xí)題答案練習(xí)題答案觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)