排列組合與概率

1、第十三章排列組合與概率一、基礎(chǔ)知識(shí)1加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m種不同的方法，在第 2類辦法中有ni種不同的方法，在第 n類辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m+mi+m種不同的方法。2. 乘法原理：做一件事，完成它需要分 n個(gè)步驟，第1步有n種不同的方法，第 2步有n 種不同的方法， ，第 n步有n種不同的方法，那么完成這件事共有 N=nx nax x n 種不同的方法。3排列與排列數(shù)：從 n個(gè)不同元素中，任取 n(n< n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫 做從n個(gè)不同元素中取出 n個(gè)元素的一個(gè)排列，從n個(gè)不同元素中取出 n個(gè)(n< n)元

2、素的所有排列個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 n個(gè)元素的排列數(shù)，用 陽(yáng)表示，An= n(n-1)4. N個(gè)不同元素的圓周排列數(shù)為An=(n-1)! n(n-m+1)=n!,其中 m,n N,m< n,(n _n)!注：一般地A0 =1, 0! =1, A = n!。5.組合與組合數(shù)：一般地，從n個(gè)不同元素中，任取 n(n< n)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 n個(gè)元素的一個(gè)組合，即從n個(gè)不同元素中不計(jì)順序地取出n個(gè)構(gòu)成原集合的一個(gè)子集。從 n個(gè)不同元素中取出 n(n< n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同 元素中取出n個(gè)元素的組合數(shù)，用 C：表示：n(n

3、-1)(n - n 1)n!n!n!(n -n)!6.組合數(shù)的基本性質(zhì)：(1)cnn=cni,(2)cnL=Cn+c：；(3)"比：=靂；(4)kCkkkk 1k Ck4Ck n - Ck n 1；nC0 C - V：八 C： =2n ； ( 5 )k =0Cn-1r 4 。k n . nCn Ck _ Cn -n7.定理1:不定方程X1+X2+xn=r的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為證明將r個(gè)相同的小球裝入n個(gè)不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A,不定方程X1+X2+Xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B, A的每個(gè)裝法對(duì)應(yīng)B的唯一一個(gè)解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對(duì)應(yīng)的解也不同，因此為單射。反之B中每一個(gè)解

4、(x 1,x 2,x n),將Xi作為第i個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)，i=1,2,n，便得到A的一個(gè)裝法，因此為滿射，所以是映射，將 r個(gè)小球從左到右排成一列，每種裝法相當(dāng)于從r-1個(gè)空格中選n-1個(gè)，將球分n份，共有C冷種。故定理得證。推論1不定方程X1+X2+xn=r的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 C；.rJ.推論2 從n個(gè)不同元素中任取 m個(gè)允許元素重復(fù)出現(xiàn)的組合叫做n個(gè)不同元素的 m可重組合，其組合數(shù)為CnmmJ.&二項(xiàng)式定理：若 n N+,則(a+b) n=C0an + cnanb + cfab2 + +cnanbr + C：bn 其中第r+1項(xiàng)Tr+i = cnan_rbr,cn叫二項(xiàng)式系數(shù)。

5、9隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件 A發(fā)生的頻率m總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)叫做事件nA發(fā)生的概率，記作 p(A),0 < p(A) w 1.10. 等可能事件的概率，如果一次試驗(yàn)中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率為p(A)=11.互斥事件：n不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件 A,A,，A彼此互斥，那么 A1, A2,，An中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為p(A計(jì)Az+An)= p(A 1)+p(A 2)+ +p(An).12 .對(duì)立事件：事件 A, B

6、為互斥事件，且必有一個(gè)發(fā)生，則A, B叫對(duì)立事件，記 A的對(duì)立事件為A。由定義知p(A)+p( A )=1.13. 相互獨(dú)立事件：事件 A (或B)是否發(fā)生對(duì)事件 B (或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的 兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。14. 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。即p(A?B)=p(A) ?p(B).若事件A , A,，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā) 生的概率為 p(A1?A2?An)=p(A 1) ?p(A2) ?p(An).15. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果 則稱這n次試驗(yàn)

7、是獨(dú)立的.16. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：如果在一次試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生 k次的概率為pn(k)= Cn?pk(1-p) n-k.17. 離散型隨機(jī)為量的分布列：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫隨機(jī)變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)E就是一個(gè)隨機(jī)變量，E可以取的值有0,1,2,10 。如果隨機(jī)變量的可能取值可以列出，這樣的隨機(jī)變量叫離散型隨機(jī)變量。一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量E可能取的值為X1,X2，,xi,E取每一個(gè)值Xi(i=1,2,)的概率p( E =Xi)=pi，則稱表EX1X2X3Xipp1p2P3pi為隨機(jī)變量E的概率分

8、布，簡(jiǎn)稱E的分布列，稱EE =X1P1+X2P2+Xnpn+為E的數(shù)學(xué)期望或平均值、均值、簡(jiǎn)稱期望，稱DE =(X1-E E )2?p1+(x2-E E )2 ?p2+(x n-E E )2pn+為E的均方差，簡(jiǎn)稱方差。D 叫隨機(jī)變量E的標(biāo)準(zhǔn)差。18. 二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為p( E =k)= Cn；pkqn-, E的分布列為E01XiNpx-x 0 0 nCnP qC11 nJ.Cn p qk k n_kCn p qc n nCn p此時(shí)稱E服從二項(xiàng)分布，記作 EB(n,p).若EB(n,p)，貝U E E =n

9、p,D E =npq,以上q=1-p.19. 幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所做試驗(yàn)的次數(shù)E也是一個(gè)隨機(jī)變量，若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率為p，則p( E =k)=qk-1p(k=1,2，),E的分布服從幾何分布，EE =- , DE q2(q=1-p).pp二、方法與例題1乘法原理。例1有2n個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每?jī)蓚€(gè)人結(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？解將整個(gè)結(jié)對(duì)過(guò)程分 n步，第一步，考慮其中任意一個(gè)人的配對(duì)者，有2n-1種選則；這一對(duì)結(jié)好后，再?gòu)挠嘞碌?n-2人中任意確定一個(gè)。第二步考慮他的配對(duì)者，有2n-3種選擇，這樣一直進(jìn)行下去，經(jīng)n步恰好結(jié)n對(duì)，由乘法原

10、理，不同的結(jié)對(duì)方式有(2n-1) x (2n-3) x-x 3X 仁 (2n)!.2n (n!)2加法原理。例2圖13-1所示中沒(méi)有電流通過(guò)電流表，其原因僅因?yàn)殡娮钄嗦返目赡苄怨灿袔追N？解斷路共分4類：1) 一個(gè)電阻斷路，有1種可能，只能是R4; 2)有2個(gè)電阻斷路，有23C4-1=5種可能；3) 3個(gè)電阻斷路，有 C4=4種；4)有4個(gè)電阻斷路，有1種。從而一共有1+5+4+1=11種可能。3. 插空法。例3 10個(gè)節(jié)目中有6個(gè)演唱4個(gè)舞蹈，要求每?jī)蓚€(gè)舞蹈之間至少安排一個(gè)演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？解先將6個(gè)演唱節(jié)目任意排成一列有A6種排法，再?gòu)难莩?jié)目之間和前后一共7個(gè)位置

11、中選出4個(gè)安排舞蹈有 A種方法，故共有 A A =604800種方式。4. 映射法。例4如果從1, 2,，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時(shí)滿足：a2-a 1 >3,a 3-a2> 3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？解 設(shè) S=1,2，,14 , S' =1 , 2，,10; T=(a 1,a 2,a 3)| a 1 ,a 2,a 3 S,a2-a 13,a 3-a 2IIIIIIIIIIII3, T =( 91,82,93) S'| 81,82,S', a : a2 ： a3 ,若 ,a2,a3) T',令a1 a1,aa2

12、2,aa3 4，則(a1,a2,as) t,這樣就建立了從T'到t的映射，它顯然是單射，其次若(a i,a 2,a3) T,令 ai =印，a2 = a2 -2, a3 = a3 -4，則(a1 ,a2,a3) T',從而此映射也是滿射，因此是映射，所以 |T|= |T'C13o=120，所以不同取法有120種。5. 貢獻(xiàn)法。例5已知集合A=1 , 2, 3,，10，求A的所有非空子集的元素個(gè)數(shù)之和。解設(shè)所求的和為x,因?yàn)锳的每個(gè)元素a,含a的A的子集有29個(gè)，所以a對(duì)x的貢獻(xiàn)99為 2 ,又 |A|=10。所以 x=10 X 2.另解A 的k元子集共有 C：個(gè)，k=1

13、,2,10，因此，A的子集的元素個(gè)數(shù)之和為Ci1。+2Ci： +IOC11； =10(C； +C； +C；) = 1OX 2。6. 容斥原理。例6由數(shù)字1, 2, 3組成n位數(shù)(n > 3)，且在n位數(shù)中，1, 2, 3每一個(gè)至少出現(xiàn)1次, 問(wèn)：這樣的n位數(shù)有多少個(gè)？解用I表示由1, 2, 3組成的n位數(shù)集合，則|l|=3 n,用A1, A2, A3分別表示不含1, 不含2 ,不含3的由1 , 2 , 3組成的n位數(shù)的集合，則|Ai|=|A 2|=|A 3|=2n , |Ai A2|=|A 2 A3|=|A i A|=1。|Ai A As|=0。3所以由容斥原理|Ai AA3|=7 IA

14、iI I AAj|AA2A31=3X2n-3.所以滿iTi曲足條件的n位數(shù)有|I|-|A i A A|=3n-3 X 2n+3個(gè)。7. 遞推方法。例7用1, 2, 3三個(gè)數(shù)字來(lái)構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個(gè)緊挨著的 1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問(wèn): 能構(gòu)造出多少個(gè)這樣的 n位數(shù)？解設(shè)能構(gòu)造an個(gè)符合要求的n位數(shù)，則ai=3，由乘法原理知a2=3X 3-仁8.當(dāng)n3時(shí)：1)如果n位數(shù)的第一個(gè)數(shù)字是2或3，那么這樣的n位數(shù)有2an-i ； 2)如果n位數(shù)的第一個(gè)數(shù)字是1,那么第二位只能是2或3,這樣的n位數(shù)有2an-2，所以an=2(an-i +an-2)(n > 3).這里數(shù)列a n的特征方程為x2=2

15、x+2，它的兩根為xi=1+3 ,x 2=1- i 3 ,故an=ci(1+ , 3 ) n+C2(1+J3)n,由 ai=3,a 2=8得 G =, c2 = y 3 _2, 所 以2 晶 273例 8 m,n,r Nk,證明：ci =c；cm +cncm“ +c；cm，+ +c；cm.an&算兩次。證明(1-、3)n 2.從n位太太與m位先生中選出r位的方法有C： .m種；另一方面，從這 n+m人中選出k位太太與r-k位先生的方法有 C：Cm*種，k=0,1,r。所以從這n+m人中選出r位的0 ri r ir 0方法有CnCm +CnCm +CpCm種。綜合兩個(gè)方面，即得式。9母函

16、數(shù)。例9 一副三色牌共有32張，紅、黃、藍(lán)各10張，編號(hào)為1, 2,，10,另有大、小王各 一張，編號(hào)均為0。從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計(jì)算分值：每張編號(hào)為k的牌計(jì)為2k分，若它們的分值之和為 2004,則稱這些牌為一個(gè)“好牌”組，求好牌組的個(gè)數(shù)。用an表示分值之和為n的牌組的數(shù)目，則an等于函數(shù)解 對(duì)于 n 1,2,2004,f(x)=(1+x20)2?(1+ x21)3警?(1+ x210 )3的展開(kāi)式中xn的系數(shù)(約定|x|<1 ),由于f(x)=丄1 +x(1 +20x )(1 +x21)?(1+210x3)=(1x)(1 x)3(1x2 )31132 )3。1而0 &l

17、t; 2004V211 ,所以an等于12 2(1-x )(1-x)的展開(kāi)式中xn的系數(shù)，又由于1 = 1 ? 12 2 2 ° 2 (1 _x )(1 _x) 1-x (1 _x)=(1+x2+x3+ +x2k+ )1+2x+3x 2+ +(2k+1)x 2k+ ,所以x2k在展開(kāi)式中的系數(shù)為a2k=1+3+5+(2k+1)=(k+1) 2,k=1,2,從而，所求的“好牌”組的個(gè)數(shù)為 a2oo4=10032=1006009.10組合數(shù)Ck的性質(zhì)。例10 證明：C；m是奇數(shù)(k > 1).證明mmmmm 只_ k _ (2 -1)(2 -2) (2 -1-k 1) 2-12-2

18、 5一-12： kt.i= 2 i ?p (1<i<k), pi為奇數(shù)，則 Um;2i Pii2i Pi2mPL，它的分子、分母均Pi為奇數(shù)，因C；m4是整數(shù)，所以它只能是若干奇數(shù)的積，即為奇數(shù)。例11對(duì) n>2,證明：2n : C；：4n.證明1 )當(dāng) n=2 時(shí)，22<C：=6<42； 2)假設(shè)n=k時(shí)，有2k<C；k<4k,當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閗 1C2(k 1)2(k1)!2 (2k1)! _(k 1)!(k1)! (k 1)!k!2(2k1)k 1C2k.,k 1:4又 2 ：2(2k J)<4,所以 2k+1<2C；k 2罷 d

19、 ： 4C； k 1所以結(jié)論對(duì)一切 n2成立。11. 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。例12 若n N, n >2,求證:3. 首先 1 +二 Cn0 - C11 Ci Jn- -C：1n 2,其次因?yàn)閚C：n(n -1) (n -k 1)1 .1k(k _1)k!1k 一11*k_2)，所以f n1、1 -n2+C212n1133得證。n1 nn例13證明首先，對(duì)于每個(gè)確定的k,等式左邊的每一項(xiàng)都是兩個(gè)組合數(shù)的乘積,其中cm,是(1+x)n-k的展開(kāi)式中xm-h的系數(shù)。Cih是(1+y) k的展開(kāi)式中yk的系數(shù)。從而c?ck就是(1+x)n-k?(1+y) k的展開(kāi)式中xm-hyh的系數(shù)。曰是,nk

20、 =0nck1就是v (1 x)nA(V y)k展開(kāi)式中xm-hyh的系數(shù)。kzQ另一方面n'(1 x)2(1 y)kk =e(1 x)n1 -(1y)n 1(1 x) -(1y)n 1k k Cn 1Xk 二0n 1k k Cn 1 y k=0n 1k k x - Cn 1x ?心x - yk n 1-yk k-1k-2=Cn 1 (x +Xk =0y+y"1)，上式中，乂"»項(xiàng)的系數(shù)恰為cn。n證明：無(wú) Cmf C；蘭 m E n).k=0n所以cmr c：二cm;.k =012. 概率問(wèn)題的解法。例14如果某批產(chǎn)品中有 a件次品和b件正品，采用有放回

21、的抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品,號(hào)，有放回抽n次，把可能的重復(fù)排列作為基本事件，總數(shù)為(a+b) n 。設(shè)事件A表示取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件是次品，則事件 A所包問(wèn)：恰好有k件是次品的概率是多少？解把k件產(chǎn)品進(jìn)行編旦(即所有的可能結(jié)果)含的基本事件總數(shù)為C：?akbn-k，故所求的概率為p(A)=k k n -kCn a b(a b)n例15將一枚硬幣擲 率相同，求恰好三次正面朝上的概率。解 設(shè)每次拋硬幣正面朝上的概率為5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概p，則擲 5次恰好有 k次正面朝上的概率為Cs pk(1-p) 5-k(k=0,1,2,5)，由題設(shè) C；p2(1

22、- p)314二 C5 P(1 - P)，且 0<P<1，化簡(jiǎn)得p =-，所以恰好有3次正面朝上的概率為3240343例16甲、乙兩個(gè)乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為 0.6 ,乙勝的概率為0.4，比賽時(shí)可以用三局二勝或五局三勝制，問(wèn)：在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能 性大？解(1)如果采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：Ai 2： 0 (甲凈勝二局)，A2: 1 (前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝).p(Ai)=0.6 X 0.6=0.36,p(A 2)= C； X 0.6 X 0.4X 0.6=0.288.因?yàn)锳i與A2互斥，所以甲勝概率為p(Ai+A)=0

23、.648. 如果采用五局三勝制，則甲在下列三種情況下獲勝：Bi3: 0 (甲凈勝3局)，B2 3: 1(前3局甲2勝i負(fù)，第四局甲勝)，B33: 2 (前四局各勝2局，第五局甲勝)。因?yàn)锽,3222R,B2互斥，所以甲勝概率為 p(Bi+B2+B3)=p(B i)+p(B 2)+p(B 3)=0.6 +C3 X 0.6 X 0.4 X 0.6+ C4X 0.6 2X 0.4 2 X 0.6=0.68256.由(i), (2)可知在五局三勝制下，甲獲勝的可能性大。例i7 有A, B兩個(gè)口袋，A袋中有6張卡片，其中i張寫有0, 2張寫有i , 3張寫有2; B 袋中有7張卡片，其中4張寫有0, i

24、張寫有i , 2張寫有2。從A袋中取出i張卡片，B袋 中取2張卡片，共3張卡片。求：(i)取出3張卡片都寫0的概率；(2)取出的3張卡片數(shù) 字之積是4的概率；(3)取出的3張卡片數(shù)字之積的數(shù)學(xué)期望。解(i)C； C：p i 2c6 c；ci c； +c3 ci C2c6 C763'(3)記E為取出的3張卡片的數(shù)字之積，則 E的分布為0248p37241426363423724i32所以 E < =024842636342 63三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 三邊長(zhǎng)均為整數(shù)且最大邊長(zhǎng)為11的三角形有個(gè)。2. 在正2006邊形中，當(dāng)所有邊均不平行的對(duì)角線的條數(shù)為 。3用1, 2, 3,，9這九個(gè)數(shù)

25、字可組成 個(gè)數(shù)字不重復(fù)且8和9不相鄰的七位數(shù)。4. 10個(gè)人參加乒乓球賽，分五組，每組兩個(gè)人有 種分組方法。5 以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是 。6 今天是星期二，再過(guò) 101000天是星期 。7由(J3x+2)i00展開(kāi)式所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有 項(xiàng)。&如果凸n邊形(n > 4)的任意三條對(duì)角線不共點(diǎn)，那么這些對(duì)角線在凸n邊形內(nèi)共有個(gè)交點(diǎn)。9. 袋中有a個(gè)黑球與b個(gè)白球，隨機(jī)地每次從中取出一球(不放回) ，第k(1 < kw a+b)次 取到黑球的概率為。10. 個(gè)箱子里有9張卡片，分別標(biāo)號(hào)為1 , 2,，9,從中任取2張，其中至少有一個(gè)為 奇數(shù)的概率

26、是。11某人拿著5把鑰匙去開(kāi)門，有 2把能打開(kāi)。他逐個(gè)試，試三次之內(nèi)打開(kāi)房門的概率是O12馬路上有編號(hào)為1, 2, 3,，10的十盞路燈，要將其中三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相 鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)是。13. a,b,c,d,e 五個(gè)人安排在一個(gè)圓桌周圍就坐，若a,b不相鄰有種安排方式。14已知 i,m,n 是正整數(shù)，且 1<i < m< n。證明：（1）卄兒：:：mA：; （2） （1+m）n>（1+ n）15. 一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子 n次，如果這n次拋擲所得到的點(diǎn)數(shù)之和大于2n,則算過(guò)關(guān)。問(wèn)：（1）某人在

27、這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)？ （2）他連過(guò)前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有1, 2, 3, 4, 5, 6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體）四、高考水平訓(xùn)練題1. 若n 1,2,100且n是其各位數(shù)字和的倍數(shù)，則這種 n有個(gè)。2. 從-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取3個(gè)不同元素作為二次函數(shù) y=ax Jx 1 *的展開(kāi)式按降幕排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開(kāi)式 24 x+bx+c的系數(shù)，能組成過(guò)原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一或第三象限的拋物線有 條。3. 四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中任取 4個(gè)不共面的點(diǎn)，有 種取法。4三個(gè)人傳球，從甲開(kāi)始發(fā)球，每次接球后將球傳給另外兩人中的任意

28、一個(gè)，經(jīng)5次傳球后，球仍回到甲手中的傳法有 種。6 將二項(xiàng)式1公頃）？（糧食單產(chǎn)總產(chǎn)量耕地面積5. 條鐵路原有 m個(gè)車站（含起點(diǎn)，終點(diǎn)），新增加n個(gè)車站（n>1）,客運(yùn)車票相應(yīng)地增加 了 58種，原有車站有個(gè)。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1. 若 0<a<b<c<d<500，有個(gè)有序的四元數(shù)組 (a,b,c,d )滿足 a+d=b+c 且 bc-ad=93.2. 已知直線ax+by+c=O中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3 中的3個(gè)不同的元素，并且該直線傾斜角為銳角，這樣的直線條數(shù)是 。3. 已知 A=0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6

29、, 7，映射 f:A A滿足：(1)若 i 工j，則 f(i)工f(j);(2)若i+j=7，貝U f(i)+f(j)=7，這樣的映射的個(gè)數(shù)為 。4. 1, 2, 3, 4, 5 的排列 a1,a 2,a 3,a 4,a 5具有性質(zhì)：對(duì)于 1 < i < 4,a1,a 2,a i 不構(gòu)成 1, 2,， i的某個(gè)排列，這種排列的個(gè)數(shù)是 。5. 骰子的六個(gè)面標(biāo)有1 , 2，6這六個(gè)數(shù)字，相鄰兩個(gè)面上的數(shù)字之差的絕對(duì)值叫變差， 變差的總和叫全變差V,則全變差 V的最大值為 ，最小值為 。6. 某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每?jī)擅x手恰比賽一場(chǎng)，但有3名選手各比賽2場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部

30、比賽只進(jìn)行50場(chǎng)，上述三名選手之間比賽場(chǎng)數(shù)為 。7. 如果a,b,c,d 都屬于1,2,3,4 且a* b,b豐c,c豐d, d* a;且a是a,b,c,d 中的最小值，則不同的四位數(shù) abcd的個(gè)數(shù)為。&如果自然數(shù)a各位數(shù)字之和等于 7,那么稱a為“吉祥數(shù)”，將所有的吉祥數(shù)從小到大排 成一列 a1,a 2,a 3,若 an=2005，則 an=。2n-Lk9 .求值：v (_1)kk =。k AC2n110. 投擲一次骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1 , 2，6的概率均為一，連續(xù)擲10次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和6是30的概率為。11. 將編號(hào)為1 , 2，9這九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各有一個(gè)小球，設(shè)周圍上所有相鄰兩球的號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為S,求S達(dá)到最小值的放法的概率(注：如果某種放法經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一放法重合，則認(rèn)為是相同的放法)。12. 甲、乙兩人輪流向同一目標(biāo)射擊，第一次甲射擊，以后輪流射擊，甲每次擊中的概率為 p(0<p<1)，乙每次擊中的概率為 q(0<q<1)，求甲、乙首先擊中的概率各是多少？13 .設(shè) m,n N,0<mw n,求證：2心。初'鳥(niǎo)“七；20Crm = C：； ' C：六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1. 100張卡片上分別寫有數(shù)字1到100, 位魔術(shù)師把這100張卡片放入顏色