導(dǎo)數(shù)解答題之極值點(diǎn)偏移問題教師版

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題之極值點(diǎn)偏移問題1. （ 2013 湖南文 21) 已知函數(shù) f ( x)1xexx21( ) 求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 ;( ) 證明 : 當(dāng) f ( x1 ) f ( x2 )( x1x2 ) 時(shí) , x1x2 0.2.(2010 天津理 21）已知函數(shù)f ( x)xe x（ xR) .( ) 求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間和極值；( ) 已知函數(shù) yg(x) 的圖象與函數(shù)yf (x) 的圖象關(guān)于直線x 1 對(duì)稱，證明當(dāng) x1 時(shí)， f ( x) g ( x)( ) 如果 x1x2 , 且 f (x1)f (x2 ), 證明 x1x22【解析】（）解：f ( x)(1

2、x)ex令 f (x)=0, 解得 x=1當(dāng) x 變化時(shí)， f (x) ， f(x)的變化情況如下表X(,1 )1(1,)f (x)+0-f(x)極大值所以 f(x)在 (,1 ) 內(nèi)是增函數(shù)，在 ( 1,) 內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù) f(x)在 x=1 處取得極大值 f(1)且 f(1)=1e（）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)ex 2令 F(x)=f(x)-g(x),即 F ( x)xe x( x2) ex2于是 F '( x)( x1)(e2 x 2 1)e x當(dāng) x>1 時(shí)， 2x-2>0,從而 e2x-210, 又 e x0, 所以 F (

3、x)>0, 從而函數(shù) F（ x ）在 1,+ ) 是增函數(shù)。又 F(1)=e-1e-10，所以 x>1時(shí)，有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x). ) 證明：（ 1）若 ( x1 1)(x21)0,由（ ）及 f(x 1)f(x 2 ),則 x1x21.與 x1x2矛盾。（ 2）若 (x11)( x21)0,由（ ）及 f(x 1)f(x 2 ), 得 x1x2 .與 x1x2 矛盾。根據(jù)（ 1）（ 2）得 ( x11)(x21) 0,不妨設(shè) x11,x21.由（）可知，f(x 2 ) > g(x 2 ) , 則 g(x 2 ) = f(2-x2 )

4、，所以 f(x 2 ) > f(2-x 2 ) , 從而 f(x1 ) > f(2-x2).因?yàn)閤2 1，所以 2x21，又由 （）可知函數(shù)f(x) 在區(qū)間 （ - ， 1）內(nèi)事增函數(shù)，所以 x1 > 2x2 , 即 x1x2 >2.3. 已知函數(shù) fxln xa2 x（ 1）討論 fx的單調(diào)性；（ 2）若函數(shù)yfx 的兩個(gè)零點(diǎn)為x1 , x2 x1x2 ，證明： x1x2 2a 試題分析：（1）首先求出函數(shù) f x的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而得出所求的結(jié)果；（ 2）首先由函數(shù)yf x的兩個(gè)零點(diǎn)為 x1 , x2x1 x2并結(jié)合（ 1）可得 0 x

5、1 ax2，然后構(gòu)造函數(shù) g (x) f (x) f (2a x)，并利用其導(dǎo)函數(shù)求出其函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出所證的結(jié)果.試題解析：（）f(x)，（ x 0），所以當(dāng) a 0 時(shí)， f(x) 0， f ( x)在 (0 ， )上單調(diào)遞增；當(dāng) a 0 時(shí)， f (x)在 (0， a)上單調(diào)遞減，在 (a， )上單調(diào)遞增（）若函數(shù)y f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)為 x1 ， x2（ x1 x2），由（）可得0 x1 a x2令 g (x) f (x) f (2a x)，（ 0 x a）則 g(x) f(x) f(2a x) (x a) 0，所以 g (x)在 (0， a)上單調(diào)遞減， g (x) g (a

6、) 0，即 f (x) f (2a x) 令 x x1 a，則 f (x1) f (2a x1 )，所以 f (x2) f (x1) f (2a x1)，由（）可得 f (x)在( a， )上單調(diào)遞增，所以 x2 2a x1，故 x1 x2 2a4. （ 2016 福州五校下學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù) f ( x)x ln xk（ kR ），其圖象與 x 軸交于不同的兩點(diǎn)xA(x1,0) ， B( x2 ,0) ，且 x1x2 （ 1）求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；（2）證明： x12x2e5已知函數(shù) f xx ln xa x2xa( aR ）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)2（）求 a 的取值范圍；（

7、）設(shè)f ( x) 兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 x1 , x2 ，證明 : x1 x2 e2 解： ( ) 依題，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以方程在有兩個(gè)不同根.即，方程在有兩個(gè)不同根 1 分令，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，而（） 2 分.34.56x1x2.7x1x2e2ln x1ln x22a x1x2 2lnx1 2x1x28x2x1x2x1ttx12 x1x2ln t2 t 191 lnx1x2t1x2x22 t1t1設(shè) g t ln t1,t 1 ， g ' t1tt t22 0 ， 函 數(shù) gt 在1,上單調(diào)遞增，10 分 g tg 10，即 不 等 式 ln t2t 111 分t1成 立

8、，故 所 證 不 等 式 x1 x2e2成 立 12 分6已知函數(shù)f (x)ln x1， g ( x) ax b x（ 1）若函數(shù) h( x)f ( x)g ( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（ 2）若直線 g (x)axb 是函數(shù) f ( x)1圖象的切線，求 ab 的最小值；ln xx（ 3）當(dāng) b0 時(shí)，若 f ( x) 與 g( x) 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，求證：2x1 x2 2e【答案】（1） a0；（ 2） 1；（ 3）證明見解析【解析】試題分析：（ 1）借助函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值是非負(fù)數(shù)建立不等式求解；（2）將參

9、數(shù) a, b 用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示, 再借助導(dǎo)數(shù)求最小值；（3）先分析轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù), 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行推證.試題解析：（1） h( x) f ( x) g( x) (ln x1 )(ax b) ln x1ax b ，xxh ( x)11a .xx2h(x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增，( 0,) ， h (x)11a0 恒成立xx 2即( 0,) ， a11恒成立x2xmin令 H ( x)11(1 1)21 ，x 0 ，10 ，x2xx24xx 0 時(shí)， H ( x)0 ， a 0 .（ 2）設(shè)切點(diǎn)為( x0 , y0 ) ，則 a11，x02x0又 ax0b ln x01bln x02

10、，1 ，x0x0ab11ln x01 ，x 2x00令 ( x)11ln x1 ，則( x)111 ( x 2)(x 1)x2xx3x2xx3當(dāng)( x)0時(shí)， x(1,) ，所以( x) 在 (1,) 上單調(diào)遞增；當(dāng)(x)0 時(shí)， x( 0,1) ，所以( x)在 (0,1)上單調(diào)遞減 .當(dāng) x1 時(shí)，( x) 取得最小值，為1，即 ab 的最小值為1.ln x11ax1x1（ 3）證明：由題意得1ln x2ax2x2得： ln( x1x2 )x1x2a( x1x2 ) x1x2x2得： ln x2x1x2lnx11a(x2x) ，即ax1x1x21x2x1x1x2ln x2代入得： ln(

11、x x )x1x2(x11)( xx) ，12x1 x2x2x112x1 x2即 ln( x1x2 )2( x1x2 )x1x2 ln x2 ，x1x2x2x1x1不妨令 0x1x21 ，x2 ，記 tx1令 F (t )ln t2(t1) (t 1) ，則 F (t)(t1) 20 ，t1t(t1)F ( t)ln t2(t1)在 (1,) 上單調(diào)遞增，則2(t1)t1F (t ) ln tF(1) 0，t1ln t2(t1)x22(x2x1 )，t，故 lnx1x1x21ln( x1 x2 )2(x1x2 )x1x2 ln x22 .x1x2x2x1x1又 ln( x x)2( x1x2

12、)12x1x22 lnx1 x24x1 x2令 G( x)2，則 xln xxG( x)2ln x在 (0,x4 x1 x24ln( x1 x2 )2 ln x1 x2x1x2x x122 ，即 ln x1x221 ，x1 x20120 ，時(shí)， G ( x)x2x) 上單調(diào)遞增，又 ln 2e21 ln 2120.8312e2eG( x1 x2 ) ln x1 x221 ln 2e2x1x22ex1 x2，2e考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及在研究函數(shù)的單調(diào)性最值中的應(yīng)用7.(2017 屆武昌區(qū)元月調(diào)考理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f (x)1 x2(1 a)xa ln x2（ 1）討論 f ( x) 的單調(diào)性；（ 2）設(shè)

13、a0，證明：當(dāng)0 xa 時(shí)， f (a x)f (a x) ；（ 3）設(shè) x1, x2是 f ( x) 的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：f ' ( x1x2 )0 .a x228已知函數(shù)f (x)x ln xxa (aR) 在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)2（ 1）求 a 的取值范圍；（ 2）記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1 , x2 ，且 x1x2 已知0 ，若不等式 e1x1 x2恒成立，求的范圍試題解析：（1）依題，函數(shù)f ( x) 的定義域?yàn)?0,) ，所以方程f (x)0在 (0,) 有兩個(gè)不同根，即，方程ln x ax0在 (0,) 有兩個(gè)不同根轉(zhuǎn)化為，函數(shù)ln x) 上有兩個(gè)不同交點(diǎn)g( x)與函

14、數(shù) y a 的圖像在 (0,x1ln x，即 0x e 時(shí)， g (x) 0, xe時(shí)， g ( x)0 ，又 g ( x)x2所以 g(x) 在 (0, e) 上單調(diào)增，在 (e,) 上單調(diào)減從而 g( x) 最大g (e)1 ，e又 g(x) 有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在 x0 時(shí)， g( x)，在 x時(shí)， g(x)0 ，所以 g( x) 的草圖如下，可見，要想函數(shù)g( x)ln xya 的圖像在 (0,) 上有兩個(gè)不 同交點(diǎn)，只須 01與函數(shù)axe（ 2）因?yàn)?e1x1x2 等價(jià)于 1ln x1ln x2 由（ 1）可知 x1 , x2 分別是方程ln x ax 0 的兩個(gè)根，即 ln x

15、1 ax2 ,ln x2ax2 ，所以原式等價(jià)于1ax1ax2a(x1x2 ) ，因?yàn)?,0x1x2 ，所以原式等價(jià)于a1x1x2ln x1又由 ln x1ax1 ,ln x2ax2 作差得， lnx1a( x1x2 ) ，即 ax2 x2x1x2ln x11所以原式等價(jià)于x2，x1x2x1x2因?yàn)?0x1x2 ，原式恒成立，即ln x1(1)( x1x2 ) 恒成立x2x1x2令 tx1， t(0,1) ，x2則不等式 ln t(1)(t1) 在 t(0,1) 上恒成立t令 h(t )ln t(1)(t1) ，t又 h (t )1(1) 2(t 1)(t2 )，t(t) 2t(t)2當(dāng)21時(shí)

16、，可見 t(0,1) 時(shí)， h (t )0 ，所以 h(t) 在 t(0,1) 上 單調(diào)增，又 h(1)0 ， h(t)0 在 t (0,1)恒成立，符合題意當(dāng)21時(shí)，可見 t(0, 2 ) 時(shí)， h (t )0, t ( 2 ,1) 時(shí)， h (t )0 ，所以 h(t )在 t (0,2 ) 時(shí)單調(diào)增 ，在 t( 2 ,1) 時(shí)單調(diào)減，又 h(1)0 ，所以 h(t ) 在 t(0,1)上不能恒小于0，不符合題意，舍去綜上所述，若不等式e1x1x2恒成立，只須21 ，又0 ，所以1 9已知函數(shù)f xln xx2ax ， x1, x2 是函數(shù) fx 的兩個(gè)零點(diǎn)，且 x1x2 ，（ 1）討論函

17、數(shù) f x 的單調(diào)性；（ 2）求 a 的取值范圍；（ 3）設(shè) fx是函數(shù) fx的導(dǎo)函數(shù)，求證fx1x202試題分析： （ 1）討論單調(diào)性，先導(dǎo)數(shù)f'(x) ，然后解得方程f '(x0 )0在 (0,) 上的解 x0 ，通過 f '( x) 的正負(fù)確定 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（2）由（ 1）知 x0 是 f (x) 的極大值點(diǎn)，因此只要f (x0 )0 ，就能保證f ( x) 有兩個(gè)零2x021， 因 此 可 由 f (x0 )0 求 得 x0 的 取 值 范 圍 ， 再 求 得 a 范 圍 ； （ 3 ） 首 先 由點(diǎn) ， 注 意 到 ax0f ( x1 )f (

18、x2 ) 0x1x2=2x1x2a 并 整 理 得， 用 x1 , x2 表 示 出 a ， 再 求 得 f2x2x12 x2x1x2x1x2ln2 x2x1x2x2x1，此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)只要證0，此式證明可用換元法，設(shè)t1 ，再利用x2 x1x1x2lnx1x1函數(shù)的性質(zhì)證明1） fx1a2x2ax10試題解析：（2xxx2令 fx00，則 2x02ax01=0 ， x0aa2804當(dāng) x0, x0時(shí)， fx0 ， fx 單調(diào)遞增；當(dāng) xx0 ,時(shí)，fx0， fx單調(diào)遞減（ 2）由于函數(shù)f x存在兩個(gè)零點(diǎn)，fx max022 x 21由（ 1）可知 fx maxfx0=ln x0x0ax0，且 a

19、0x02在，為增函數(shù)，且， a2x021=2x11g x0ln x0x010由于x0x0所以 a 的取值范圍是1，+方法二：函數(shù)fxln xx2ax 有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程ln xx2ax0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即ax2ln x 有x兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 ， 設(shè) g xx2ln x， 則 gxx21 ln x， 設(shè)p xx21 ln x, p 1 0 ， 且xx2p xx21ln x 單調(diào)遞增，x0,1 時(shí)， px21ln x0 ， gx0 ， gx單調(diào)遞減xx1,時(shí)， pxx21ln x0 ， gx0 ， gx單調(diào)遞增（ 3）由于 x1 , x2 是函數(shù) fx的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1x2所以， ln x1x1

20、2ax10,ln x2x22ax20x2ln x2兩式相減得：ln22ax2x10，ax1x2x1x1x2x1x2x1x1x22 x2x1x2x22x21要證明0，只需證ln0，即只需證x1f2x1x2x1lnx2x11x12t1t2設(shè) x2t 1 ，構(gòu)造函數(shù)h tln tt1410t, h2t t2x11tt11h t在1，+單調(diào)遞增，h tln t2 t1h 10t12x21lnx2x1，fx1x20x1x221x1考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用10. （ 2014 襄陽(yáng)市三月考試）已知函數(shù)f ( x)a ln xx2（ 1）當(dāng) a2 時(shí)，求函數(shù) yf ( x) 在 1 ,2 的

21、最大值；2a 的取值范圍；（ 2）令 g (x)f ( x) ax ，若 yg( x) 在區(qū)間（ 0， 3）上不是單調(diào)函數(shù)，求（ 3）當(dāng) a2時(shí)，函數(shù) h(x)f ( x)mx 的圖象與 x 軸交于兩點(diǎn)A(x1,0) ， B( x2 ,0) ，且 0x1x2 ，又 h' (x)是 h(x) 的導(dǎo)函數(shù)若正常數(shù),滿足條件1,，證明： h' (ax1x2 )0222x2解：當(dāng) a=2 時(shí)，f (x)2 xxx函數(shù) y=f(x)在1，1 是增函數(shù)，在 1 ，2 是減函數(shù)3 分2所以 f (x)maxf (1) 2ln x1 =14 分(2) 解： g( x)a ln xx2ax ， g

22、 ( x)a2 xa5 分x g(x)因?yàn)樵趨^(qū)間 (0， 3) 上不是單調(diào)函數(shù)，g (x)0在 (0 ，3) 上有實(shí)數(shù)解，且無重根由 g ( x) 0 得： 2x2axa=0，有 a2x22( x1x1)4 (0，9 ) ， x (0， 3)6 分x 112又當(dāng) a=8 時(shí)， g (x)0 有重根 x= 2； a=0時(shí)， g (x)0有重根 x=07 分綜上， a 的取值范圍是(0，9) 8 分2(3) 解：當(dāng) a=2 時(shí)， h( x) 2 ln x x2mx ，h (x)22xmx h(x)= f(x)mx 的圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A(x1，0) ，B(x2， 0)f(x)mx=0 有兩個(gè)

23、實(shí)根x1、 x2， 2ln x1x12mx10 ，兩式相減得：2(ln xln x )( x2x2 )m(xx)2ln x2x22mx20121212 m2(ln x1ln x2 )( x1 x2 )9 分x1x2于是 h ( x1x2 )22( x1x2 )2(ln x1ln x2 )(x1x2 )x1x1x2x222(ln x1ln x2 )(21)(x2x1 ) 10 分x1x2x1x21， ，21(21)(x2x1 ) 0要證： h (xx)0 ，只需證：22(ln x1ln x2 )012x1x2x1x2只需證：x1x2lnx10 (*)11分x1x2x2令 tx1(0< t&

24、lt;1) ，(*) 化為1t0x2tln t令 u (t)ln t1t11t，則 u (t)(t2t)t1 (1 t ) 11 t1 t t，即 ( t)2t 12 分22 1( t12u (t ) 112013分t)t( t) u(t)在 (0， 1) 上單調(diào)遞增， u(t)< u(1)=0 ln t1 t0 ，即x1x2lnx10tx1x2x2 h ( x1x2 ) 0 14 分11已知函數(shù)f ( x)ln xmx(m為常數(shù)）（）討論函數(shù)f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)322x1，x2（x1x2 )2m時(shí)，設(shè)g( x) 2 f (x) x的兩個(gè)極值點(diǎn)恰為h( x) ln x cxbx的零，2點(diǎn)，求 y ( x1x2 )h' ( x1x2 ) 的最小值2試題分析： （）求解 f (x)1m1mx ( x 0) ，分 m 0, m 0, m 0 三種情況分類討論求解函數(shù)的單xx調(diào)區(qū)間；（）