“12345模型”

1、【中考數(shù)學(xué)專題】特殊角的妙用“12345模型”幾何圖形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些特殊角，熟悉的有30 、 45 、 60 等等，特殊角往往伴隨著固有屬性運(yùn)用于題目中 ，也是解題思路來(lái)源之一。比如看到30 角我們會(huì)想到1：2，45 角總是跟等腰直角三角形說(shuō)不清道不明，60 甚至能牽出一只等邊三角形。關(guān)于特殊角，除了用角度表示，諸如15 角的倍數(shù)，還可以用三角函數(shù)表示，只要最終的結(jié)果是：（1）好看；（2）好用，就可以將其歸為特殊角。比如 tana=1/2，誠(chéng)然我并不知道a 的度數(shù)到底是多少，而且a 也一定不是一個(gè)整數(shù)度數(shù)，但這并不妨礙a 的特殊性， a 所對(duì)的直角邊是鄰邊的兩倍，這與30 角的直角三角形三邊

2、比值并無(wú)本質(zhì)區(qū)別。打開三角函數(shù)的大門，打開新世界。從一道中考題說(shuō)起如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則pab+ pba=_（點(diǎn)a、b、p 是網(wǎng)格線交點(diǎn)）解法有很多，這里就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來(lái)構(gòu)造一下：pab+ pba= bpq=45 這里的 pab 和pba 便是今天要說(shuō)的特殊角，除了它們的和為45 之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看：tan pab=1/2， tan pba=1/3這個(gè)正切值可以說(shuō)很好看了。“12345 模型”對(duì)于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，老師總結(jié)為“12345 ”模型。上文所舉的中考題已經(jīng)足夠說(shuō)明這個(gè)結(jié)論，考慮到使用這個(gè)結(jié)論的多樣性，以下用 3 種方法給出證明：法一：方格紙中的構(gòu)造小學(xué)的時(shí)

3、候我們可能就遇到過(guò)這樣一個(gè)題目：求1+ 2考慮1 和2 的正切值，這不正是剛剛所說(shuō)的和嗎？構(gòu)造等角，將和組合到一起：根據(jù)這里的等腰直角 abc，可得1+ 2=45 此外，模型還可變式為：法二：勾三股四弦五如圖， ac=4 ，bc=3 ，ab=5 ，這個(gè)三角形我們?cè)偈煜げ贿^(guò)了。在這里：分 別 延 長(zhǎng) cb 、 ca 可 構(gòu) 造 構(gòu) 造此 處 我 們 還 可 得 ：這 個(gè) 也 是 在 解 題 中 常 用 的 結(jié) 論 。法三：構(gòu)造矩形直 角 中 夾 一 個(gè) 45 角也 是 一 種 常 見(jiàn) 的 構(gòu) 圖 。此 處 我 們 還 可 得 ：慧眼識(shí)角做題從來(lái)都不是靠題目告訴我什么，而是結(jié)合已知信息，分析這里需

4、要什么1 已知 45+ 尋 、已知 45+ 尋 留意題中給的45 角以及由正切值確定的和 。如圖，正方形abcd 中，ab=6 ，g 是 bc 的中點(diǎn)，將abg 沿 ag 對(duì)折至afg，延長(zhǎng)gf 交 dc 于點(diǎn) e，則 de 長(zhǎng)是（）a 1 b 1.5 c 2 d 2.5【 分 析 解 答 】根 據(jù) bg 是 ab 的 一 半 ， 可 得 tan bag=1/2，連 接 ae ， 易 證 aef aed ，tan dae=1/3， de=2，故 此 題 選 c如 圖 ， 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 一 次 函 數(shù) y=2x-1的 圖 像 分 別 交 x、 y 軸 于點(diǎn) a 、b，將

5、 直 線 ab 繞 點(diǎn) b 順 時(shí) 針 旋 轉(zhuǎn) 45 ，交 x 軸 于 點(diǎn) c，則 直 線 bc的 函 數(shù) 表 達(dá) 式 是 _【 分 析 解 答 】根 據(jù) 解 析 式 可 知 ：即 可 求 得 c 點(diǎn) 坐 標(biāo) （ 3,0 ） ， 可 求 得 解 析 式 。如 圖 ，在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xoy中 ，直 線 y=-x+m分 別 交 x 軸 、y 軸 于 a 、b 兩 點(diǎn) ， 已 知 點(diǎn) c（ 2,0 ） ， 點(diǎn) p 為 線 段 ob 的 中 點(diǎn) ， 連 接 pa 、 pc ， 若 cpa= abo ， 則 m 的 值 是 _ 【 分 析 解 答 】pao=， apc=45，opc=，o

6、p=6， oa=12,m=12在 如 圖 的 正 方 形 方 格 紙 上 ， 每 個(gè) 小 的 四 邊 形 都 是 相 同 的 正 方 形 ， a 、 b、c、 d 都 在 格 點(diǎn) 處 ， ab 與 cd 相 交 于 o ， 則 tan bod的 值 等 于 _ 【 分 析 解 答 】取點(diǎn) e 如圖所示，則 oae= ， oea=45 ， bod= +45 ， tan bod=32 發(fā)掘潛在的2、2已知有 3:4:5 的直角三角形，其銳角的一半即為所求的與 ，反之， 2 、2也存在著特殊的三角函數(shù)值。如圖，把矩形紙片oabc 放入平面直角坐標(biāo)系中，使oa 、oc 分別落在 x 軸、y 軸上，連接

7、 ob，將紙片 oabc 沿 ob 折疊，使點(diǎn) a 落在點(diǎn) a位置， ob 為根號(hào) 5，tan boc=1/2 ，則點(diǎn) a的坐標(biāo)為 _ 【 分 析 解 答 】tan abo=tanboc=1/2， tan aba =4/3，即 a hb 三 邊 之 比 為 3:4:5 ，再 根 據(jù) ba =ba=2，即 可 求 得 a 坐 標(biāo) 如 圖 ， 在 矩 形 abcd中 ， bc=8， cd=6， 將 abe 沿 be 折 疊 ， 使 點(diǎn) a恰 好 落 在 對(duì) 角 線 bd 上 f 處 ， 則 de 的 長(zhǎng) 是 （）a 3 b 24/5 c 5 d 89/16【 分 析 解 答 】考 慮 tan abd=4/3， tan abe=1/2，ae=3， de=5 故 選 c3 正方形中的角度構(gòu)造正方形是中考最常出現(xiàn)的幾何圖形之一，由于對(duì)角線平分對(duì)角使得45 成為?？?。在正方形 abcd 中，邊長(zhǎng)為6，be=2ae ，連接 de，在 ad 、bc 上分別存在點(diǎn)g、f，連接 gf 交 de 于 h 點(diǎn)，且ghd=45 ，求線段fg=_ 【 分