平行四邊形的專題應(yīng)用

1、專題平行四邊形中的簡(jiǎn)單證明、平行四邊形的性質(zhì)CD相交于點(diǎn)0,1. 在平行四邊形 ABCD中，將 ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B'處，AB'和求證：OD=OB。F是AC上兩點(diǎn)，且AE=CF求證： EBFFDE3.如圖，在.：ABCD勺紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)(1) 求證：AE=AF(2) 求證：ABE AGF二、平行四邊形的判定BE、DF、AF 與4 .如圖，在口 ABCD中, E, F分別為AD, BC上兩點(diǎn)，且 BF=DE連AF、CEBE相交于M點(diǎn)，DF與CE相交于N點(diǎn)，求證：四邊形 FMEN為平行四邊形。5.如圖，AF與BE互相平分，EC與DF互相平分，

2、求證：四邊形 ABCD為平行四邊形。BD于 F,（1）求證：AF=EF（ 2）DE=4OF6.如圖所示，已知E為門ABCD中 DC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=DC連AE分別交BCG,連AC交BD于0點(diǎn)，連OF。專題 平行四邊形中的面積問(wèn)題【方法歸納】：充分利用平行四邊形的性質(zhì)及常用的數(shù)學(xué)思維方法解決與面積有關(guān)的問(wèn)題、方程的思想二 ABCD1.如圖，在 ABCD 中，AE BC 于 E, AF CD 于 F,已知 AE=4，AF=6，的面積。2.如圖，E是 ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，若S： ABCD 6，則S ABE S CDE 、分類討論的思想3 在面積為15的平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于直線

3、 BC于點(diǎn)E,作AF垂直于CD于點(diǎn)F，若AB=5，BC=6，則CE+CF的值為()A 1111 32B. 11C. 1111 .32三、數(shù)形結(jié)合的思想4.基本圖形：如圖，在 ABCD中，AC , BD交于點(diǎn)0 ,過(guò)點(diǎn)0任作直線分別交 AD , BC 于 E, F?；窘Y(jié)論：(1 )圖中的全等三角形有： (2) 圖中相等的線段有：(3) 與四邊形ABEF周長(zhǎng)相等的四邊形是(4 )過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，ABFE應(yīng)用：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為平行四邊形，A ( 5,0), C (1,4),過(guò)點(diǎn)P (0, -2)的直線分別交于 OA , BC于

4、M、N，且將.OABC的面積分成 相等的兩部分，求點(diǎn) M、N的坐標(biāo)。專題構(gòu)造三角形中位線【方法歸納】：中點(diǎn)問(wèn)題的處理方法較多，構(gòu)造三角形中位線是常用方法之一一、連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線1如圖，E、F、G、H分別為四邊形 ABCD四邊的中點(diǎn)，試判斷四邊形 EFGH的形狀并予 以證明。2. 如圖，在 ABC中， B 2 A , CD AB于D , E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。求證：DE=DF。3. 如圖，點(diǎn)P是四邊形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD=BC ,CBD 45 , ADB 105，探究EF與PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。4. 如圖，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以A

5、B、BC為邊在AC同側(cè)作等邊 ABD和等邊 BCE , 點(diǎn)P、M、N分別為AC、AD、CE的中點(diǎn)。(1)求證：PM=PN ; (2)求 MPN的度數(shù)二、利用角平行線+垂直構(gòu)造中位線5. 如圖，在 ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AD為ABC的外角平分線，且 AD BD ,若 AB=12，AC=18，求 MD 的長(zhǎng)。6. 如圖，在 ABC中，AB=BC， ABC 90，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，M為AF的中點(diǎn)，BE 平分 ABC，且 EF BE，求證：CF=2MEC三、倍長(zhǎng)構(gòu)造三角形中位線7.如圖，在 ABC中， ABC 90 , BA=BC , BEF為等腰直角三角形，BEF 90 ,1M為AF的中點(diǎn)，求證

6、：ME= CF。2四、取中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線&如圖，四邊形 ABCD中，M、N分別為 AD、BC的中點(diǎn)，連 BD，若AB=10 , CD=8 ,求MN的取值范圍。9.如圖，在 ABC 中， C 90 , CA=CB , E、F 分別為 CA、CB 上一點(diǎn)，CE=CF , M、N分別為AF、BE的中點(diǎn)，求證:AE= 2 MN。10.如圖，點(diǎn)P為 ABC的邊BC的中點(diǎn)，分別以AB、AC為斜邊作Rt ABD和Rt ACE ,且 BAD CAE，求證：PD=PE。專題矩形中的折疊與勾股定理1如圖，在矩形紙片 ABCD中，AB=12 , BC=5，點(diǎn)E在AB上，將 DAE沿DE折疊,使點(diǎn)A落在B

7、D上的A'處，求AE的長(zhǎng)。2 將一張矩形 ABCD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn) A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（E、F均在BD上），折疊分別為 BH、DG。(1)求證： BHE DGFFG的長(zhǎng)。(2)若 AB=6，BC=8，求nHr-3.如圖，在矩形 ABCD中,AB=3 , BC=4，沿EF折疊，折痕為EF,使點(diǎn)C落在A點(diǎn)處,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處。（2）求AE的長(zhǎng);(3)求EF的長(zhǎng)。操作發(fā)現(xiàn):4. ( 1)如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將ABE沿BE折疊后得到GBE ,且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部,小明將BG延長(zhǎng)交DC于邊F,認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。(2)問(wèn)題解決:保持（1）

8、中的條件不變，若 DC=2DF保持（1）中的條件不變，若 DC=nDFAD砧潔，求 的值；ABAD，直接寫出 的值:AB類比探究:(3)n專題構(gòu)造斜邊上的中線【方法歸納】：遇到直角三角形斜邊中點(diǎn)時(shí)，往往連斜邊上的中線圖 2 中，若 OA=OB，則 OA=OD=OC=OB，圖 3 中，若 OA=OB，則 OA=OD=OC=OB。，O為BC的中點(diǎn),1.如圖，BCD和BCE中,BDCBEC 90BD，CE交于DE=OEA, BAC 120，求證:2.如圖，在 ABC中，BDAC 于 D,CE AB 于E,點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)，（1）求證：MN DE連 ME, MD，若 A 60，求BC, DE的中MND

9、E的值。3. 如圖，在 ABC 中，AB=BC , ABC90，點(diǎn)E、F分別在 AB , AC上，且 AE=EF ,點(diǎn)O, M分別為AF , CE的中點(diǎn)，求證:(1) OM= - CE； (2) OB= 一 2 OM2135 , CBDE 于 B, EA CD 于 A ,求證：CE= 2AB?；緢D形：已知 ABD 和 ABC 都是 Rt , ADBACB 90基本結(jié)論：圖 1 中，若 OA=OB，貝U OA=OB=OD，若 OA=OD，貝U OB=OD，若 OB=OD , 貝U OA=OD。專題靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)1如圖，菱形 ABCD中，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且 DE BE(1) 求證：ADE

10、ABE(2) 若 DAB 60，AD= 2 3，求 DE 的長(zhǎng)。2. 如圖，將矩形紙片 ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的一點(diǎn)，折痕的一段 G點(diǎn)在邊BC 上，另一端 F 在 AD 上，AB=8 , BG=10.(1) 求證：四邊形BGEF為菱形;(2) 求FG的長(zhǎng)。3. 如圖，四邊形 ABCD與四邊形AECF都是菱形，點(diǎn)EF在BD上，已知 BAD 120 ,ABEAF 30，求一一的值。AE4. 如圖，菱上形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,且 ABC 120，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BD 上一點(diǎn)，且 PCE的周長(zhǎng)最小、(1) 求 ADE的度數(shù)；(2) 在BD畫出點(diǎn)P的位置，并寫出作法;(3)求 PCE

11、周長(zhǎng)的最小值。5. 如圖，在 Rt ABC 中， ACB 90 , AC=4 , BC=3 , D 為 AB 上一點(diǎn)，以 CD、CB 為邊作菱形CDEB，求AD的長(zhǎng)。1如圖，在-:ABCD中,專題靈活運(yùn)用菱形的判定E 為 BC 上一點(diǎn)，連 AE、BD，且 AE=ABEADABCD是菱形(1)求證： ABE2. 如圖，在 ABC中，AD是邊BC上的中線，AE/BC，DE/AB，DE與AC交于點(diǎn)0,連CE.(1)求證：AD=EC ；(2)若 BAC 90，求證：四邊形 ADCE是菱形。AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一點(diǎn),BE交AC于F(1) 求證：AFD CFE(2) 若AB/CD，試證

12、明四邊形 ABCD是菱形；(3) 在(2)的條件下，試確定 E點(diǎn)的位置，使 EFDBCD，并說(shuō)明理由。4. 如圖，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，以AE、BE為邊在AB同側(cè)作等邊 AED和等邊 BEC ,點(diǎn)P、Q、M、N分別是 AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。(1) 判斷四邊形PNMQ的形狀，并證明；(2) NPQ的度數(shù)為 (直接寫出結(jié)果)中AD邊上的中點(diǎn),(1)求證：EB=EC ;BD , CE相交于點(diǎn)F。專題正方形中的簡(jiǎn)單證明【方法歸納】：運(yùn)用正方形的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線段關(guān)系、角度關(guān)系及位置關(guān)系的證明。1. 如圖，正方形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn)O, M、N分別在OA、OB上，

13、且OM=ON。(1 )求證： BM=CN : CN BM(2)若M、N分別在OA、OB的延長(zhǎng)線上，則(1)中的兩個(gè)結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理(2)求證：DAF DCF(3) 求證：AF BE(4) 過(guò) F 作 FG/BE 交 BC 于 G,求證：FG=FC。3. 如圖，已知正方形 ABCD，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PEPA 交 BC 于 E, PF BC ,垂足為F點(diǎn)。（1）求證:PEC BAP（2）求證:EF=FC;2 CF；4. 正方形 ABCD和正方形 AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形 AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角 DAG ，其中0180，連 DF、BF，如圖。(1)若 0，貝y DF

14、=BF，請(qǐng)加以證明;(2)試畫出一個(gè)圖形（即反例），說(shuō)明（1）中命題的逆命題是假命題;(3)對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接 寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說(shuō)明理由。專題中點(diǎn)四邊形【方法歸納】：中點(diǎn)四邊形的形狀一般通過(guò)三角形中位線定理來(lái)證明四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)。、 1如圖，求證：四邊形 EFGH為平行四邊形。2.3.4.(1)(2)(1)(2)(1)(2)如圖1,若四邊形 ABCD是矩形，求證：四邊形 EFGH是菱形。如圖2,若AC=BD，則四邊形EFGH的形狀是11如圖1,若四邊形如圖2, 若 AC

15、ABCD是菱形，求證：四邊形 EFGH是矩形。BD，則四邊形EFGH的形狀是若四邊形如圖1,如圖2,ABCD是正方形，則四邊形 EFGH的形狀是若AC=BD , AC BD，求證：四邊形 EFGH是正方形。CC5.如圖，四邊形ABCD 中,AB=CD , E、F、G、H 分別是 BD、BC、AC、AD 的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是菱形。6.如圖，CA=CB , CD=CE , ACB DCE 90 , M、N、G、H 分別為 AE、AB、BD、DE的中點(diǎn)，求證：四邊形 MNGH為正方形。專題運(yùn)用正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)E、F，貝U BCECDF【方法歸納】：利用正方形邊角的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形求

16、點(diǎn)的坐標(biāo)?；緢D形：已知正方形 ABCD，過(guò)B、D兩點(diǎn)分別向過(guò)點(diǎn) C的直線作垂線，垂足分別為、利用垂直且相等構(gòu)造全等求坐標(biāo)1如圖，A (-1,0), B (0,3),以AB為邊作正方形 ABCD，求C, D的坐標(biāo)。2如圖，邊長(zhǎng)為 2的正方形OABC的OA邊與y軸的夾角為30，求B, C的坐標(biāo)。3.(0,4),延長(zhǎng)EA至D，使AD=AE，四邊形ADCB為正方形,、利用面積法求點(diǎn)的坐標(biāo)4.如圖，A （-3,4）,四邊形OABC為正方形,AB交y軸于D。（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)。專題正方形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【方法歸納】：抓住圖形之間的聯(lián)系，輔助線及解題思路的類似性來(lái)解題。1如圖1在正方形ABCD中，E是BC上一

17、點(diǎn)，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作GH AF， 交直線AB于G,交直線CD于H。（1）求證：BG=CH-BE ；（2） 如圖2,若F是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變，試探究：BG、BE、CH之間的數(shù)量關(guān)系。2. 問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上， EAF 45，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系?！景l(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至 ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論?！绢惐纫辍咳鐖D 2，四邊形 ABCD中， BAD 90 , AB=AD , B D 180 ,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng) EAF與 BAD滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF=

18、BE+FD?！咎骄繎?yīng)用】如圖3，在某公園的同一平面上，四條道路圍成四邊形ABCD，已知AB=AD=80 米， B 60 , ADC 120 , BAD 150，道路 BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE AD , DF=40 （、3-1 ）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)。Dli專題正方形中的2問(wèn)題(一)基本圖形【方法歸納】處理問(wèn)題的關(guān)鍵是急用條件構(gòu)造等腰直角三角形ABC 90，貝y BA+BC= '2 BD (補(bǔ)短法或基本圖形：基本結(jié)論：圖1中，若DA=DC， ADC作垂線可證)圖 2 中，若 DA=DC , ADCABC 90，貝U CB-AB= 2 BD (截長(zhǎng)法或作垂線可證)1.如圖，在正方形 ABCD中，E為AC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，ED=EF ,求證：(1) DF=、2AE ; (2) BF= . 2 EF; (3) CB+CF= 2 CE。2.如圖，點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E為正方形外一點(diǎn)，且 AE BE(1)求 OEB 的度數(shù)；(2)求證：EA+EB='、2OE。3. 如圖，若上題中的 E點(diǎn)在正方形內(nèi)部，其它條件不變,(1)求 OEB的度數(shù);(2)試探究EA、EB、OE之間的數(shù)量關(guān)系。4.如圖，若點(diǎn) E為正