第五節(jié)度量空間的完備化

1、第五節(jié) 度量空間的完備化；第六節(jié) 壓縮映射原理及其應用(2學時)一教學要求1. 了解完備化定理，能夠證明度量空間的完備性；2. 掌握壓縮映射原理，并了解它在分析和方程研究中的應用。二. 教學重點掌握壓縮映射原理及其應用。三. 教學過程1 .度量空間的完備化我們知道直線上有理數(shù)集Q作為R的子空間不是完備的，當在 Q中加上“無理數(shù)”，它就成為完備的度量空間 R，并且Q在R中稠密。下面我們要考慮：是否每一個不完備的度量空間都可以“擴大”，使其成為一個完備的度量空間的稠密子空間呢？首先介紹幾個概念：定義：設(shè)(X,d),(X,d)是兩個度量空間，如果存在X到X上的保距映射 T : (Tx,Ty) =d(

2、x, y)，則稱(X,d)和(文,)等距同構(gòu)，此時T成為X到X上的等距同構(gòu) 映射。在泛函分析中，往往把兩個等距同構(gòu)的度量空間視為同一的。定理(度量空間的完備化定理)設(shè)X =(X,d)是度量空間，那么一定存在一完備度量空間乂 =(乂，)，使X與乂的某個稠密子空間 W等距同構(gòu)，并且 X在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即：若(刃,肉也是一完備的度量空間，且 X與X的某個稠密子空間等距同構(gòu)，則(X,)與()?,(?)等距同構(gòu)。如果把兩個等距同構(gòu)的度量空間視為同一，的上述定理可以闡述為：定理：設(shè)(X,d)是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間乂 =(乂，)，使得X為X的稠密子空間。(事實上，做 X 到自身的恒

3、等映射， d 即為一等距同構(gòu))例：證明1：:與C(0,1的一個子空間等距同構(gòu)。證明：丨：:是有界數(shù)列的全體，令 (1,.,；,)丨：,C(0,1是定義在(0,1上連續(xù)函數(shù)全體對于 © = (2,.),耳=(3,.)引處，有:d()=sup2 -3i對于 x(t), y(t)乏 C(0,1，有：d(x, y) = sup x(t) y(t)'t0,1取子空間：x(t)如下：X() = n ；其余為折線(線性函數(shù))。n則 x(t) C(0,1。做映射：巴=(-1,.)T x(t)則有：d(x, y) = supx(t) -y(t) =supi 3|t#0,1i則得證。第六節(jié)壓縮映

4、射原理及其應用定義：設(shè)X = (X,d),T是X到X中的映射，如果存在一個數(shù):-,0:：: 1，使得對所有的x, y X，成立:d(Tx,Ty) Wc(d(x, y)( 1)則稱T是壓縮映射。壓縮映射的幾何意義是：原象兩點經(jīng)過映射后，他們象的距離縮短了。 定理(壓縮映射定理)設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么 T有且只有一個不動點(即：方程Tx = x有且只有一個解)。例如：定義在0,1f > (0,1)之間的連續(xù)壓縮映射，如圖：證明：設(shè)x0是X中任意一點。令x1= Tx0 , x2我們證明點列xn是X中的柯西點列。士宀 td(Xm + ,Xm) =d(TXm,TXm4)Wd

5、d(Xm,Xm4)=0d(TXm，TXm_2)事實上，(2)-:md(x1,xo)由三點不等式，當 n m時，d ( Xm ,Xn) - d(Xm,Xm1) d( Xm 1, Xm 2 ) - d ( Xn J , Xn )-:n J)d(Xo,X1)n-md(xo, X1)因為0 ： ： ： 1，所以1 -n ： 1，于是得到:芒md(Xm,Xn)d(Xo, X1)( 3)1 - a所以當m, n r 時，d(xm,xn)r 0。即xn為柯西點列。由X的完備性，則存在 x e X，使xm t x，又由三點式和條件(1)，有：d(x,Tx)空d(x,Xm) d(Xm,Tx) Ed(x,Xm)

6、： d(Xm，x)則當m時，上式趨于0,所以d(x,Tx) 0,即x二Tx。 下證唯一性。如果有x = X，使T = ，則由條件(1)，有：d(x,) =d(Tx,T)乞:d(x,)因為:M，所以只有d(x,) = 0。下面介紹定理的應用：定理：設(shè)函數(shù)f (x, y)在帶狀域：a _ x b,-二：y ：中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導數(shù)fy(X, y)。如果還存在常數(shù) m和M，滿足0 : m 乞 fy(x,y)乞 M ,m ： M貝U方程f(x,y)=0在區(qū)間a,b上必有唯一的連續(xù)函數(shù) y二(x)作為解：f(x,®(x)三 0,xfa,b證明：見書，略。定理：設(shè)f(t,x)是矩形：

7、D =(t, x)|t 1° Ea, x X。E b上的二元連續(xù)函數(shù)， 設(shè)f (t,x)冬M ,(t,x) D，又f (t,x)在D上關(guān)于x滿足Lipschitz 條件，即存在常數(shù) K,使對任意的(t,x), (t,v)D，有f (t,x) - f(t,v)蘭 K x -v ,dx那么方程f(t, x)在區(qū)間J二t0 - ：，to 訂上有唯一的滿足初始條件x(t0)=冷的dt連續(xù)函數(shù)解，其中1 : mina,R,丄。M K證明：略。例：設(shè)X為完備度量空間，A是X到X中映射，記d(Anx, Anx)：n = supZ d(x,x)od若'：，則映射A有唯一不動點。n i證明：因為7：:，所以存在n，使：'n < 1