《數(shù)值計(jì)算方法》試驗(yàn)報(bào)告冊(cè)精講

1、數(shù)值計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)姓名：學(xué)號(hào)：班級(jí)：教師：安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系學(xué)年第學(xué)期目錄目錄i.實(shí)驗(yàn)報(bào)告范例1.實(shí)驗(yàn)一5.實(shí)驗(yàn)二7.實(shí)驗(yàn)三12實(shí)驗(yàn)四15實(shí)驗(yàn)五17實(shí)驗(yàn)六19實(shí)驗(yàn)報(bào)告范例實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)誤差傳播與算法穩(wěn)定性姓名學(xué)號(hào)班級(jí)指導(dǎo)教師實(shí)驗(yàn)日期成績(jī)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、理解數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性的概念；2、了解數(shù)值計(jì)算方法的必要性；3、體會(huì)數(shù)值計(jì)算的收斂性與收斂速度。二、實(shí)驗(yàn)題目1n計(jì)算I n =丄dX臨 x+10三、實(shí)驗(yàn)原理1 xn 由 1 n = dX，知5+101嚴(yán)I n 4 dX$x+10則.Jxn +10x：J n ,1ln+10ln一dxxdx 10 x+10木n可得遞推關(guān)系11. 人=W , n

2、=1,2,n1 12. I n= Tn) ,n = N, N 1,10 n下面分別以1,2遞推關(guān)系求解：萬(wàn)案一1 ln= T0ln 斗,n =1,2，n當(dāng)n =0時(shí)，I01 2 四、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容將遞推公式(1)中的初值l0 =ln 1.10.095310 ，得 In = -10In4，門(mén) 72,川，10 n dx =1 n I。0.095310將遞推公式(2)中的初值In “100.008678,得 =1 n1.10x 1010遞推公式為:101 n J n=l n1.1n =1,2,(1)In-In)， n 二N,N -1,10 n111nXx 10< 1 Xn101 11 xn1 1x

3、ndxdxxndx0110x 10°1o取遞推初值111(n1)10(n1)遞推公式為n(1 -In) , n = N,N -1,10 n21N 二220( N 1)InJ=(H"In) ' n=10,9,J110 吒 0.008678五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算結(jié)果如下表所示n n(1)I*n(2)0123456789100.0953100.0469000.0310000.0233330.0166670.033333 -0.166667 1.8095240.0953100.0468980.0310180.0231530.0184650.0153530.0131380.0114

4、810.0101880.0092320.008678六、實(shí)驗(yàn)分析由遞推公式(1)知當(dāng)In-1 n1.1時(shí),In應(yīng)當(dāng)為精確解，遞推公式的每一步都沒(méi)有誤差的取舍，但計(jì)算結(jié)果15 =0.0333330.016667=14, 16出現(xiàn)負(fù)值由此看出，當(dāng)n 較大時(shí)，用遞推公式(1)中的n近似In是不準(zhǔn)確的.主要原因?yàn)槌踔? =0.095310不是精確值，設(shè)有誤差e(0),由遞推公式 知e(L) = -10e(Q則有&匚)=10e(iL) = 100e(n) =(T0f10e()誤差e(In)隨n的增大而迅速增加，增加到e(Ic)得(-10$倍.由此可見(jiàn)，遞推公式計(jì) 算的誤差不僅取決于初值的誤差，公

5、式的精確性，還有賴(lài)于誤差的傳遞即計(jì)算的穩(wěn) 定性.* 1 由遞推公式知Iio : 0.008678, I.為估計(jì)值，并不精確，有|e(li。)匡七、 評(píng)閱意見(jiàn)簽名：評(píng)閱日期：附表八程序代碼說(shuō)明： 具體實(shí)驗(yàn)題目與實(shí)驗(yàn)內(nèi)容可自行根據(jù)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)自行擬定；2、報(bào)告填寫(xiě)用“宋體”(小四)格式字體；3、 實(shí)驗(yàn)報(bào)告完成后，以學(xué)生的“實(shí)驗(yàn)序號(hào)+姓名+學(xué)號(hào)”作為該 word文件名保存，例如“張三”學(xué)號(hào)為“08119000”，則本次實(shí)驗(yàn)報(bào)告的保存文件名為：“實(shí)驗(yàn)X 08119000張三.doc”；4、在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，學(xué)生將本報(bào)告通過(guò)電子郵件提交給授課教師，郵件的主題為：實(shí)驗(yàn) X 08119000 張三。5、 算法編

6、程語(yǔ)言可自選，程序代碼可直接復(fù)制于實(shí)驗(yàn)報(bào)告附表八中，也可將可執(zhí)行文件連同將實(shí)驗(yàn)報(bào)告壓縮為 rar格式文件一同提交。，而由1210* 1 e(lni)e(ln)得10e(l0110)ne(in)誤差e(l0)隨遞推公式逐步縮小綜上所述，在遞推計(jì)算中，數(shù)值計(jì)算方法是非常重要的，誤差估計(jì)、誤差傳播及遞推計(jì)算的穩(wěn)定性都會(huì)直接影響遞推結(jié)果實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)非線(xiàn)性方程求根姓名學(xué)號(hào)班級(jí)指導(dǎo)教師實(shí)驗(yàn)日期成績(jī)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、理解非線(xiàn)性方程求根的基本算法；2、掌握相應(yīng)數(shù)值算法的程序編與；3、探討迭代法及初始值與迭代收斂性的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)題目1、用迭代法求方程f (x) =2x3 -x-1 =0的根；2、用Newton

7、法求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的根；3、 求方程 f(x)=x -sinx-12x + 1 的全部實(shí)根，e =10。三、實(shí)驗(yàn)原理四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果六、實(shí)驗(yàn)分析七、評(píng)閱意見(jiàn)簽名：評(píng)閱日期：附表八、程序代碼問(wèn)題2 （參考Matlab代碼）fun ctio n s=fu n2(x)s=xA3-x-1;function y=dfu n2(x)y=3*xA2-1;function k,xk,yk,wucha=n ewt onq x(xO,err,ddmax)x(1)=x0;for i=1: ddmaxx(i+1)=x(i)-fu n2(x(i)/dfu n2(x(i);wucha=abs

8、(x(i+1)-x(i);i=i+1;xk=x(i);yk=fu n2(x(i);if wucha<errk=i-1; xk=x(i); return;endendif i>ddmaxdisp('請(qǐng)注意：迭代次數(shù)超過(guò)設(shè)定的最大值ddmax。')k=i-1; xk=x(i);end實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法姓名學(xué)號(hào)班級(jí)指導(dǎo)教師實(shí)驗(yàn)日期成績(jī)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握Gauss消去法及Gauss列主元消去法，能用這兩種方法求解方程組;2、掌握J(rèn)acobi和G-S迭代法，能應(yīng)用Jacobi和G-S迭代法求解方程組；4、掌握相應(yīng)數(shù)值算法的程序編寫(xiě)；5、理解迭代法收斂的充要條件，

9、會(huì)判斷迭代法的收斂性。二、實(shí)驗(yàn)題目1、用列主元消去法求下列矩陣A的行列式：2 1-204 013A =0 32-21105 一2、分別用列主元消去法與不選主元消去法求解，分析算法對(duì)結(jié)果的影響:0.3 104559.143159.17a)b)5.291-6.130A =11.29|L 1210-70-3 2.099999 6 A =5-15-0 1 0-1511 12-1246.781-8【5.90990151 一3、給定矩陣A與向量b110b)利用A的LU分解求解方程組：Ax = b ；A 2 ta3Ax二b ； Ax二b ；c)利用A的LU分解求AJ ,n值自己給定。4、分別用追趕法和LU分

10、解法分別對(duì)n =5,100,300解方程組Ax=b，其中:一 nn 12:.1a)求A的LU分解；2 1 1-711 2 1-54b1 + 1，b =+1 2 1-51 2一一5一A 二1231215、選取不同的初值X）和b，分別用Jacobi和G-S迭代法求解Ax二b，其中:3123120Q014實(shí)驗(yàn)原理四、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果六、實(shí)驗(yàn)分析七、評(píng)閱意見(jiàn)簽名：評(píng)閱日期：附表八、程序代碼LU分解(參考Matlab代碼)：fun ctio n r,L,U=LUfj(A)n n =size(A); RA=ra nk(A);if RA=ndisp('注意：因?yàn)锳的n階行列式等于零，所以A不能

11、進(jìn)行LU分解.A的秩RA 如下:'),RA,zzs=det(A);returnendif RA=nfor p=1: nh(p)=det(A(1:p, 1:p);endzzs=h;for i=1: nif h(1,i)=0disp('注意：因?yàn)锳的r階主子式等于零，所以A不能進(jìn)行LU分解.A的秩RA和各階順序主子式值z(mì)zs依次如下：'),zzs;RAreturnendendif h(1,i)=0disp(注意：因?yàn)锳的各階主子式都不等于零，所以A能進(jìn)行LU分解.A 的秩RA和各階順序主子式值z(mì)zs依次如下：)L(1,1)=1;U(1,1)=A(1,1);%計(jì)算U的第一行、

12、L的第一列與主元。for j=2: nL(j,j)=1；U(1,j)=A(1,j);L(j,1)=A(j,1)/U(1,1);endfor k=2:n%計(jì)算行列指標(biāo)大于1時(shí)的L、U的元.for j=k: nU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);endfor i=k+1: nL(i,k)=(A(i,k)- L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k)/U(k,k);endendendendr=L*U-A;列主元消去法(參考Matlab代碼)：fun ctio n r,x=LZYxqf(A,b)B=A b; n=le ngth(b);RA=ra nk(A);RB=r

13、a nk(B);zhica=RB-R A;if zhica>0dispC注意：因?yàn)镽A=RB，所以此方程組無(wú)解.')returnendif RA=RBif RA=ndisp(注意：因?yàn)镽A=RB=n，所以此方程組有唯一解.')x=zeros( n,1);c=zeros(1, n+1);for p=1: n-1Y,j=max(abs(B(p: n,p);c=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=c;for k=p+1: nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p: n+1)= B(k,p: n+1)-m* B(p,p: n+1);e

14、ndendb=B(1: n,n+1);A=B(1: n,1: n); x( n)=b( n)/A( n,n);for q=n-1:-1:1x(q)=(b(q)-A(q,q+1:n )*x(q+1: n)/A(q,q);endelsedisp(注意：因?yàn)镽A=RB<n，所以此方程組有無(wú)窮多解.') returnendendr=b-A*x;G-S迭代法(參考Matlab代碼)：fun ction X=GSddf(A,b,XO,P,wucha,ddmax)D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);dD=det(D);if dD=0disp(&#

15、39;注意：因?yàn)閷?duì)角矩陣D奇異，所以此迭代法無(wú)解.')elsedisp('注意：因?yàn)閷?duì)角矩陣D非奇異，所以此迭代法有解.')B2=i nv(D-L)*U;f2=i nv(D-L)*b;jX=Ab; X=X0;for k=1:ddmaxX1= B2*X+f2;ddwcX=norm(X1-X,P); xdwcX=ddwcX/( norm(X1,P); X=X1;if (ddwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)returnendendif (ddwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp(注意：高斯-塞德?tīng)柕諗?，此A的分解

16、矩陣D,U,L和方程組的解X如下：')elsedisp(注意：高斯-塞德?tīng)柕慕Y(jié)果沒(méi)有達(dá)到給定的精度，并且迭代次 數(shù)已經(jīng)超過(guò)最大迭代次數(shù)ddmax.')endendD,U,L,X實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)特征值與特征向量的數(shù)值算法指導(dǎo)教師-實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)號(hào)班級(jí)實(shí)驗(yàn)日期成績(jī)1、理解矩陣特征值與特征向量的幕法、反幕法 Jacobi方法和QR算法；2、掌握相應(yīng)數(shù)值算法的程序編寫(xiě)；3、掌握編程軟件中的求特征值與特征向量函數(shù)，并與自編程序運(yùn)算結(jié)果比對(duì);4、探討幕法的迭代收斂性。實(shí)驗(yàn)題目1、分別用幕法、反幕法和Jacobi方法求矩陣A、B 征值、全部特征值：C的主特征值、模最小特2 2-1 A =1 -

17、1 121111-2 1 0B = -6 02'113一4-1C =-14-1-14 -1-14012的全部特征值;3-2 12、用QR算法求矩陣B= 1-6 0'1 13 23、用幕法求A= 3的按模最大的特征值、特征向量，并用反幕法求4 53 ，A= 3 2 I的按模最小的特征值、特征向量，精確到 6位有效數(shù)字 4 5 一 實(shí)驗(yàn)原理四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果六、實(shí)驗(yàn)分析七、評(píng)閱意見(jiàn)簽名：評(píng)閱日期：附表八、程序代碼Gram-SchmidtQR 分解(參考 Matlab 代碼)：fun ctio n Q,R, ndr=gsQRfj(A)% gsQRfjGram-Schmidt正交

18、化算法計(jì)算n階方陣A的QR分解% in put An階待分解矩陣% output Q n階正交矩陣，通過(guò)對(duì)矩陣A的列向量由第一列起向前逐步正交化 %R n階上三角矩陣%ndr QR分解的殘余矩陣dr的2范數(shù)%ndQ Q'*Q與n階單位矩陣差的2范數(shù)n=ran k(A);% n為A的秩，確定循環(huán)次數(shù)for k=1: nR(k, k)=n orm(A(:,k); Q(:,k)=A(:,k)/R (k,k); for j=k+1: n% QR分解模塊%計(jì)算A的第k列向量的模% A的第k列向量單位化%此模塊計(jì)算R的k行向量，并實(shí)現(xiàn)A的剩余的列向量與正交向量張成的子空間的正交% 由QR=A及 Q

19、'Q=I有 R=Q'A計(jì)算R(k,j)=Q(:,k)'*A(:,j);R(k,j)A(:,j)=A(:,j)-Q(:,k)*R(k,j);已正交化的向量空間正交化%實(shí)現(xiàn)A的剩余的第j (>k)個(gè)列向量與endend dr=A-Q*R; ndr=n orm(dr);%計(jì)算數(shù)值解的殘余矩陣 %計(jì)算殘余矩陣的2范數(shù)特征值QR算法（參考Matlab代碼）：fun cti on L=eigqr(A,ddmax) L=A;for k=1:ddmaxQ,R=gsQRfj(L); L=R*Q;End實(shí)驗(yàn)四實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)代數(shù)插值與數(shù)據(jù)擬合姓名學(xué)號(hào)班級(jí)指導(dǎo)教師實(shí)驗(yàn)日期成績(jī)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌

20、握Lagrange及其基函數(shù)的性質(zhì)，以及二次樣條插值函數(shù)的計(jì)算；2、觀(guān)察Lagrange插值的龍格現(xiàn)象；3、用最小一乘法求擬合多項(xiàng)式。二、實(shí)驗(yàn)題目1、將區(qū)間-5,5 10等分，對(duì)函數(shù)y=5 2計(jì)算點(diǎn)人上的值，做出分別計(jì)算1 +x5Lagra nge插值多項(xiàng)式和二次樣條插值函數(shù)， 作出插值函數(shù)圖形并與y =21 + x 的圖形進(jìn)行比較；52、 將區(qū)間-5,5取逐步增大的分點(diǎn)數(shù)目，對(duì)函數(shù) y = 計(jì)算點(diǎn)Xk上的值，計(jì)1 +x5算相應(yīng)的Lagrange插值多項(xiàng)式，作出插值函數(shù)圖形并與y-2的圖形進(jìn)行1 +x 比較，分析插值多項(xiàng)式隨次數(shù)的增加而產(chǎn)生的變化。3、用最小二乘法求擬合給定數(shù)據(jù)點(diǎn)（Xj）的一、二、三次多項(xiàng)式三、實(shí)驗(yàn)原理四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果六、實(shí)驗(yàn)分析七、評(píng)閱意見(jiàn)簽名：評(píng)閱日期：附表八、程序代碼實(shí)驗(yàn)五實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)數(shù)值積分與數(shù)值微分姓名學(xué)號(hào)班級(jí)指導(dǎo)教師實(shí)驗(yàn)日期成績(jī)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、理解數(shù)值積分的意義；2、掌握復(fù)合梯形公式、復(fù)合 Simpson公式、Romberg公式求解定積分的方法；3、掌握數(shù)值微分的計(jì)算方法；3、將數(shù)值積分結(jié)果與精確解進(jìn)行比較，分析數(shù)值積分結(jié)果。二、實(shí)驗(yàn)題目1、利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合 Simpson公式、Romberg公式求解下定積