2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學一301預(yù)測卷8和答案解析

1、2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學（一）預(yù)測卷（八）（科目代碼：301）考生注意事項1 .答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指 定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。2 .選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答案必須書 寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿 紙、試題冊上答題無效。3 .填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫 部分必須使用2B鉛筆填涂。4 .考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。（以下信息考生必須認真填寫）考生編號考生姓名一、選擇題：110小題,

2、每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是最符 合題目要求的.1 .要使函數(shù)/=（注琮）*在1=0處連續(xù)，應(yīng)補充定義/（0）=A. TB In -y.In 33C.£,D. e才.2 .設(shè)函數(shù)jx）在z = 0處的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，曲線y = /（/）在點（0,0）處的曲率圓 為 / + y2 += 0 ,則 lim 八口 =j-*0 XA. j-.B.44C. -1.D. 1.3 .若方程In=標有兩個實根,則常數(shù)k的取值范圍為A. Q<k<.B. 0<k<.eC. 1 < <C e.D.2 V 4 V e.e4 .設(shè)

3、。=(/) | |z|+ |y|43.D«* = 1,2,3,4)是 D 的第左象限部分，人=Jfsin(x)drdj/,則A. h > 0.B. I2 > 0.C. I3 > 0.D. L > 0.5設(shè)A為( > 2)階方陣，廠(A ) = l,a1,a2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個不同解決為任 意常數(shù),則方程組Ax =力的通解為A. ( 1 )«i + ka>.B. (A 1 )<xi ka2.C.(4+ 1)8+32.D.(4+ 1)%一也26.設(shè)A為3階實對稱方陣，廠(E-A) = 1,且A? +2A = 3E,則二

4、次型/(力=xvAx的規(guī) 范形為A.3+蛀+云B. Zi +Z2 -Z3.C. Z Z2 zLD.一3一zf一成,7.設(shè)A是4階矩陣a .加是4維向量空間的一個基，且/taj = ai Aai = ai +。2 演3 =仍 +。2 +。3=6 , a2 -。3 +i，則齊次線性方程組(E A)x = 0的解空間的維數(shù)為A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.8.在獨立重復(fù)試驗中，以X表示首次成功所需要試驗的次數(shù).若三次試驗至少有一次成功的概率 為弱.則X取偶數(shù)的概率為A. *B.c. 4-d. 4.551 4.丈 29 .設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為FG) =1 '則PX>D(

5、X) =0,x<2,10 .在單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗中，若方差已知,顯著性水平為a,則下列結(jié)論正確的是A.若在a = 0. 05下接受原假設(shè)H。，則在a = 0. 01下必接受原假設(shè)H。.B.若在a = 0. 05下接受原假設(shè)H。.則在a = 0. 01下必拒絕原假設(shè)C.若在a = 0. 05下拒絕原假設(shè)，則在a = 0. 01下必接受原假設(shè)H(1.D.若在a = 0. 05下拒絕原假設(shè)H。，則在a = 0. 01下必拒絕原假設(shè)H。.二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分.“對(1 + 5)(1+升”(1+)了 =12.13 .設(shè)D= (H,y)|9+4y2 436,y>

6、;0),則 D 的形心坐標為.14 .設(shè)D是由曲線* =/a20)與直線y = ar所圍成的平面圖形，已知D分別繞兩坐標軸旋 轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積相等，則常數(shù)a的值為.15 .設(shè)A是3階方陣.A的特征多項式為V - 6A - 4,A!，A2,A3為A的特征值，則行列式 A1人2人3入2/3 A1的值為.入3 A1入216 .設(shè)隨機變量X.y均服從參數(shù)為；I的泊松分布，且pxY=-,U = 2X+Y,則U與X的相關(guān)系 數(shù)為.三、解答題：1722小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .（本題滿分12分）將以y = y（j ）為未知函數(shù)的微分方程y" + （j

7、- + ev + sin v）（V）3 = 0化為以x = j-（y）為未 知函數(shù)的形式，并求其通解.18 .（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)z = f（x,y）在點（1, - 1）處可微，且滿足f_xy + ,sin（j?y） = 3ez +4d +o（ Jf,求函數(shù)=/（z,y）在點（1, 一 1）處的梯度及該點處的最大方向?qū)?shù).第3頁(共8頁)19 .（本題滿分12分）設(shè)點P" ,y）,z°）是曲面S：+=1在第一卦限部分上的點名是曲面S在該點的切Z 40平面的第一卦限部分的上側(cè).（1）求曲面積分/ + .ydzxlr+之心山；V（2）問m,y）,z。取何/時,/的值最小?第

8、7頁（共8頁）20 .（本題滿分12分）設(shè)/（外在才=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，且lim 口=1.證明:X0 X（1）級數(shù)發(fā)散； n=l（2）級數(shù)絕對收斂.21 .（本題滿分12分）設(shè)A為3階實對稱矩陣,tr（A） = 14,齊次線性方程組=0的通解為x = M（2,1,0* + 題（一3,0,l）T,扁，電為任意常數(shù)，求A”.22 .（本題滿分10分）0» 0 & X （ 與，設(shè)隨機變量X服從區(qū)間0,2上的均勻分布,丫 = Z= x-1，求:（i）y的概率分布；（2）Z的概率密度.一、選擇題1.【答案】【分析】1+啟)=Oxd+xJ1)=參考答案與分析卷(八)應(yīng)選c.2

9、 .【答案】A【分析】 因為曲線y = /(x)在點(0,0)處的曲率圓為/ +；/ +4y = 0,所以曲線y = f(z)與；r2 + y +4, = 0在點(0,0)處共切線,同凹向，等曲率.由x2 +，+4y = 0,得y'(0) = 0,yr(0) =故 /(0) = 0/(0)=一十.于是，應(yīng)選A.3 .【答案】B【分析】令人工)=nx-kr,j：e (0,+8),則，(工)=9f顯然，當0時/Cr) > OJCr) 單調(diào)增加，方程八工)=0不可能有兩個實根.當為> 0時,/U)有唯一駐點工=看.由于/'(卷)= k2 <. 0.因此 max /(

10、x) = /(-1- )= In 為一1. 乂 /(04-) =oo./(+°°) =8,故當 max fix')= -lnl>0,即OV&V-時，方程fGr) =0有兩個實根.應(yīng)選R4 .【答案】D【分析】 如圖所示，由輪換對稱性知，L = A =0.在Q上，一k<-3& z一V0;在 Di 上,0<1一y43 V n.故 A < 0, A > 0.應(yīng)選 D.5 .【答案】D5聲【分析】 由NA* ) = 1,得r(A) = 一 1,從而齊次線性方程組Ar = 0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)為"一r(A) =

11、”一("-1) = 1.因為5 ,a是非齊次線性方程組Ar = 6的 兩個不同解，所以5 是對應(yīng)齊次線性方程組Ax = 0的非零解，從而S %是Ar = 0的一個基 礎(chǔ)解系.于是,方程組祗=萬的通解為以65)+6 = (A+D© 一切?.其中為任意常數(shù).應(yīng)選D.6 .【答案】B【分析】 設(shè)入為A的特征值，則爐+2入-3 = 0,從而入=1或4=-3.又A為實對稱方陣,故A可相 似對角化.又r(E-A) = 1,故1為A的二重特征值，從而A的全部特征值為1,1,-3.于是，二次型 /(X1，mz,#3)= x'Ax 的規(guī)范形為明 +Z2 Z3.應(yīng)選R7 .【答案】A【

12、分析】 令P=(6 ,收，Q3,a« ),則AP Aa -a： .a< .a；) = .Aa； ./tai)因為-a,線性無關(guān)，所以P可逆.于是FAP=?！癴l10，即A101 ''o1 11 10 10 01 j:，從而b0 -1 -1 -1由于-1-1-1-1-1的秩為3,因此E-A的秩也為3.于是齊次線性方程組(E A)x = 0的解空間的維數(shù)為L 應(yīng)選A.8 .【答案】C【分析】 設(shè)每次試驗成功的概率為p(0<p<l),則三次試驗至少有一次成功的概率為1 一( 1 一衣下.由題意,1-(1 一"=招，解得0= 1.于是,PX = &

13、quot;=4,"=1,2,，則X取偶數(shù)的概率為co2P(X= 2 公 i-1=g(fri=is(f)44一 1 y 勺 _ 2- 2 x 一r - t*i 一行應(yīng)選C.9 .【答案】B【分析】 由于F(x)為連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)，因此F(x)為連續(xù)函數(shù)，從而k = 8,X的概率r24 工 > 2密度為/(公=/(工)=1工'"1 '于是，0,x<2.E(X) = J二工/(H)dr =gdx =-¥ 11 = 3，E(T) = J二=r1dx =- §'=12.故 D(X) =E(X2)-EE(X)32 = 1

14、2-32 = 3.于是，PX> D(X)= P(X>3= 1-F(3)應(yīng)選R10 .【答案】A【分析】 在單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗中，若方差已知，顯著性水平為a,設(shè)P |“|>勺 = a. 則拒絕域為憶=“I |“|>勺.由于當g >az時,憶|二)憶2，因此若1W。.3，則必有“6 Wo.os;即若“ © Was ,則必有u 0 Wo.o>.因此，若在a = 0. 05下接受原假設(shè)Ho .則在a = 0. 01下必 接受原假設(shè)Ho.應(yīng)選A.二、填空題11 .【答案】2#z【分析】令工=0 + *)(1 + 2)(1 + 5)則于是，limln

15、z” = limlnl + (，) J = J ln( 1+/)dr =/ln( 1 + x2) | -J 】 jP"=In 2 - 21 (1- )dr = In 2 - 2(n - arctan x) |= ln2-2(l £)=ln2-2 + .故+(1+方)"=limz” = ej 把 3 = e1*122i = 2ez,12 .【答案】?！痉治觥?2 -j-2dj = f1 ( i J2 W + 二 L x/2 X2 加J-i 4-1Jo e H- 1e 十 I/f1 , gr i x =座足，才，.2?,= jt v2 jir 4smz疝sin22/d

16、/ =1 - cos 4z2dr =Tt13 .【答案】（o,：）【分析】 設(shè)所求形心坐標為（h,歹）.由對稱性知在=0.乂鵬2業(yè)產(chǎn)加V =4= A (4 _ , )dr =Jdrdy y XkX2X3 °14 .【答案】看【分析】如圖所示，匕=7T j： （/ f"=冗得/一7 ）0=舸，匕=2貳 j jcojc jt3 ）dz = 2k（-yx31-x5 ） | =霄。號,由匕=匕,得。=卷.015 .【答案】0【分析】由題設(shè)知,A3 6A 4 = (A Ai)(AAe)(A As)=A3 - (Ai +AZ +A3 )A2 + (Ai Az +A2A3 +一一 )A-

17、A1A2A3. 故41 + a +a=o.于是Ai Az A3Al +入2 +入3入2 M0入2234243 Al=Al +42 +/323 Al=0 As Al=0.A3 Ai A2入1+入2+筋 A1220 Ai 久 216 .【答案】亨【分析】 由于XPGD,丫PMpxy =一十,因此 D(X) = D(Y) =A,D(U) = D(2X + Y) = D(2X) + D(Y) + 2Cov(2X,Y) =4D(X)+ D(Y)+4Cov(X,Y)=4D(X) 4- D(Y) -I- 4pxy /D(X) 7D(Y) = 5A-2A = 3A, Cov(U,X) = Cov(2X + Y

18、,X) = 2Cov(X,X)+Cov(Y,X)=2D(X) + pxy >/D(X7/D(n = 2A - yA = yA.當工且 _ Cov(LT,X) _2A _5/3于是，pux /， I L o-»-/DaT) /DOO 瓜0 2三、解答題17 .【解】，'=* =上dyd2 Hy" = f (取)=g (咖).m=1_.也.j_ =&，cLr'ctr' dy'dr' dr /dr2 d，dr /dr3，dy) dy < dy J則原方程可化為+(1 + e* + sin y)-3 = 0,嚼)即-t2

19、n = d + sin yay方程為二階常系數(shù)非齊次線性方程.與方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為，- 1 = 0,特征根為.2 =士 1,故與方程相應(yīng)的齊次方程的通解為X = Gd ,其中G C為任意常數(shù).可設(shè)方程的一個特解為= A.+ Bcos y+Csin v代入方程得A = -y ,B = 0,C = -y.于是u=+評一畀”故方程的通解(即原方程的通解)為N = Gd+十消一-sin y,其中C C為任意常數(shù).18 .【解】 由函數(shù)z = /Cr,y)在點處可微知,/(,*)在點(1,一1)處連續(xù).在等式ZtQ + e1, sin(zy)一=3- +4寸 +o( /r2 +;/ )中，令

20、(z,y) - (0,0),得 /(1 1) = 7.再在原等式中， 令 y = 0.得 /(F, - 1) = 3cx + 4 + o(|«r| )；在原等式中，令 z = 0.得 /(L ) = 3 + 4/ + 。(I ? I).故(1,-1)=+WIT 1j-ox=lim3e-3 + O(|x|) = |im3(e-.l)+ 叫平.口 lOXx-0 XJ-oL I x I X J= 3 + 0 = 3,= limAl.-l + <.；-eQl-/(l，Tl)= limY - r*o(Ier )y-oy=lim 41 +。(.1)二 1im,imr 叫斗.M k0 yy-

21、0 yy-0 L I y I 3 =-4 + 0 =- 4.于是，grad/(I,-1) = /"(l,-l)i += 3i-4j.故函數(shù)n = /(h，W在點(1,一1)處的最大方向?qū)?shù)為I grad | = 5.19 .【解】令F(z,y,z) =1 + +芻- 1,則曲面S在點P(h°,加備)的切平面的上側(cè)的法向量 440為n =(式(死,，0，20)，凡(10,3。，2：0)，式(70，夕0，備)=(Zo， yo，4比) 切平面方程為2：Xo(x -x0) +-+ -Zo(2 -2o)= o.幺號+ A爺=】增補平面塊2：n = 00,取左側(cè)），工3：z=01產(chǎn) +

22、& 1 .y > 0,z > 0,取后側(cè)),£ :;y =。(甘+1 ,z號+干&1,工0,y20,取下側(cè))，則由高斯公式,/ = ( 0-JJ JJ jj ) idydz + ydzdjr + zcLrd.y玨5小+4 與 互 與“3dv 0 0 0 = n24M=3.卷 n2704 . Jo Nozoy)zo'式中Q為平面E和平面塊,£、&圍成的封閉空間區(qū)域.由(1)可知，令/5，2,2b)=M)M的(/o >0，M >0,2b >0)，則問題轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)/(Zo，M »Zb)=1 下的最大值點.

23、令= JToyoZo +A（，則有匕°（x0 9y0 ,No ,a）= M）Zo + Ar。，Ly0 （x0 ,yo，no，久）=xo«o + 春y。，L和（JTo y（）»Zo »A）工oW +L；（/o，加,z0 »A）yoNo +Axo = 0,JCqZq +令<-To JO 4-AT-ATM）= 0,Zo = 0,工°=窄,73，。=為由于傍母闈是唯一駐點，因此當Ho，M=73Zo = >/2，A =- 2.-p,zo =疙時,/(No,y),zo)= Toyozo取得最大值，從而/取得最小值.V320 .【證】(

24、1)由/Cr)在衛(wèi)=0的某鄰域有二階連續(xù)導數(shù)，且lim 型=1.得/(0) = 0,/(0)= r-»0 JT= l,lim/(J)=/(0) = l>0.由函數(shù)極限的局部保號性知，存在B> j-*0vx-*0 JCt-»Oo.使得當xe (T時,/(工)>0.從而/(h)在(T,S)內(nèi)單調(diào)增加.于是,當”> 得時J()> oo/ ( )OO八0)=o.故2 /(十)可看作正項級數(shù),由于如 一一 =觸 號 =1,而級數(shù)X -發(fā)散由正 n項級數(shù)的比較審斂法知，級數(shù)£；/(十)發(fā)散. ”=I(2)由泰勒公式得，/(十)=八。)+八。號 + 軍(+)2=1 +華 J(O<S<1).由于/'(H)在了 = 0的某鄰域內(nèi)連續(xù),因此lim J= lim=-y | lim/Cf) | = y | /(0) |二0. n001u乙 8*0LtM2于是，級數(shù)x /(：)-絕對收斂.21 .【解】 由于齊次線性方程組Ax = 0的通解為x = M ( 2,1,0* +A(-3,0,1尹.故A有二重特征值為=小=0,且a = (2,1,0)，,a = (-3,0,1是A的屬于a =的=0的線性無