納米光天線寬頻帶特性研究

1、第一章 緒 論1.1研究背景和意義天線的概念于1476年由Aristotle翻譯介紹。自赫茲和馬可發(fā)明天線之后，天線就成為無(wú)線信息傳輸技的重要元素之一。在射頻領(lǐng)域，天線是將電流和磁流轉(zhuǎn)換成無(wú)線電波的設(shè)備，反之亦然，將無(wú)線電波轉(zhuǎn)換成電流。通常，這個(gè)定義比較容易理解天線發(fā)射和接收電磁波。發(fā)射天線的定義意味著它有較高的輻射效率，然而接收天線必須對(duì)無(wú)線電磁波有足夠的敏感性。1895年，Guglielmo Marconi 介紹了天線收音機(jī)。在日常生活中，天線已有大量廣泛應(yīng)用，例如無(wú)線電話、電視廣播、導(dǎo)航系統(tǒng)、等等。在射頻和微波領(lǐng)域，天線是控制無(wú)線通訊的關(guān)鍵技術(shù)。目前通信系統(tǒng)需要新型的工作頻率范圍在微波或

2、者甚高頻的天線。超高頻與和超短波天線同樣適用于航天器通信，包括人造衛(wèi)星。超高頻和超短波天線不僅用于通訊，還可可以用于地球表面的衛(wèi)星監(jiān)測(cè)。并且這些天線還有其它方面非傳統(tǒng)的應(yīng)用，例如：作為環(huán)境傳感器元素。超高頻天線被成功用于乳腺腫瘤的早期診斷和過高熱的療法。需要注意的是超高頻天線和超短波天線是雷達(dá)和電波望遠(yuǎn)鏡的重要組成部分。所有的這些應(yīng)用需要經(jīng)典天線的進(jìn)一步改進(jìn)?？紤]到科學(xué)的一個(gè)新分支納米光學(xué)的出現(xiàn)，天線的定義應(yīng)該擴(kuò)展，納米光學(xué)是研究亞微米甚至納米尺度的物體對(duì)光信號(hào)的傳輸和接收特性。納米光學(xué)提出一個(gè)關(guān)于納米原件之間信息傳輸?shù)男屎头较蛐詥栴}。相對(duì)于較小的組成，甚至單個(gè)分子和分子族，納米光學(xué)中的輻射

3、源本身就是納米器件納米。作為納米天線的納米量級(jí)對(duì)象必須具有輻射效率和方向的特性。在天線輻射或者感應(yīng)電流概念有點(diǎn)不完備的情況下，如何定義這一背景下的天線是一個(gè)問題。納米天線的術(shù)語(yǔ)也開始在研究文獻(xiàn)中出現(xiàn)。接收納米天線是將入射光轉(zhuǎn)化成有限區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)的設(shè)備。相反地，發(fā)射天線是將光頻域中一個(gè)特定的源產(chǎn)生的有限區(qū)域的局域場(chǎng)轉(zhuǎn)化為光輻射。隨著科技的進(jìn)步與發(fā)展，對(duì)數(shù)據(jù)傳輸和處理性能的要求也不斷提高。過去的半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，電子器件的處理速度更快、體積更小、處理能力更有效。然而等比縮小電子器件的尺寸具有極大的挑戰(zhàn)性。影響處理器速度提高的關(guān)鍵問題是電子互連有關(guān)的熱和信號(hào)遲滯，而光互連的數(shù)據(jù)承載能力巨大。如果在分布式

4、系統(tǒng)架構(gòu)的芯片中使用光互連，則可以為上述問題提供解決方案。然而由于介質(zhì)光學(xué)器件受到衍射極限限制，其尺寸被限制在大約半個(gè)光波長(zhǎng)。而納米級(jí)的電子器件比介質(zhì)型的光學(xué)器件小一個(gè)或者兩個(gè)數(shù)量級(jí)。光器件的小型化和器件之間的匹配成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。所以如何獲得超衍射極限的各種光學(xué)器件是實(shí)現(xiàn)納米光學(xué)集成的基礎(chǔ)。1985年，Wessel教授發(fā)現(xiàn)金屬小顆粒有接收和發(fā)射電磁波的性質(zhì)，該現(xiàn)象類似于傳統(tǒng)的天線，基于此最早提出光天線的概念。Grober1于1997年提出了光天線的概念，并且構(gòu)想平面蝴蝶結(jié)型天線作為近場(chǎng)探針。1998年，Ebbesen的亞波長(zhǎng)金屬小孔陣列結(jié)構(gòu)異常透過的實(shí)驗(yàn)結(jié)果2發(fā)表之后，納米結(jié)構(gòu)的電磁特性

5、研究迅速展開。2003年，K.B. Crozier小組制作了金屬薄膜條陣列3，并且發(fā)現(xiàn)了金屬薄膜條陣列對(duì)紅外波段的光有較強(qiáng)的局域和增強(qiáng)效應(yīng)。2004年，W.E. Moerner等人設(shè)計(jì)了金屬蝴蝶結(jié)型天線4，得到了103量級(jí)的場(chǎng)增強(qiáng)。 2005年，B. Hecht小組報(bào)道了能實(shí)現(xiàn)納米量級(jí)聚焦的金偶極光天線5，為納米成像、納米光刻等領(lǐng)域的發(fā)展提供了廣闊的應(yīng)用前景。2006年，Corozier和Capasso小組制造了金材料的納米天線，該天線能實(shí)現(xiàn)直徑40nm的紅外光斑聚焦6。2008年，Mohammadi等人研究了金納米棒和納米球?qū)椛湓摧椛渌p率和輻射效率的影響7。2009年，P.Biagion

6、i 提出了不受極化方向影響的交叉天線，該天線由兩個(gè)偶極天線組成，可將任意極化方向入射的光轉(zhuǎn)化為局域增強(qiáng)的近場(chǎng) 8。2011年，Heykel Aouani 等人設(shè)計(jì)了梯形對(duì)數(shù)周期光天線，并且從理論和實(shí)驗(yàn)上研究該光天線的寬頻帶特性，得到了表面增強(qiáng)紅外吸收增益大約在105量級(jí) 9。2012年，Brian J. Roxworthy 等人利用金蝴蝶結(jié)型納米天線陣列實(shí)現(xiàn)了集高捕獲效率和粒子排序功能于一體的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)單粒子或者多粒子的捕獲和控制以及粒子分選，其低輸入能量的特性在生物應(yīng)用中可以有效地降低樣本的光損傷10。2013年，Yao等設(shè)計(jì)了石墨烯負(fù)載等離子天線。作者利用石墨烯作為可調(diào)負(fù)載，使天

7、線在中紅外頻率區(qū)的調(diào)制范圍達(dá)到650nm 11.近期，武漢大學(xué)鄭國(guó)興與伯明翰大學(xué)教授張霜，利用反射式納米光天線陣列，在實(shí)驗(yàn)中捕捉到愛因斯坦激光全息圖像，并且實(shí)現(xiàn)了高達(dá)80%的實(shí)測(cè)衍射效率。這一成果超越了傳統(tǒng)材料的激光全息水平，而且其制造工藝僅需一步光刻，大大簡(jiǎn)化了工藝流程。美國(guó)伊利諾斯大學(xué)研究小組基曼尼·圖森特設(shè)計(jì)了一種柱-領(lǐng)結(jié)納米天線陣列，在電子掃描顯微鏡下，通過調(diào)整陣列，可實(shí)現(xiàn)對(duì)等離子光學(xué)性質(zhì)的調(diào)控。在掃描電子顯微鏡（SEM）發(fā)出的電子束的作用下，單根或多根p-BNA子陣列，可以實(shí)現(xiàn)60納米/秒的速度變形。在電子束的激發(fā)下，納米天線陣列在等離子推動(dòng)產(chǎn)下，出現(xiàn)明顯變形。2015年3

8、月，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)設(shè)計(jì)了一種凹型結(jié)構(gòu)的納米天線，其尺寸為50 nm。該凹形結(jié)構(gòu)的天線可以在可見光的寬譜范圍產(chǎn)生光熱效應(yīng)，從而為有機(jī)加氫反應(yīng)提供熱源。并且其結(jié)構(gòu)的尖端可以產(chǎn)生局部高溫。而這些特性可以通過降低結(jié)構(gòu)對(duì)稱性和增大顆粒尺寸實(shí)現(xiàn)。國(guó)內(nèi)外的關(guān)于光天線的研究進(jìn)展備受關(guān)注。其在軍事或日常應(yīng)用前景十分廣闊，納米技術(shù)作為一種新的技術(shù)可以在控制和利用納米量級(jí)的物質(zhì)。而納米天線可以超過衍射極限，在納米量級(jí)控制光場(chǎng)。納米天線的尺寸大約是一個(gè)光波長(zhǎng)量級(jí)，所以納米制造工藝必須大10nm。 納米科技和納米技術(shù)例如自上而下的納米制造工具如電臂印刷術(shù)和聚離束和自下而上的技術(shù)，使生產(chǎn)制造這種維度的納米天線成為可能。

9、納米天線的制造工藝為納米光學(xué)器件的發(fā)展提供了新興發(fā)展的機(jī)會(huì)。近年來(lái)，納米制造工藝取得巨大進(jìn)展。同時(shí)，光和納米尺度物質(zhì)相互作用在理論和實(shí)驗(yàn)方面也發(fā)展迅速。納米光學(xué)在這一時(shí)期也蓬勃發(fā)展，這一時(shí)期最激動(dòng)人心的進(jìn)展是納米天線的概念、設(shè)計(jì)和應(yīng)用。從開始出現(xiàn)近場(chǎng)光學(xué)和場(chǎng)增強(qiáng)光譜學(xué)這一概念，它們迅速地演變成增強(qiáng)和改變量子輻射源自發(fā)輻射、促進(jìn)光和物質(zhì)之間的相互作用、納米量級(jí)的光的非線性性以及實(shí)現(xiàn)光通訊鏈路對(duì)的的一個(gè)復(fù)雜工具。介于納米天線的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)改變對(duì)其諧振特性顯著，所以可靠和穩(wěn)定性的納米加工技術(shù)是非常必要的。多種自上而下或者自下而上的納米加工方法已經(jīng)在試驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)。自上而下的方法有電臂印刷術(shù)（EBL）、聚

10、焦離子束（FIB）等。EBL的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于精細(xì)的圖案可直接刻畫，且高能電子的波長(zhǎng)小于1nm，可以有效地避免繞射效應(yīng)，用于實(shí)驗(yàn)室制作微小納米電子元件，是最佳的選擇之一。FIB方法是，首先利用液態(tài)金屬(Ga)離子源產(chǎn)生離子束，然后將離子束經(jīng)過離子槍加速, 聚焦，最后照射于樣品表面從而產(chǎn)生二次電子信號(hào)取得電子像。其對(duì)表面原子利用強(qiáng)電流離子束進(jìn)行剝離, 從而實(shí)現(xiàn)成微、納米級(jí)表面形貌加工。通常是以物理濺射的方式搭配化學(xué)氣體反應(yīng)，有選擇性的剝除金屬,氧化硅層或沉積金屬層。EBL 和FIB的過程如圖所示。自上而下的方法通常用于制造大型的納米天線陣列。而自下而上的方法利用化學(xué)合成和納米粒子的自組裝，其結(jié)晶度非常

11、完美，因此可以放在任何的襯底上。自上而下的方法一個(gè)缺點(diǎn)是需要確定精確的尺寸和納米位置以及組裝策略。其在精確度方面有待提高。 圖 1.1采用EBL和FIB制造納米天線的主要過程40在過去幾年里，有關(guān)光天線的科研課題不斷增加。目前，這一課題已擴(kuò)展到很多領(lǐng)域，像光學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)和醫(yī)學(xué)等等。而納米天線也因其獨(dú)特的性質(zhì)而在生物醫(yī)學(xué)12、太陽(yáng)能利用13、非線性光學(xué)14、光催化15以及高靈敏度檢測(cè)器16等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。通常，人們認(rèn)為納米天線可以從射頻天線的研究中獲取很大的優(yōu)勢(shì)，當(dāng)前納米光學(xué)中遇到的很多問題，已經(jīng)被射頻天線的巨人們實(shí)驗(yàn)證實(shí)并解決。實(shí)際上，將射頻天線的概念應(yīng)用到光學(xué)領(lǐng)域非常有利。但

12、是納米天線與傳統(tǒng)的射頻天線相比，有自身獨(dú)特的性質(zhì)。例如，存在于金屬和介質(zhì)界面的表面等離激元引起的特殊共振?；诒砻娴入x激元共振的納米天線能有效地局域電磁能量。局域表面等離激元的局域場(chǎng)增強(qiáng)效應(yīng)為納米光天線的發(fā)展和提供了廣闊的應(yīng)用前景。1.2表面等離激元和局域表面等離激表面等離子體（Surface Plasmons，SPs）是一種電磁表面波，于1907年由Zenneck提出。等離子體又稱為電漿，是一種類似氣體狀的物質(zhì)，該物質(zhì)由部分電子被剝奪后的原子及原子被電離后產(chǎn)生的正負(fù)電子組成。它存在于兩種媒質(zhì)的邊界。兩這種邊界由無(wú)耗媒質(zhì)和有耗或者金屬組成。表面等離子體在界面面處場(chǎng)強(qiáng)最大，在垂直于界面方向隨著遠(yuǎn)

13、離界面的距離呈指數(shù)衰減，它能夠被電子或光波激發(fā)。最常見的等離子體存在于金屬與介質(zhì)的分界面處，存在于金屬表面的自由振動(dòng)的電子，受到光子的作用，會(huì)在金屬表面產(chǎn)生一種沿著金屬介質(zhì)分界面方向傳輸?shù)氖杳懿ǎ鐖D1.2所示。金屬/介質(zhì)處的自由電子氣在電磁場(chǎng)的激發(fā)下所產(chǎn)生的集體振蕩。當(dāng)電子的振蕩頻率等于電磁場(chǎng)的頻率時(shí)就會(huì)產(chǎn)生共振，這時(shí)形成的電磁模式稱為表面等離激元(Surface Plasmon Polaritons, SPPs) 17, 18。圖1.2 TM極化的電磁波與金屬作用產(chǎn)生的表面等離激元示意圖。而電磁波有TE與TM兩種偏振方式，下面介紹金屬分別在TE和TM兩種不同偏振方向電磁波的照射，金屬介質(zhì)界

14、面處的等離子體情況。首先考慮TE極化的電磁波，由于TE極化的電磁波在介質(zhì)與金屬的分界面處，只存在沿著金屬與界面方向的連續(xù)的水平電磁分量，因此TE極化的電磁波波不能在金屬表面產(chǎn)生SPPs。對(duì)于TM極化的電磁波有：(1-2-1)(1-2-2)電場(chǎng)與磁場(chǎng)在金屬與介質(zhì)的分界處須滿足連續(xù)性條件如下：(1-2-3)式中，表示介質(zhì)的介電系數(shù)，是金屬的介電系數(shù)。由于表面波具有對(duì)稱性，所以有， 得到金屬與介質(zhì)的介電常數(shù)的關(guān)系為：(1-2-4)金屬的介電常數(shù)小于0，因此其可以激發(fā)SPPs. 將上面各式帶入如下的Maxwell方程組中，(1-2-5)(1-2-6)可得(1-2-7)表面等離激元的色散關(guān)系表示為：(1

15、-2-8)如果利用理想得Drude模型，即忽略中的虛部，因?yàn)樵诟哳l極限情況下非常小，因此可以忽略與有關(guān)得項(xiàng)?？傻媒饘俚慕殡姵?shù)：(1-2-9)將式(1-2-9)帶入式(1-2-8)可得：(1-2-10)由上式可知SPPs在金屬和介質(zhì)中的波矢。當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，且頻率表面等離激元的電磁場(chǎng)可以分為輻射性和非輻射性兩種形式。當(dāng)頻率較小，且滿足時(shí)，和都是虛數(shù)。也就是說，SPPs產(chǎn)生的電磁場(chǎng)振幅在垂直于金屬與介質(zhì)的界面的方向上，隨著遠(yuǎn)離界面的方向而呈現(xiàn)指數(shù)衰減。而在與金屬介質(zhì)界面平行的方向上，SPPs的電磁場(chǎng)則沿著該界面?zhèn)鞑ァ４藭r(shí)，SPPs為非輻射性表面等離激元，如圖1.3所示。常用的金屬受到電磁波激發(fā)，其產(chǎn)

16、生的電磁場(chǎng)被局域在金屬附近，即是此類的非輻射的SPPs。若電磁波的頻率較大，且，此時(shí)與均為實(shí)數(shù)，此時(shí)產(chǎn)生的表面等離元可以輻射到遠(yuǎn)離金屬表面的自由空間中。圖1.3金屬介質(zhì)表面等離激元色散圖19電磁場(chǎng)與粗糙的金屬表面或者金屬納米顆粒相互作用，產(chǎn)生的SPPs表現(xiàn)為局域表面激元（Localized Surface Plasmon: LSPs）。當(dāng)金屬粒子的尺寸遠(yuǎn)小于入射光的波長(zhǎng)，在外加電場(chǎng)的作用下，金屬粒子中的自由電子會(huì)以金屬粒子為中心發(fā)生集體振蕩，如圖1.4 所示。這特定的波長(zhǎng)下，電子會(huì)與電磁場(chǎng)產(chǎn)生共振，稱為表面等離激元共振。LSPs可以把電磁場(chǎng)的能量局域在很小的空間內(nèi)，使納米結(jié)構(gòu)表面有強(qiáng)烈的局域近

17、場(chǎng)。這種特點(diǎn)為研究納米光學(xué)成像、納米光刻、納米傳感等領(lǐng)域提供理論支持。圖 1.4 納米金屬顆粒在外電場(chǎng)的作用下的局域LPSs示意圖。LSP會(huì)受到金屬納米粒子的結(jié)構(gòu)參數(shù)和介質(zhì)環(huán)境的影響 19，納米粒子形狀、尺寸以及材料不同產(chǎn)生的LSPs的現(xiàn)象也不同。如圖1.5是在TM模式電磁場(chǎng)激發(fā)下，不同結(jié)構(gòu)的納米粒子LSPs的近場(chǎng)分布 19, 20。由圖可知，在納米粒子的比較尖銳的部分容易產(chǎn)生強(qiáng)烈的局域LSPs, 有類似避雷針效應(yīng)的現(xiàn)象。而對(duì)于納米棒結(jié)構(gòu)，其表面的LSPs的包絡(luò)呈現(xiàn)出余弦曲線的形狀。圖 1.5 各種不同形狀的金屬納米粒子的LSP的近場(chǎng)分布 20,21需要注意的是金屬材料在電磁場(chǎng)的作用下有特殊的

18、色散特性。金屬受低頻光激發(fā)時(shí)，幾乎沒有色散現(xiàn)象，電磁波對(duì)金屬的穿透深度也不大，電磁場(chǎng)和金屬的相互影響可以忽略。但是在頻率較高的紅外波，金屬的色散嚴(yán)重，且電磁波對(duì)其穿透深度已達(dá)納米量級(jí)，因此必須考慮金屬的色散特性。常用的色散模型包含Debye模型、Lorentz模型、Drude模型和Lorentz-Drude模型段早在二十世紀(jì)初，表面電荷振蕩與電磁場(chǎng)之間的相互作用使得表面等離激元具有很多獨(dú)特的性質(zhì)。1.3 納米天線的基本結(jié)構(gòu)和主要性能參數(shù)1.3.1納米天線的基本結(jié)構(gòu)納米天線一般由納米量級(jí)的顆粒組成，其結(jié)構(gòu)形式多種多樣。比較常見的有納米納米棒型、納米粒子對(duì)、Yagi-Uda、蝴蝶結(jié)型以及對(duì)數(shù)周期型

19、，如圖1.6所示。納米天線的性質(zhì)與其天線的結(jié)構(gòu)、材料特性以及介質(zhì)環(huán)境密切相關(guān)。因此對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)控，可以實(shí)現(xiàn)其光學(xué)特性（場(chǎng)增強(qiáng)、Purcell因子等）的改變。圖 1.6 納米天線的幾種常見結(jié)構(gòu)。(a)納米棒；(b)納米粒子對(duì)；(c)八木天線；(d)蝴蝶結(jié)型；(e)對(duì)數(shù)周期型1.3.2納米天線的主要性能參數(shù)總結(jié)經(jīng)典的天線的定義可以概括為既可以有效地從外部設(shè)備接收能量也可以將局部的的電磁能量轉(zhuǎn)換成電磁輻射的設(shè)備。發(fā)射天線輻射源的尺寸遠(yuǎn)小于它們發(fā)射信號(hào)的波長(zhǎng)，這樣的源稱為量子輻射源。由于它們的光學(xué)尺寸極小，輻射效率非常低，所以它們不能視為光天線。如果一個(gè)納米天線在輻射源附近，它會(huì)被強(qiáng)烈的局域場(chǎng)激發(fā)

20、，并且發(fā)射一個(gè)高振幅電磁波。因此，使用納米天線顯著增加了輻射源的輻射功率。從這個(gè)角度看，一個(gè)發(fā)射天線的關(guān)鍵在于提輻射源的能量并且能充分地將這部分能量轉(zhuǎn)換成很強(qiáng)的輻射。另一方面，納米發(fā)射天線與射頻微波發(fā)射天線的功能類似，都是對(duì)空間的電磁能量進(jìn)行重新分配。 同樣的，接收納米天線的主要特性是有效地激發(fā)量子輻射探測(cè)器，這種探測(cè)器的尺寸相對(duì)于入射信號(hào)的波長(zhǎng)而言非常小，因此它們可以入射信號(hào)輻射僅有的小功率。納米天線可以在探測(cè)器附近產(chǎn)生一個(gè)強(qiáng)烈的局域場(chǎng)，也因此顯著地增強(qiáng)了被探測(cè)到信號(hào)的能量。此外，接收納米天線方向性特性取決于設(shè)備具體實(shí)際應(yīng)用。有時(shí)，需要將能量聚集到一起形成一個(gè)窄的波臂，例如耦合兩個(gè)分開放置的

21、輻射源或者一個(gè)輻射源和一個(gè)光纖。此外，接收納米天線的響應(yīng)必須具單向性特點(diǎn)。例如，接收天線容易被來(lái)自某個(gè)方向空間信號(hào)的激發(fā)，而幾乎不受來(lái)自另外方向的空間信號(hào)的影響?？傊?，不管是發(fā)射天線還是接收天線在天線內(nèi)部都有大量的電磁能量損耗。根據(jù)互易定理，任何的納米天線都可以作為發(fā)射器和接收器。如圖1.7(a)所示，發(fā)射納米天線將發(fā)射器場(chǎng)產(chǎn)生的近場(chǎng)的能量轉(zhuǎn)換成能量輻射出去。接收天線將入射信號(hào)的輻射能量轉(zhuǎn)化成一個(gè)局域近場(chǎng)，如圖1.7(b)所示。圖 1.7發(fā)射天線(a)和接收天線(b) 22能量通常是通過波導(dǎo)傳遞到微波天線，這種天線將波導(dǎo)模式轉(zhuǎn)換成自由的空間輻射。在使用光學(xué)尺寸非常小的納米天線的情況下，波導(dǎo)模必

22、須具有亞波長(zhǎng)量級(jí)的橫截面才能稱為的等離子體波導(dǎo)。等離子體波導(dǎo)的波導(dǎo)模式相對(duì)自由空間的波長(zhǎng)而言，其有效波長(zhǎng)的極大壓縮。基于此, 模式的能量都集中一個(gè)橫截面非常小的區(qū)域。由互易定理可知，這種天線也可以講入射的輻射信號(hào)轉(zhuǎn)換成波導(dǎo)模式。通過等離子體波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)饋電配置對(duì)于納米天線在實(shí)際應(yīng)用中非常重要，尤其是無(wú)線通信系統(tǒng)在納米量級(jí)的發(fā)展。下面介紹數(shù)值仿真過程中常用到的光天線的幾個(gè)主要參數(shù)，包括經(jīng)典的天線中經(jīng)常用到的參數(shù)和數(shù)值仿真計(jì)算過程中用于分析的參數(shù)。首先介紹的是天線的方向性，方向性是一個(gè)天線的基本參數(shù)，包括納米天線。對(duì)于任何天線，無(wú)論是射頻還是光頻，對(duì)定向發(fā)射的量化是非常關(guān)鍵的。天線的方向性 是在總輻射

23、功率相同的情況下，天線在最大輻射功率方向 的輻射功率與天線的平均功率之比。 (1-3-1)天線的角方向性表示 表示天線將能量集中到某個(gè)特定方向的效率。也就是非常小的固體角或者近似的平面波。下面是幾個(gè)典型系統(tǒng)的方向性圖。方向性圖是根據(jù)天線幾何結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性選擇的某一特定平面所構(gòu)成的。對(duì)于具有一個(gè)球形方向性的各向同性的發(fā)射器，只需要選著一個(gè)這樣的平面。由于偶極子發(fā)射器的對(duì)稱性，兩個(gè)這樣的平面就足夠了。平行于電場(chǎng)方向的方向圖切面稱為E面，另外一個(gè)面稱為H面，H面與E面垂直。偶極子的E面方向性圖由公式表示。是向量與偶極子軸向向量的夾角。電動(dòng)力學(xué)和輻射理論的一個(gè)重要概念是惠更斯定理，即兩個(gè)相互正交的偶極距

24、可以產(chǎn)生相位共振。這種元件的方向性圖是一個(gè)向量，并且該向量具有軸對(duì)稱性。它由公式確定。電流和磁流的振幅和相位的另外一個(gè)關(guān)系是，它們方向性圖軸對(duì)稱性消失。圖三1.8是一個(gè)典型的八木天線的方向性圖。從圖中可以看到主瓣，旁瓣和后瓣的位置。方向性圖在某一方向輻射的集中性用方向性系數(shù)或者方向性來(lái)表示。方向性系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)定義由下列公式表示。是系統(tǒng)輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)的總能量，即輻射功率 的角分布沿著球面的積分，其中 是求坐標(biāo)系下的角坐標(biāo)，是立體角的微元?？紤]到在觀察點(diǎn)處，坡印亭矢量模量存在，當(dāng)一個(gè)定向天線被一個(gè)非定向天線代替時(shí)，方向性系數(shù)顯示輻射功率應(yīng)該增加的倍數(shù)。這個(gè)表達(dá)式歸一化到，所以各向同性源的方向性整體上相

25、等，并且偶極子的方向性是1.5.(1-3-2)方向性（1-3-1）是空間方向的公式，但是有時(shí)知道方向性的最大值已足夠，也就是方向圖主瓣方向的值。表示為 (1-3-3)其中， 是傳輸?shù)街靼甑墓β?。圖 1.8八木天線的方向性圖 23。天線工作時(shí)，其材料中能量的損耗是不可忽視的。 這些能量損耗量用天線效率來(lái)量化。天線效率定義為系統(tǒng)輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)的功率與輸入到天線的總功率之比。 (1-3-4)其中， 是納米天線的材料總損耗能量。對(duì)于理想的無(wú)損耗天線 。但是天線效率的公式并不包含發(fā)射器本身的損耗。有時(shí)，將這部分損耗考慮在內(nèi)也很有必要。發(fā)射器的內(nèi)部效率由下式表示：(1-3-5)其中，是發(fā)射器的內(nèi)部損耗能量，

26、發(fā)射器的輻射能量?？紤]到發(fā)射器的內(nèi)部損耗，輻射效率公式可以改寫為(1-3-6)然而在實(shí)踐中，估算發(fā)射器損耗的輻射功率是非常困難或者根本不可能。因此公式中的 通常取值1，在理論計(jì)算中，通常認(rèn)為發(fā)射器是理想的無(wú)內(nèi)部損耗的發(fā)射器?；诖?，所以在式(1-3-6)分子和分母中的 項(xiàng)可以省去。天線性能的一個(gè)更重要的數(shù)字指標(biāo)是功率增益。它將天線的方向性和效率結(jié)合起來(lái)。天線增益是與各向同性發(fā)射器相比天線的功率增加的量化。其中，各向同性發(fā)射器的效率(1-3-7)因此，增益是天線在給定的角度下重新定向時(shí)對(duì)提高發(fā)射的量化。當(dāng)在發(fā)射器附近放置天線放時(shí)，其激發(fā)和發(fā)射方向會(huì)發(fā)生改變。發(fā)射率在某個(gè)特定角度的增強(qiáng)和極化等于在

27、相同的角度和極化條件下用平面波照射產(chǎn)生的發(fā)射率增強(qiáng)。當(dāng)然，這樣小的探測(cè)器的特點(diǎn)是吸收截面小，等于吸收的功率與入射光強(qiáng)度的比值，表示如下：(1-3-8)其中，是入射電場(chǎng)的極化方向。采用偶記近似描述的探測(cè)器的吸收截面可以表示為下列形式：(1-3-9)其中表示吸收偶極子的方向，和分別觀測(cè)點(diǎn)處系統(tǒng)中加入納米天線時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)和不存在納米天線時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)。是不存在納米天線是的吸收截面。介于天線可以在一定的空間范圍內(nèi)增強(qiáng)近場(chǎng)，該區(qū)域的探測(cè)器的吸收截面也比之前增大很多，可達(dá)倍。由公式（1-3-9）可知，吸收截面不僅與有關(guān)，還與有關(guān)，令(1-3-10)稱為局域場(chǎng)的增強(qiáng)因子。它反應(yīng)了觀測(cè)點(diǎn)處有納米天線時(shí)場(chǎng)強(qiáng)的絕對(duì)值與不存

28、在納米天線是場(chǎng)強(qiáng)的絕對(duì)值的差異。局域場(chǎng)增強(qiáng)因子取值可以大于或者小于1，但是在實(shí)際應(yīng)用中，它的取值必須是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1的，只有滿足這樣的條件才能在納米天線存在的條件下增加探測(cè)器的效率。根據(jù)互易定理，輻射納米天線也可以作為接收納米天線。通過互易定理，納米天線的接收區(qū)域和輻射區(qū)域有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1-3-11)上式中，和分別引入納米天線和納米天線不存在時(shí)的吸收能量，它們是輻射天線的性能參數(shù)。和是引入納米天線后偶極子的積分能量和方向性。是只有偶極子時(shí)的積分能量，是只有偶極子時(shí)的方向性，這些是納米天線工作于接收區(qū)域的主要性能參數(shù)。公式（1-3-11）反映了納米天線工作于發(fā)射區(qū)和接收區(qū)的耦合特性。發(fā)射天線可以

29、很顯著地提高量子發(fā)射器的效率。下面主要介紹Purcell因子的機(jī)制。眾所周知，一個(gè)發(fā)射器有它自己允許的能量態(tài)，所有的這些能量態(tài)都是穩(wěn)定的，當(dāng)從發(fā)射器從一種能量態(tài)激發(fā)到一種新的能量態(tài)時(shí)，新的能量態(tài)必須能夠保持無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間。由于量子發(fā)射器與環(huán)境的相互作用，處于激發(fā)態(tài)的量子發(fā)射器生命期是有限的。這種相互作用使得發(fā)射器自發(fā)躍遷到一個(gè)更低能級(jí)態(tài)，并且伴隨著光子的發(fā)射。這種自發(fā)輻射一直被看作是原子或者分子內(nèi)部的特性，直到1946年，E M Purcell發(fā)表了他的研究工作。Purcell的工作表明，與自由空間的磁偶極子的自發(fā)弛豫速率相比，在諧振的電子設(shè)備中的磁偶極子的自發(fā)弛豫速率會(huì)加大。所以原子或者其他量

30、子發(fā)射器的發(fā)射特性受環(huán)境的影響較大。Purcell的實(shí)驗(yàn)表明，在一個(gè)很廣的范圍內(nèi)控制發(fā)射器的自發(fā)輻射率是可以實(shí)現(xiàn)的。這種效應(yīng)被稱為Purcell效應(yīng)。更為具體的是，納米天線是控制自發(fā)輻射率的一個(gè)有效工具。非均勻系統(tǒng)中的自發(fā)輻射率與自由空間的自發(fā)輻射率相比，可以用Purcell因子表示。Purcell因子的公式定義如下：(1-3-12)其中，總能量包含納米天線輻射的能量、納米天線的材料損耗和環(huán)境損耗能量。 是自由空間中發(fā)射器的輻射能量。Purcell因子反映了在外部環(huán)境影響下發(fā)射器輻射能量的變化。考慮到發(fā)射器的光子輻射在非均勻環(huán)境中的吸收，在實(shí)驗(yàn)條件下，Purcell因子的輻射部分會(huì)被用到，定義

31、如下：(1-3-13)當(dāng)忽略納米天線內(nèi)部損耗時(shí)式（1-3-13）與式（1-3-12）等效?？紤]到這一點(diǎn)，理想發(fā)射器的輻射效率可以表示為(1-3-14)輻射效率隨著的增加趨近于1。效率與能量損耗無(wú)關(guān)， 在是(1-3-14)中只是一個(gè)數(shù)值表達(dá)形式。1.4 光納米天線的應(yīng)用在過去幾年里，受激發(fā)射損耗顯微技術(shù)(stimulated emission depletion, STED)、光激活定位顯微技術(shù)(photoactivatable localization microscopy, PALM)和 隨機(jī)光學(xué)重建顯微技術(shù)(stochastic optical reconstruction microsc

32、opy, STORM)等新型顯微技術(shù)的發(fā)展，使光學(xué)顯微鏡實(shí)現(xiàn)納米量級(jí)分辨率成像。實(shí)驗(yàn)中，尖銳的探針頭被用來(lái)增強(qiáng)局域場(chǎng)效應(yīng)，使空間分標(biāo)率達(dá)到10-30nm。Dieter Pohl發(fā)現(xiàn)光學(xué)探針和納米天線的相似之處，之后掃描電子顯微鏡的研究受到關(guān)注。為了將納米天線應(yīng)用到光學(xué)成像和光譜探針方面，一個(gè)有效的方法是在樣本附近的區(qū)域?qū){米天線進(jìn)行掃描。 所以納米天線被用在在掃描探針的尖端。最初，金屬球粒子被固定在玻璃探針上，在光照射下發(fā)生共振。通過天線-樣本的反向共焦照射可以實(shí)現(xiàn)超分辨成像，另一種方法是天線在探針的孔處，孔徑處的局域場(chǎng)驅(qū)動(dòng)天線諧振實(shí)現(xiàn)成像。這種方法中利用蝴蝶結(jié)或者天線可實(shí)現(xiàn)單分子成像。探針天

33、線的研究主要集中在單分子熒光散射增強(qiáng)和量子輻射增強(qiáng)。這些可以通過使用基于金屬納米球24、納米棒25、和蝴蝶型26的探針實(shí)現(xiàn)。納米天線產(chǎn)生的強(qiáng)烈的局域場(chǎng)可以使拉曼散射增強(qiáng)倍。在試驗(yàn)中，單個(gè)金材料球體被固定在介質(zhì)尖端用來(lái)制造容易控制的天線探針。如圖1.9(a)是Taminiau等人在一個(gè)探針上刻一個(gè)80 nm 鋁棒作為單極天線。這些納米球天線應(yīng)用于光纖近場(chǎng)探針可以使單細(xì)胞蛋白可以達(dá)到高分辨成像。在液體中的細(xì)胞壁成像分辨率可達(dá)30nm.圖 1.9基于納米天線的生物成像 27(a)示意圖；(b)通過天線探針形成的熒光標(biāo)記的抗體成像 輻射源與納米天線耦合的研究是諧振納米天線的一個(gè)關(guān)鍵的應(yīng)用。當(dāng)一個(gè)輻射源

34、放在納米天線的熱點(diǎn)區(qū)域時(shí)，單輻射源在衰減過程會(huì)產(chǎn)生天線諧振模式的單峰等離子體，而不會(huì)產(chǎn)生自由傳播的光子?；诘入x子體的輻射衰減，自由傳播的單光子產(chǎn)生并且具有諧振天線的特性，例如，諧振譜，極化和輻射模式。在納米天線附近的熒光分子的輻射可以增強(qiáng)三個(gè)數(shù)量級(jí) 28研究發(fā)現(xiàn)兩個(gè)金屬納米粒子之間的菱形納米晶體的輻射衰減率增強(qiáng)一個(gè)數(shù)量級(jí) 29。近期，實(shí)驗(yàn)表明通過電臂印刷術(shù)可以將非定向輻射量子點(diǎn)耦合到八木納米天線 30大多數(shù)天陽(yáng)能電池的發(fā)光原理是利用光生伏特效應(yīng)實(shí)現(xiàn)光電轉(zhuǎn)化?；诠杈w片太陽(yáng)能雖然有高效率、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，但是其對(duì)電池片的厚度要求高，一般都大于150微米，因此其生產(chǎn)成本高，影響了太陽(yáng)能電池推廣

35、使用。第二代太陽(yáng)能電池采用薄膜化處理技術(shù)，顯著降低了其生產(chǎn)成本，但其對(duì)太陽(yáng)光的利用效率不高，單結(jié)電池的理論上最大效率只有33% 31，且穩(wěn)定性低。納米光天線在太陽(yáng)電池板中的應(yīng)用，大幅提高了太陽(yáng)能的轉(zhuǎn)化效率，同時(shí)也提高了電池板的吸收截面積。目前，美國(guó)的ITN Energy Systems公司等公司在研究高效的太陽(yáng)能電池方面已經(jīng)取得一定成果。圖1.10是愛達(dá)華實(shí)驗(yàn)室的人員將來(lái)納米天線應(yīng)用到太陽(yáng)能電池的研究進(jìn)展?；诎雽?dǎo)體的納米天線在提高太陽(yáng)能電池板的性能方面有也重要的應(yīng)用 32,33。 (a)樣本圖 (b)內(nèi)部電路圖圖 1.10天線太陽(yáng)能電磁的示意圖怎樣探測(cè)高度稀釋的少量分子在包括生物醫(yī)學(xué)安全和危

36、險(xiǎn)化學(xué)物品等領(lǐng)域是非常吸引人的一個(gè)課題。基于等粒子體的納米傳感器因其具有靈敏度高、非標(biāo)記檢測(cè)和體積小等優(yōu)點(diǎn)在該領(lǐng)域前景廣闊。 因?yàn)榧{米天線的局域諧振特性與環(huán)境的介質(zhì)特性有關(guān)，因此基于納米天線的傳感器在超低濃度探測(cè)的應(yīng)用極具吸引力。 納米天線可以將空間中的電磁波耦合在幾百甚至更少的納米量級(jí)的空間內(nèi)，這種光納米聚焦特性對(duì)于傳感設(shè)備的改進(jìn)具有非常重要的作用。近期，基于局域粒子諧振的傳感器出現(xiàn)為等離子傳感開創(chuàng)了新局面。在光纖或者襯底上的基于粒子陣列的傳感器開始出現(xiàn)，并且將傳感精度降低到單粒子量級(jí)34，如圖1.11所示圖 1.11天線增強(qiáng)式單粒子氫傳感器16(a)氨傳感與單個(gè)納米粒子；(b)使用諧振天線

37、增強(qiáng)氫傳感M I Stockman 在理論上表示，在超快速激發(fā)時(shí)，具有納米尺度幾何結(jié)構(gòu)特性的任意金屬表面在近場(chǎng)出現(xiàn)局域話增強(qiáng)現(xiàn)象，這是因?yàn)槎嗄８缮?35。通過控制發(fā)射脈沖的時(shí)間脈沖波形，場(chǎng)的局域化可以控制 36。而時(shí)域波形可以任意改變，只要改變用于激發(fā)的激光脈沖的相位和幅度。試驗(yàn)中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了利用納米金屬粒子對(duì)局域近場(chǎng)在時(shí)間和空間上的調(diào)控 37。Huang 等人理論上證明納米天線的間隙處或者天線的納米環(huán)路的指定位置的局域場(chǎng)的時(shí)域波形可以進(jìn)一步優(yōu)化 38。近期，Utikal等人證明了通過控制激發(fā)脈沖的脈沖，在超短脈沖在混合納米等離子體光子系統(tǒng)中感應(yīng)的近場(chǎng)，可以被增強(qiáng)或者改變其方向39。 實(shí)驗(yàn)中，這

38、些現(xiàn)象的探測(cè)和分析，依賴于能傳播到遠(yuǎn)場(chǎng)的非線性信號(hào)的生成，例如三次諧波 40。利用蝴蝶結(jié)型納米天線產(chǎn)生的高次諧波如下圖1.12所示。圖 1.12利用蝴蝶結(jié)型納米天線產(chǎn)生的高次諧波391.5 本文主要內(nèi)容第二章，介紹了紹了數(shù)值計(jì)算方法時(shí)域有限差分法的原理、時(shí)域有限差分法源的設(shè)置、邊界條件設(shè)置、以及穩(wěn)定性分析等。 第三章，蝴蝶結(jié)型納米光天線Purcell因子和電場(chǎng)增強(qiáng)的優(yōu)化。首先介紹了蝴蝶結(jié)型納米天線的研究背景。然后對(duì)蝴蝶結(jié)型納米天線在不同的長(zhǎng)度、展開角、尖端曲率半徑以及天線厚度，在可見光和近紅外波段進(jìn)行仿真，計(jì)算了天線的Purcell因子和電場(chǎng)分布，并分析了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)Purcell因子和近場(chǎng)

39、分布的影響。最后計(jì)算了蝴蝶結(jié)型納米天線的天線效率，并分析了天線效率與展開角及尖端曲率半徑的關(guān)系。第四章，齒形對(duì)數(shù)周期納米光天線的多諧振場(chǎng)增強(qiáng)特性。首先介紹了對(duì)數(shù)周期納米天線的研究背景以及應(yīng)用，然后給出了齒形對(duì)數(shù)周期納米天線的仿真模型及結(jié)構(gòu)參數(shù)。利用FDTD方法計(jì)算了其場(chǎng)增強(qiáng)和Purcell效應(yīng)。分析了其光學(xué)特性與其結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，討論了其多諧振場(chǎng)增強(qiáng)特性與近場(chǎng)分布之間的關(guān)系，并用保角變化解釋了其多諧振場(chǎng)增強(qiáng)特性的內(nèi)在機(jī)理。最后與具有相同結(jié)構(gòu)參數(shù)的蝴蝶結(jié)型納米天線做了對(duì)比研究。給出了對(duì)數(shù)周期納米光天線多諧振場(chǎng)增強(qiáng)特性和Purcell受其結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)控關(guān)系。第五章，基于石墨烯的可調(diào)多諧振場(chǎng)增強(qiáng)

40、對(duì)數(shù)周期納米光天線?；谏弦徽碌慕饘冽X形對(duì)數(shù)周期納米光天線的基礎(chǔ)上，對(duì)石墨烯對(duì)數(shù)周期納米光天線的光學(xué)特性進(jìn)行了研究。首先介紹了基于石墨烯納米結(jié)構(gòu)的研究背景及石墨烯的金屬特性。用Drude模型擬合了石墨烯的介電常數(shù)。介紹了基于石墨烯的對(duì)數(shù)周期納米光天線的仿真模型及結(jié)構(gòu)參數(shù)。并完成了基于石墨烯的對(duì)數(shù)周期納米天線的場(chǎng)增強(qiáng)及雷達(dá)散射截面的仿真計(jì)算。根據(jù)仿真結(jié)果，討論其多諧振場(chǎng)增強(qiáng)特性隨石墨烯化學(xué)勢(shì)變化的規(guī)律。并分析討論了石墨烯化學(xué)勢(shì)對(duì)其雷達(dá)散著截面的影響。最后總結(jié)了石墨烯化學(xué)勢(shì)對(duì)對(duì)數(shù)周期納米天線光學(xué)特性的調(diào)控規(guī)律。第六章，總結(jié)與展望，對(duì)文本的研究工作進(jìn)行了總結(jié)并強(qiáng)調(diào)了創(chuàng)新點(diǎn)，同時(shí)指出了可進(jìn)一步研究的工

41、作。第二章 納米光天線的數(shù)值分析方法近年來(lái)隨著計(jì)算機(jī)性能的提高以及數(shù)值分析方法的改進(jìn)，數(shù)值分析成為分析納米結(jié)構(gòu)的重要方法之一。目前，用于納米光天線的比較常見的方法有時(shí)域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method, FDTD)1-3、有限元發(fā)(Finite Element Method, FEM) 4、 矩量法(Method of Moment, MoM)56。自1966年K.S. Yee 3 提出了FDTD算法，該方法歷經(jīng)半個(gè)世紀(jì)的不斷改進(jìn)和發(fā)展，具有非常廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。因其具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，網(wǎng)格劃分靈活，精度高等優(yōu)點(diǎn)，其在微波與光器件的設(shè)計(jì)和電磁分析中有

42、廣泛的應(yīng)用。 因其可以實(shí)現(xiàn)各種材料的任意結(jié)構(gòu)建模，并且可以直接進(jìn)行電磁計(jì)算，我們選擇FDTD方法對(duì)納米光天線的特性進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真。2.1 FDTD算法基本原理FDTD方法的基本原理是將微分形勢(shì)的麥克斯韋旋度方程進(jìn)行差分離散，從而得到一組時(shí)域的遞推公式，在滿足安培環(huán)路定理和法拉第電磁感應(yīng)定律的條件下，對(duì)Maxwell方程進(jìn)行直接求解。 該方法可用于計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)和費(fèi)俊宇介質(zhì)的電磁場(chǎng)傳播、散射以及輻射問題。對(duì)于各向同性的介質(zhì)，其空間中電磁場(chǎng)滿足如下Maxwell旋度方程(2-1-1a)(2-1-1b)其中為電場(chǎng)強(qiáng)度，為電位移矢量，為磁場(chǎng)強(qiáng)度，為電流密度，為磁流密度。對(duì)于各向同性線性介質(zhì)其本構(gòu)關(guān)系

43、如下(2-1-2a)(2-1-2b)(2-1-2c)其中為介電系數(shù)，為磁導(dǎo)系數(shù)， 為電導(dǎo)率，為導(dǎo)磁率。 和 分別為介質(zhì)的電損耗和磁損耗。真空中， 。利用本構(gòu)關(guān)系，在直角坐標(biāo)系中，公式2-1-1和公式2-1-2可寫為 (2-1-3a)(2-1-3b)(2-1-3c) (2-1-3d) (2-1-3e)(2-1-3f)接下來(lái)，我們將方程2-1-3 轉(zhuǎn)化成離散形式，其中E或者H在直角坐標(biāo)系中的某一分量用表示，令 表示其在時(shí)間和空間域中的離散。對(duì)電磁場(chǎng)E、H分量在空間和時(shí)間上對(duì)采取交替抽樣的離散方式，每一個(gè)電場(chǎng)E（或者磁場(chǎng)H）分量周圍有四個(gè)磁場(chǎng)分量H（或電場(chǎng)分量E）環(huán)繞。這種電磁場(chǎng)的空間各節(jié)點(diǎn)的排布方

44、式稱為Yee 氏元胞，如圖2.1所示。這樣的電磁場(chǎng)空間分布符合法拉第電磁感應(yīng)定律和安培環(huán)路定律。圖2.1 Yee 元胞結(jié)構(gòu)在Yee 元胞結(jié)構(gòu)上，六個(gè)場(chǎng)分量在Yee元胞表面進(jìn)行離散，在空間上各電場(chǎng)分量 在Yee 元胞表面的中間離散；各磁場(chǎng)分量 在Yee 元胞的棱邊中間離散。這樣每個(gè)坐標(biāo)軸方向上的場(chǎng)分量間相距半個(gè)網(wǎng)格空間步長(zhǎng)。在時(shí)間上，各個(gè)電場(chǎng)分量分布在元胞面的中間，其方向垂直于元胞面，各磁場(chǎng)分量分布在元胞棱邊上，方向與棱邊一致，這樣電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量相差半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。這種空間的電磁場(chǎng)分布使麥克斯韋方程離散后可以構(gòu)成顯式差分方程。Yee元胞中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)各分量空間節(jié)點(diǎn)與時(shí)間步取值約定如表2.1所示

45、。于是Maxwell標(biāo)量方程的顯示遞推形式可寫成如下形式：表2-1 Yee 元胞中E、H各分量節(jié)點(diǎn)的位置電磁場(chǎng)分量空間分量取樣時(shí)間軸t取樣X坐標(biāo)Y坐標(biāo)Z坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)i+1/2jknij+1/2kijk+1/2H節(jié)點(diǎn)ij+1/2k+1/2n+1/2i+1/2jk+1/2i+1/2j+1/2k(2-1-4a)(2-1-4b)(2-1-4c) (2-1-4d)(2-1-4e) (2-1-4f)其中，和分別是計(jì)算節(jié)點(diǎn)處的電導(dǎo)率和介電常數(shù)，Dx, Dy, Dz分別是直角坐標(biāo)系x,y,z方向的空間步長(zhǎng)，為時(shí)間步長(zhǎng)。n代表時(shí)間步，（i,j,k）表示Yee網(wǎng)格中場(chǎng)分量的坐標(biāo)。2.2 FDTD的數(shù)值穩(wěn)定性和數(shù)值色散

46、2.2.1數(shù)值穩(wěn)定性在時(shí)間步和空間步無(wú)限小時(shí)，為了保證FDTD差分方程的解無(wú)限趨近原來(lái)電磁場(chǎng)偏微分方程的解之間，F(xiàn)DTD差分方程的解必須是收斂和穩(wěn)定的。即當(dāng)離散間隔趨于零時(shí)，差分方程的解在空間任意一點(diǎn)和任意時(shí)候都趨于原方程的解并且與原方程解的差為有界。為了保證FDTD差分方程數(shù)值解的收斂性，時(shí)間步長(zhǎng)需滿足Courant條件，在三維仿真計(jì)算中有： (2-2-1)上式稱為Courant穩(wěn)定性條件，其中為介質(zhì)中的光速。若網(wǎng)格為正方形，取，得到。對(duì)于二維情況有。在非均勻網(wǎng)格中，時(shí)間步長(zhǎng)2.2.2數(shù)值色散數(shù)值色散是出現(xiàn)在有限差分方法中不受歡迎的一種非物質(zhì)效應(yīng)。簡(jiǎn)而言之，數(shù)值色散意味著電磁波的傳播速率取決

47、于波的頻率和波的傳播方向。在定性方面，數(shù)值色散引起波形畸變。對(duì)頻率的依賴導(dǎo)致高頻部分滯后，然而對(duì)傳播方向的依賴導(dǎo)致球形波輕微地變方。在對(duì)微分方程進(jìn)行有限差分計(jì)算過程中，數(shù)值色散導(dǎo)致不同頻率的電磁波以不同的速度傳輸，還可能影響空間離散方式，從而對(duì)計(jì)算精度產(chǎn)生嚴(yán)重影響。為了盡可能減小數(shù)值色散對(duì)計(jì)算精度的影響，需要嚴(yán)格限制其時(shí)間和空間的離散步長(zhǎng)。時(shí)間步長(zhǎng)須滿足下列條件： (2-2-2)對(duì)于空間步長(zhǎng)，要求滿足(2-2-3) 減小時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)會(huì)提高計(jì)算精度越高，但是網(wǎng)格越密，時(shí)間步越小對(duì)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量需求越大計(jì)算時(shí)間也越長(zhǎng)。所以在實(shí)際計(jì)算過程中，需要根據(jù)需要選擇合適的時(shí)間和空間步長(zhǎng)。2.3激勵(lì)源的

48、設(shè)置納米光天線的光學(xué)特性需要源來(lái)激發(fā)，如何根據(jù)實(shí)際計(jì)算需要。設(shè)置合適的激勵(lì)源，是仿真計(jì)算納米光天線特性的關(guān)鍵之一。經(jīng)過多年的發(fā)展，激勵(lì)源的設(shè)置有多種多樣。從頻譜特性看，有連續(xù)波源、脈沖源；從場(chǎng)的特性看， 有E型源和H型源；從空間分布看，有面源、線源、點(diǎn)源；面源中平面波源為典型。本文中光天線的仿真主要用到平面波源和點(diǎn)源。所以本章節(jié)主要介紹平面波源和點(diǎn)源的設(shè)置。2.3.1平面波源其波陣面（在任何時(shí)刻，波相位相等的每一點(diǎn)所形成的曲面）是相互平行的平面，且波的傳播方向垂直于波前波稱為平面波。平面波是研究光天線輻射特性常用的激勵(lì)源之一。在球坐標(biāo)系中，任意方向入射的平面波的波矢量用k表示，方向?yàn)?。另外兩個(gè)

49、方向的單位矢為和，如圖2.2(a)所示。圖2.2 球坐標(biāo)系下的入射波將球坐標(biāo)中的矢量變換到直角坐標(biāo)系中，則對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： (2-3-1)其中變換矩陣的具體形式為： (2-3-2)其中為與軸的夾角，是在面的投影與軸的夾角。當(dāng)入射波沿著方向時(shí)，將式（2-3-2）帶入式（2-3-1）可得： (2-3-3)若平面波為線極化波，設(shè)電場(chǎng)在球坐標(biāo)系平面內(nèi)與的夾角即極化角為，如圖2.2(b)所示, 因而入射電場(chǎng)可以寫為： (2-3-4)其入射場(chǎng)可表示在直角坐標(biāo)系中有如下形式： (2-3-5)將(2-3-5)展開得某一點(diǎn)的電場(chǎng)分量如下： (2-3-6)將入射的磁場(chǎng)做類似的處理，得相應(yīng)的公式為： (2-3-7

50、)2.3.2 點(diǎn)源偶極子源在光天線仿真計(jì)算中使用較多，下面主要介紹點(diǎn)偶極子源在FDTD計(jì)算中的設(shè)置。電偶極子源由大小相等、間距為l的兩個(gè)異性電荷組成。電荷量用q表示，電偶極距表示為。根據(jù)，有 (2-3-1)自由空間中，點(diǎn)偶極子的輻射場(chǎng)如下：(2-3-2)將帶入式3-2-2得(2-3-3)使用下列公式將頻域過渡到時(shí)域 (2-3-4) (2-3-5)得到(2-2-3)的時(shí)域形式為： (2-3-6)即是電偶極子輻射場(chǎng)的時(shí)域公式。如果在FDTD中加入電偶極子源。由麥克斯韋方程得 (2-3-7)其中電流密度與電荷系統(tǒng)的電偶極距的干洗可以表示為下列形式 (2-3-8) 設(shè)定一個(gè)極小的FDTD的元胞尺寸為，

51、則上式可化為 (2-3-9)將及，可得 (2-3-10)若偶極子源平行于軸放置，且只考慮上試的分量。在時(shí)刻，可得(2-2-10)的FDTD的差分離散為 (2-3-11) 這種偶極子源的添加方法適用于偶極子所在的節(jié)點(diǎn)位置。當(dāng)FDTD元胞不是立方體時(shí)，則將（2-2-11）中的改為。對(duì)于偶極子以外的其它節(jié)點(diǎn)，無(wú)源空間FDTD計(jì)算公式仍然適用。2.4邊界條件由于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存及處理器的限制，F(xiàn)DTD計(jì)算只能在有限區(qū)域進(jìn)行。而在計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)波導(dǎo)、納米天線等電磁散射、輻射問題時(shí)，其場(chǎng)域是無(wú)限大的空間，此時(shí)的電磁沒有反射效應(yīng)。因此，我們需要對(duì)所需要計(jì)算的有限區(qū)域的邊界通過添加吸收材料或者進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，使該有限區(qū)

52、域內(nèi)的計(jì)算與原無(wú)限空間的計(jì)算近似。合適的邊界條件對(duì)計(jì)算空間中的電磁場(chǎng)不會(huì)產(chǎn)生影響。因此，邊界條件設(shè)置是FDTD計(jì)算的關(guān)鍵之一。目前比較常見的邊界條件有早期Mur吸收邊界條件7、基于吸收媒介的完美匹配層(Perfect Matched Layer, PML)以及周期邊界條件。2.4.1 Mur 吸收邊界條件Mur吸收邊界條件適用于要求不高的特殊場(chǎng)合，是一類較為簡(jiǎn)單的邊界條件。首先考慮Mur一維邊界條件。對(duì)于一階對(duì)于一維波動(dòng)方程(2-4-1) 將上式分解得(2-4-2)(2-4-3)當(dāng)電磁場(chǎng)在邊界上滿足式(2-4-2), (2-4-3)時(shí)，則不會(huì)產(chǎn)生反射?？紤]二維的波動(dòng)方程(2-4-4)將上式分解

53、得到(2-4-5)(2-4-6)其中。將式(2-4-5)和 (2-4-6)中用Taylor展開，取二階近似得到如下形式(2-4-7)整理得(2-4-8)即是Mur二階近似吸收邊界條件。因?yàn)镸ur吸收邊界條件受入射角的影響，僅在入射角較小時(shí)，其反射系數(shù)才不大，所以限制了其應(yīng)用。2.4.2 完美匹配層（Perfectly Matched Layer）下面主要介紹仿真計(jì)算中比較常用的完美匹配層。由Bererger8于1994年提出完全匹配層是FDTD算法中比較常用的吸收邊界條件之一。最初。為了使入射波將無(wú)反射地穿過分界面進(jìn)入PML層，需要在FDTD區(qū)域的截?cái)噙吔缣幵O(shè)置一種介質(zhì)層，且該介質(zhì)層的波阻抗與

54、相鄰介質(zhì)波阻抗完全匹配，使任何方向和頻率的電磁波能進(jìn)入PML層而迅速地衰減。下面以二維TE波為例，簡(jiǎn)要說明PML層的工作原理。由于TE波只有分量，自由空間的麥克斯韋方程組在直角坐標(biāo)系中可表示為： (2-4-9)將帶入式(3-3-9)得麥克斯韋方程組如下： (2-4-10)式中、為介質(zhì)的電導(dǎo)率、為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，表示PML介質(zhì)的各向異性。當(dāng)電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率滿足如下關(guān)系時(shí)： (2-4-11)PML層介質(zhì)的波阻抗與其相鄰介質(zhì)的波阻抗相等，此時(shí)，電磁波可以無(wú)反射地進(jìn)入PML層并且在PML層衰減。式(2-4-11)可以合并為： (2-4-12)上式即使PML介質(zhì)的阻抗匹配條件。二維FDTD計(jì)算中，完美匹配層

55、的參數(shù)設(shè)置如圖2.3所示。邊AC、BD的參數(shù)為PML，邊AB，CD的參數(shù)為PML，四個(gè)邊角區(qū)域的PML參數(shù)為。當(dāng)計(jì)算區(qū)域被PML包圍，任意角度入射的電磁波到達(dá)介質(zhì)/PML分界面時(shí)，都會(huì)毫無(wú)反射地完全進(jìn)入有耗的PML中，并被衰減。圖 2.3 2D-FDTD的PML邊界參數(shù)設(shè)置示意圖將上述理論擴(kuò)展至三維的PML介質(zhì)波動(dòng)方程。在三維PML介質(zhì)中，波動(dòng)方程的6個(gè)場(chǎng)分量分解成12個(gè)子分量，PML介質(zhì)中的麥克斯韋方程可為如下形式：其中，是電導(dǎo)率，是導(dǎo)磁率。當(dāng)PML介質(zhì)邊界的外側(cè)為真空時(shí)，只要PML介質(zhì)的電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率的縱向參數(shù)滿足阻抗匹配條件，橫向參數(shù)為零，則在PML分界面就無(wú)反射。在三維的FDTD計(jì)算中

56、，PML層通常設(shè)置3-9個(gè)網(wǎng)格厚度。2.5 FDTD方法中Drude 色散模型由于頻率的變化會(huì)影響金屬的相對(duì)介電常數(shù)，直接用FDTD進(jìn)行計(jì)算會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不正確。對(duì)色散材料進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥幚碓诠忸l區(qū)域中寬頻帶范圍內(nèi)選擇合適的金屬色散模型，在仿真計(jì)算起著非常重要的作用?；谧枘嶂C振子近似的Lorentz模型可以用來(lái)模擬絕大多數(shù)介質(zhì)的介電常數(shù)。但是基于自由電子氣近似的Drude模型更適合于金屬結(jié)構(gòu)。Drude模型是1900由P.K. Drude提出，是一種針對(duì)金屬材料介電常數(shù)的簡(jiǎn)化模型。Drude模型忽略了金屬電子的帶間躍遷模型只考慮自由電子激發(fā)，只適用于特定頻段的光波（光子能量在3.0-40eV）。

57、根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，在外加電場(chǎng)的時(shí)金屬中的電子運(yùn)動(dòng)方程為 (2-5-1)其中，為碰撞頻率，為電子電荷。隨時(shí)間變化的電場(chǎng)可以寫成,求解上式方程得 (2-5-2)由于電極化矢量，所以單位體積內(nèi)N個(gè)分子的電偶極距可表示為 (2-5-3)根據(jù)電位移矢量與極化強(qiáng)度的關(guān)系可得 (2-5-4)又因在各向同性介質(zhì)中，電位移矢量可表示為(2-5-5) 將式(2-5-5)代入式(2-5-4)得金屬相對(duì)介電系數(shù)： (2-5-6)其中,. 金屬的復(fù)介電常數(shù)和復(fù)折射率定義如下 金屬介電常數(shù)的實(shí)部和虛部可分別表示為 當(dāng)時(shí)，若，且。一般的金屬銅、鋁及貴金屬金、銀等都滿足上述條件。當(dāng)，電磁波的振幅會(huì)隨著距離呈指數(shù)衰減而無(wú)法深入穿透到金屬