高中數(shù)學(xué)雙曲線拋物線知識點總結(jié)教學(xué)教材

1、雙曲線平面內(nèi)到兩個定點,的距離之差的絕對值是常數(shù)2a(2a)的點的軌跡。方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab簡圖范圍,xaxa yr或,yaya xr或頂點(,0)a(0,)a焦點(,0)c(0,)c漸近線byxaayxb離心率(1)ceea(1)ceea對稱軸關(guān)于 x 軸、 y 軸及原點對稱關(guān)于 x 軸、 y 軸及原點對稱準線方程2axc2ayca、b、c 的關(guān)系222cab考點題型一求雙曲線的標準方程1、 給 出 漸 近 線 方 程nyxm的 雙 曲 線 方 程 可 設(shè) 為2222(0)xymn， 與 雙 曲 線22221xyab共漸近線的方程可設(shè)為2222

2、(0)xyab。2、注意：定義法、待定系數(shù)法、方程與數(shù)形結(jié)合?！纠?1】求適合下列條件的雙曲線標準方程。（1）虛軸長為12，離心率為54；（2）焦距為 26，且經(jīng)過點m（0，12） ；（3）與雙曲線221916xy有公共漸進線，且經(jīng)過點3,2 3a。_ x_ o_ y_ x_ o_ y解： （1）設(shè)雙曲線的標準方程為22221xyab或22221yxab(0,0)ab。由題意知， 2b=12，cea=54。b=6，c=10，a=8。標準方程為236164x或2216436yx。（2）雙曲線經(jīng)過點m（ 0，12） ，m（ 0，12）為雙曲線的一個頂點，故焦點在y 軸上，且a=12。又 2c=26

3、， c=13。222144bca。標準方程為22114425yx。（3）設(shè)雙曲線的方程為2222xyab3,2 3aq在雙曲線上222 331916得14所以雙曲線方程為224194xy題型二雙曲線的幾何性質(zhì)方法思路：解決雙曲線的性質(zhì)問題，關(guān)鍵是找好體重的等量關(guān)系，特別是e、a、b、c 四者的關(guān)系，構(gòu)造出cea和222cab的關(guān)系式?！纠?2】雙曲線22221(0,0)xyabab的焦距為2c，直線 l 過點（ a， 0）和（ 0，b） ，且點（ 1，0）到直線l 的距離與點（-1，0）到直線l 的距離之和s45c。求雙曲線的離心率e 的取值范圍。解：直線l 的方程為1xyab，級 bx+ay

4、-ab=0。由點到直線的距離公式，且a1，得到點（ 1，0）到直線l 的距離122(1)b adab，同理得到點（-1，0）到直線l 的距離222(1)b adab，122222ababsddcab。由 s45c，得2abc45c，即22252a cac。于是得22512ee，即42425250ee。解不等式，得2554e。由于 e10，所以 e 的取值范圍是552e?！纠?】設(shè)f1、f2分別是雙曲線22221xyab的左、右焦點，若雙曲線上存在點a，使1290f afo，且 af1=3af2，求雙曲線的離心率。解：1290f afo222124afafc又 af1 =3af2，12222af

5、afafa即2afa，222222212222910104afafafafafac，101042ca即102e。題型三直線與雙曲線的位置關(guān)系方法思路： 1、研究雙曲線與直線的位置關(guān)系，一般通過把直線方程與雙曲線方程組成方程組，即2222220axbycb xa ya b，對解的個數(shù)進行討論，但必須注意直線與雙曲線有一個公共點和相切不是等價的。2、直線與雙曲線相交所截得的弦長：221212111lkxxyyk?【例 4】如圖， 已知兩定點12(2,0),( 2,0)ff，滿足條件212pfpfuuu u ruu u r的點 p的軌跡是曲線 e，直線 y=kx-1 與曲線 e 交于 a、b 兩點，

6、 如果6 3ab，且曲線 e 上存在點c，使oaobmocuuu ru uu ruuu r，求（1）曲線 e 的方程；（2）直線 ab 的方程；（3）m 的值和 abc 的面積 s。y x o b a c 解：由雙曲線的定義可知，曲線 e 是以12(2,0),( 2,0)ff為焦點的雙曲線的左支，且2c， a=1，易知221bca。故直線 e 的方程為221(0)xyx，(2)設(shè)11a(x ,y ), 22b(x ,y ), 由題意建立方程組22y=kx-1x -y =1消去 y，得22(1)220kxkx。又已知直線與雙曲線左支交于兩點a、b，有22212212210,(2 )8(1)0,2

7、0,120.1kkkkxxkx xkv解得21k。又22212121211()4abkxxkxxx x?222222222(1)(2)1()4211(1)kkkkkkk?依題意得2222(1)(2)26 3(1)kkk，整理后得422855250kk，257k或254k。但21k，52k。故直線 ab 的方程為5102xy。（3）設(shè)(,)ccc xy，由已知oaobmocuu u ru uu ruu u r，得1122(,)(,)(,)ccxyxymxmy，1212(,)(,)(0)ccxxyyxymmm。又12224 51kxxk，212122222()22811kyyk xxkk，點4 5

8、8(,)cmm。將點 c 的坐標代入曲線e 的方程，的2280641mm，得4m，但當(dāng)4m時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意。4m，c 點的坐標為(5, 2)，c 到 ab 的距離為225(5)212135()12， abc 的面積116 3323s。一、拋物線高考動向： 拋物線是高考每年必考之點，選擇題、 填空題、 解答題皆有， 要求對拋物線定義、性質(zhì)、直線與其關(guān)系做到了如指掌，在高考中才能做到應(yīng)用自如。（一）知識歸納方程22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpy p圖形xyoflxyofl頂點（0，0）對 稱軸x 軸y 軸焦點(,0)2pf(,0)2p

9、f(0,)2pf(0,)2pf離 心率e=1 準線:2plx:2plx:2ply:2ply（二）典例講解題型一拋物線的定義及其標準方程方法思路： 求拋物線標準方程要先確定形式，因開口方向不同必要時要進行分類討論，標準方程有時可設(shè)為2ymx或2(0)xmy m?！纠?5】根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程。xyoflxyofl（1）拋物線的焦點是雙曲線22169144xy的左頂點；（2）經(jīng)過點a（ 2， 3） ；（3）焦點在直線x-2y-4=0上；（4）拋物線焦點在x 軸上，直線y=-3 與拋物線交于點a， af=5. 解： （1）雙曲線方程可化為221916xy，左頂點是（-3，0）由題意設(shè)拋物線

10、方程為22(0)ypx p且32p，p=6.方程為212yx（2）解法一：經(jīng)過點a（2， 3）的拋物線可能有兩種標準形式：y22px或x2 2py點a（2， 3）坐標代入，即94p，得 2p29點a（2， 3）坐標代入x2 2py，即 46p，得 2p34所求拋物線的標準方程是y229x或x234y 解法二：由于a（2，-3 ）在第四象限且對稱軸為坐標軸，可設(shè)方程為2ymx或2xny，代入 a 點坐標求得m=29，n=-34，所求拋物線的標準方程是y229x或x234y （3）令 x=0 得 y=2，令 y=0 得 x=4，直線 x-2y-4=0與坐標軸的交點為（0，-2 ） ， （4，0）

11、。焦點為（ 0，-2 ） ， （4，0） 。拋物線方程為28xy或216yx。（4）設(shè)所求焦點在x 軸上的拋物線方程為22(0)ypx p，a（ m，-3） ，由拋物線定義得p52afm，又2( 3)2pm，1p或9p，故所求拋物線方程為22yx或218yx。題型二拋物線的幾何性質(zhì)方法思路： 1、凡設(shè)計拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線l 的距離處理，例如若p（x0，y0）為拋物線22(0)ypx p上一點，則02ppfx。2、若過焦點的弦ab ，11(,)a xy，22(,)b xy，則弦長12abxxp，12xx可由韋達定理整體求出，如遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公

12、式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似得到。【例 6】設(shè) p 是拋物線24yx上的一個動點。（1）求點 p 到點 a（-1，1）的距離與點p 到直線1x的距離之和的最小值；（2）若 b（ 3，2） ，求pbpf的最小值。解： （1）拋物線焦點為f（ 1，0） ，準線方程為1x。p 點到準線1x的距離等于p 點到 f（1，0）的距離，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點p，使點 p 到 a（-1，1）的距離與p 到 f（1，0）的距離之和最小。顯然 p是 af 的連線與拋物線的交點，最小值為5af（ 2）同理pf與 p 點到準線的距離相等，如圖：過 b 做 bq 準線于q點，交拋物線與p1點。11pqpf，114pbp

13、fpbpqbq。pbpf的最小值是4。題型三利用函數(shù)思想求拋物線中的最值問題方法思路：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想是解決解析幾何問題的兩種重要的思想方法?！纠?7】已知拋物線yx2，動弦 ab 的長為 2，求 ab 的中點縱坐標的最小值。分析一：要求ab 中點縱坐標最小值，可求出y1y2的最小值，從形式上看變量較多，結(jié)合圖形可以觀察到y(tǒng)1、y2是梯形 abcd 的兩底，這樣使得中點縱坐標y 成為中位線，可以利用幾何圖形的性質(zhì)和拋物線定義求解。解法一：設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),ab 的中點為 m(x,y) 由拋物線方程yx2知焦點1f(0,)4,準線方程14y，設(shè)點 a、b、m 到準線的距

14、離分別為|ad1|、|bc1| 、 |mn| ， 則 |ad1| |bc1| 2|mn| ， 且1mn =2(y+)4，根據(jù)拋物線的定義，有|ad1|af|、|bc1|bf|,12(y+)4|af|bf|ab|2，y x a o p f 12(y+)243y4, 即點 m縱坐標的最小值為34。分析二：要求ab中點 m的縱坐標y 的最小值，可列出y 關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后求此函數(shù)的最小值。解法二：設(shè)拋物線yx2上點 a(a,a2),b(b,b2) ， ab的中點為m(x，y) ，則2,222baybax|ab| 2， (a b)2(a2b2) 4，則 (a b)24ab(a2b2)24a2b2

15、4 則 2xab,2y a2b2, 得 ab2x2y, 4x24(2x2 y) 4y2 4(2x2y) 4 整理得14122xxy434114141241141)14(4122xxy即點 m縱坐標的最小值為3/4 。練習(xí)：1、以y=32x為漸近線的雙曲線的方程是（）、 3y22x2=6 、 9y28x2=1 c 、3y22x2=1 d 、 9y24x2=36 【答案 d】解析： a 的漸近線為2y=3x，b 的漸近線為2 2y=3xc 的漸近線為2y=3x，只有 d 的漸近線符合題意。2、若雙曲線221xy的左支上一點p（a，b）到直線y=x 的距離為2，則 a+b 的值為（）a、12b、12

16、c、2d、2 【答案 a】解析： p在雙曲線上，221ab即（ a+b） （ a-b）=1 又 p（a，b）到直線y=x 的距離為222ab且ab即2aba+b=123、如果拋物線的頂點在原點、對稱軸為x 軸，焦點在直線34120 xy上，那么拋物線的方程是（）a、216yxb、212yxc、216yxd、212yx【答案 c】解析：令x=0 得 y=3，令 y=0 得 x=4，直線34120 xy與坐標軸的交點為（0， -3 ） ， （4，0） 。焦點為（ 0，-3） ， （ 4，0） 。拋物線方程為212xy或216yx。4、若拋物線y=41x2上一點 p到焦點 f 的距離為 5，則 p點

17、的坐標是a. （4， 4）b.（ 4，4）c.（1679，879） d.（879，1679）【答案 b】解析：拋物線的焦點是（0，1） ，準線是1y，p到焦點的距離可以轉(zhuǎn)化為到準線的距離。設(shè) p（x，y） ，則 y=4，4164xy5、 若點 a 的坐標為（3， 2） ，f為拋物線xy22的焦點，點p是拋物線上的一動點，則pfpa取得最小值時點p的坐標是（c ）a （0，0）b （1，1）c （2，2）d)1 ,21(【答案 c】解析：拋物線焦點為f（1，0） ，準線方程為1x。p 點到準線1x的距離等于p 點到 f（1，0）的距離，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點p，使點 p 到 a（3，2）的距

18、離與p 到 f（1，0）的距離之和最小。顯然 p是 a 到準線的垂線與拋物線的交點，p 的坐標為（ 2， 2）6、已知 a、 b 是拋物線22(0)ypx p上兩點， o 為坐標原點，若oa =ob ，且aob的垂心恰是此拋物線的焦點，則直線ab的方程是（）a、x=p b、x=3p c、x=32p d、x=52p 【答案 d】解析：設(shè)a（22yp，y） ，b（22yp，-y） ， f（p，0）是 aob的垂心，221222yyypypp?整理得225yp2522yxpp7、過點 p （4，1） ，且與雙曲線221916xy只有一個公共點的直線有條?！敬鸢浮績蓷l解析：因為p（ 4，1）位于雙曲線

19、的右支里面，故只有兩條直線與雙曲線有一個公共點，分別與雙曲線的兩條漸近線平行。這兩條直線是：41(4)3yx和41(4)3yx8、雙曲線 c 與雙曲線2212xy有共同的漸近線，且過點a(2,-2)，則 c 的兩條準線之間的距離為?！敬鸢浮? 63解析：設(shè)雙曲線c 的方程為22(0)2xyk k，將點 a 代入，得k=-2。故雙曲線c 的方程為：22124yx2a，b=2, 6c所以兩條準線之間的距離是222 63ac。9、已知拋物線22(0)ypx p，一條長為 4p 的弦，其兩個端點在拋物線上滑動，則此弦中點到 y 軸的最小距離是【答案】32p解析：設(shè)動弦兩個端點為a、b，中點為 c，作

20、aa ，bb ，cc 垂直于準線的垂線，垂足分別為a 、 b 、 c ，連接 af、bf，由拋物線定義可知，af=aa ，bf= bbcc 是梯形abb a的中位線 cc =1()2aabb= 1()2afbf12ab=2p 當(dāng) ab 經(jīng)過點 f 時取等號，所以c 點到 y 軸的距離最小值為32p-22pp。10、拋物線212yx的一條弦的中點為m( 2, 3)，則此弦所在的直線方程是。【答案】 2x-y+1=0 解析：設(shè)此弦所在的直線l方程為3(2)yk x，l與拋物線的交點坐標分別是a(x1,y1),b(x2,y2), 則124xx將l的方程代入拋物線方程整理得2222(4612)(23)

21、0k xkkxk由韋達定理得2122(4612)4kkxxk解得2k此直線方程為32(2)yx即 2x-y+1=0 11、已知雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，焦距為16，離心率為43，求雙曲線的方程。解：由題意知，216c8c又43ceaq6a22228bca2213628yx12、已知雙曲線22221(0,0)xyabab的離心率233e，過點(0,)ab和 b（a，0）的直線與原點的距離為32。（1）求雙曲線的方程；（2）直線(0,0)ykxm km與該雙曲線交于不同的兩點c、d，且 c、d 兩點都在以 a 為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。解： （1）由題設(shè)，得2222241332b

22、eaabab解得23a，21b雙曲線的方程為2213xy。（2）把直線方程ykxm代入雙曲線方程，并整理得222(13)6330kxkmxm因為直線與雙曲線交于不同的兩點，221212360mkv設(shè)11(,)c xy，22(,)d xy則122613kmxxk，121222()213myyk xxmk設(shè) cd 的中點為00(,)p xy，其中1202xxx，1202yyy，則02313kmxk，021 3myk依題意， apcd ，22111 3313apmkkkmkk整理得2341km將式代入式得240mmm4 或 m 0 又23410km，即14mm 的取值范圍為m4 或104m。13、已知點a（2，8） ，b （x1，y1） ，c（x2，y2）在拋物線22ypx上， abc的重心與此拋物線的焦點f 重合（如圖）（1）寫出該拋物線的方程和焦點f 的坐標；（2）求線段bc中點 m的坐標；（3）求 bc所在直線的方程. （12 分）解： （1）由點 a（2，8）在拋物線22ypx上，有2822p ?，解得 p=16. 所以拋物線方程為232