河北工程大學高數(shù)練習冊答案(712章)

1、第七章 微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念1. 指出下列各微分方程式的階數(shù)1) x(y )3 4y5y x =02) (7x -6ysin xdy cos ydx =0解：原式可化為)dx (x -y)dy 二 ey2. 設y =(g c2x)e2x.i)驗證y是方程y"-4y'，4y = 0的解.2)求參數(shù)g, c2使得它滿 足初始條件y(0)=0, y'(0)=1.' c 2x I c2x I2x1) y =2C|e2c2x ec2 ey是方程y -4y，4y=0的解2) y(0) = 00=(g 0)1 "G=0所求滿足初始條件的函數(shù)為2xy 二

2、 xe 。第二節(jié)可能離變量的微分方程1.求下列微分方程的通解。2 '1) x y - yln x =0解：原式可化為x2魚-y 4 nx二0dx分離變量，得dyn2xdx y x兩端積分，得11 nx 1In yqx x從而1In x1 In x1 In xx二-ec' e x x 二 cex x ( c 為任意常數(shù))y = e x分離變量，得d yd xcog s ixn兩端積分，得 -cosydxsin xX得In secy+tany = In cscx cotx +1 nq = _ln tan- +lnq2=Intan2cseny tany 二tanX2（c為常數(shù)）2.求

3、下列微分方程滿足所給實始條件的特解。1) y =ey'x，y|x衛(wèi)"解：dy=ey/dx分離變量，得dy =exdxdx兩端積分，得 edy = jexdx-y1_2x-eec（c為常數(shù)）2即-e=二-ex c2（c為常數(shù)）準x =0， y =1代入通解-11 0-ee c21 1解得c =e 2特解為 y = -l門花力 1 )2 e 22)sin ydx (1 2e )cos ydy 二 0， y(0)：4解方程可化為:dx _ cos ydy1 2e" sin y兩端積分cos123dy s i y即 In siyn- - ldh(20sin y =( c 為

4、常數(shù))e +2jiy(0)代入上式4第三節(jié)齊次方程1求下列齊次方程的通解32321) (x -2xy )dy (2y -3yx)dx=0解：dy環(huán)一烏3dxx3 - 2xy23(» c)3x x1-2(與x(1)令=u= y = ux= x把（2）代入（1），得dxdu二u xdx(2)兩端積分，得1 -2u2du =du2udy2) x 3y(In y -In x) dx解:屯dx(1)令丄xdydx=u= y 二ux二u X史dx把（2）代入（1）,得兩端積分.du3u In u -u1-In 3In u 1 = In x +c32.求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解。u x

5、更=3u I nu dxdx（c為常數(shù)）1) y =解:yytan ,y(1)=1xx= V tandx x x(1)=u = y =ux xdyudx把（2）代入（dux( 2)dx八丄 du丄°1) u x u tanudxdutan udxxln sinu=ln x +1 nc 即Insin u把x =1,y =1代入上式，得n=1I nc1特解為xnsi n 1x2) (1 2ex)dx 2ey(1)dy = 0, y|xz0 = 1y_解:設鈔唸x-2e"(1 y ) 2eu u - 1)(1 2ex)1 2eu即有u yddy2eu(u -1)1 2eu變量分離

6、后，得?du1 2eu兩端積分，得詈冷uy(2e u) =c（c為常數(shù)）y(2ey) =c（c為常數(shù)）2yey x代入 x = 0, y =1,c = 2 得特解為2yey x = 2第四節(jié)一階線性微分方程1.求下列微分方程的通解。1) y +ycosx = e-sin x解對應齊次方程魚 y C 0駁=0 dxln ysin x-sin x c， y = ce常數(shù)變易法-sin xy 二 ue代入原方程，得一 sd n二 edu -s i n edx于是得所求通解為2)(y2 -6x)dy 2y =0dx解：（y26x）型dx2ydy 31x ydx y2是一階非齊次方程dy 3dyx yI

7、n x =3n y +c , x =cy 3一一 x72) xy y = y(l n x l n y)解：原式變?yōu)?xyyl nxy(1)dx常數(shù)就易法x = uy（ i）代入（i）式，得通解3（c為任意常數(shù)）3/1、y 丄3x = y ( c) cy2y 22. 求微分方程y二叱，滿足條件y|x= = l的特解。dx x x解:1dxe x dx c由 ylx：-i，得 c -二-ii故特解為y （二-i - cosx）x5.求下列微分方程的通解。4i） xy' 2y=3x3y3解：原式變?yōu)?dx 2T=3x2y3ii廠3F x宀3x2(i)i令z = y 3代入（i），得即為dz

8、22z _ _xdx 3x即icx3變成了一階線性微分方程令 u = xy，貝yy=ux代入（1）式，得dy . x 丄 _u dy _ dx dx 一 x2) ydx -xdy y xdx 二 0u 二 ecx，把 u 二 xy 代入ex 剛1 cxxy = e 即 y e x第五節(jié)全微分方程1. 判斷下列方程中哪些是全微分方程1）eydx 亠xeyy2 dy = 0-：P y : Q y ee.:y；x2) eydx ey -xy2 dy = 0不是.y；x2 2c、 2x丄 y 3x ,-3) -ydx 4 dy =0 y yP6x ：Q6x疋二 _ 44:yyrxy2.求解下列微分方程

9、解：原方程可劃簡為兩邊同乘以2，得y空二-脊,Q = 22x在xoy平面的上半平面y = 0處總成立 -y y: xy1M =寧為積分因子。取M。0,1y1解：方程兩邊同乘以4得yf 、=0x + d'川）因此丄為原方程的一個積分因子，并且原方程的通解為y2 22 23) x -2xy - y y 亠x 2xy - y 1 = 0解：原方程為 x2 - 2xy - y2 dy x2 2xy - y2 1 dx = 0 方程通解為第六節(jié)可降階的高階微分方程1. 求下列各微分方程的通解.1) y 二 xex x解：連續(xù)積分兩次=xex -ex 1 x2 C122) x2y、(y$+2xy解

10、：令y =P y 'P1 =竺dx則原式化為x2空二P2 2xPdx即 dPJPY+2 們dx lx丿lx丿P令u .則P =xux貝U u= u2 2udx積分 In u =ln x In cu +13) y”=1+(y$令 y =P , y 'P12. 求下列各微分方程滿足所有條件的通解1) y3y"+1=0, yx±=1, y"x#=0HP解：令 y =P ,dy原方程為PdP = -y3dy積分2 1 , 2 1 p 2 Ci 即1 y 2 Ciyyy x=i=i y" x 土=0 代入上式得 G =-1y" =

11、77;丄 Ji _y2 即dy = dxyJi-y2積分得二.i y" = x C2x =i 時，y=i，得 C2-I得特解 _.、i 一y2 =x-i即 y = 2x - x2 (舍去 y - 2x - x2，因為 y xm = i)2) y"+2y" = e2x， y x = i， yx± = i解：令y'P，2P =e2x此為一階線性微分方程.dx解得Pe2x Ce力，由于y 乂出刊，得G = 3，ye2x-3e"C244885y"xm=i代入上式得c?=4壯-23) y +(y ) =i，y(O)=y(O)=i解：令

12、y =P，y'P，y 0 =i，得 G=0，即 dy =i， y = x C2dx由 y Oi=i得 C2 =i第七節(jié)高階線性微分方程2 2I. 驗證= ex及y2 = xex都是方程y - 4xy 4x2-2 y=0的解，寫出該方程的 通解.卜xII-x22 x2解：yi 2xe ， yi 2e 4x e.yi是方程的解.X2同理可證y2也是原方程的解.且上二務=常數(shù).故與是線性的.yiex所以方程的通解為1x22. 驗證 yx3， y2 =-是方程 x2y _3xy _5y =0的解，y3 二-一 In x 是方程x9x2y-3xy -5y =x21n x的解，寫出微分方程的x2y

13、 '- 3xy -5y = x2 In x通解. 解： =x3， y- =5x4， y-l20x31*” 2 i*-3y ， % 一 -i0x ，y- =2xxx2 y- -3xyi - 5y- = x2 20x3 - 3x 5x4 -5 x5 = 0 故 y1 為齊次方程的解.1同理x2 y2 -3xy2 -5y x2 2x -3x -x° -50故y2為齊次方程的解.x乂 =xQ -常數(shù)y-與y2線性無關y2y3是非齊次方程的一個特解.所以非齊次方程的通解為1) y y -12y =0解：特征方程r2 - r -10有兩個不相等實數(shù)根 -4,r =3方程的通解為y = G

14、e" ge'x2) y 6y 9y = 0解：特征方程為r2 6r 9 = 0有兩相等實數(shù)a = r2 = 3方程的通解為 y = C|ex c2xex 二 e"x ( c1 c2x)3) y 6y 10y =0解：特征方程為有一對共軛復根A =3 i、“二-3-i方程的通解為 y = e"x c1 cosx - c2sinx4) y© )+2yf )+yf )=0解：特征方程為它的根 * 二 r2 二 r3 = 0r4 二心=-1方程的通解為5) y(4)+2y " + y = 0解特征方程為有一對2重根r12 = i6) y 3y

15、2y=0, y 0 = 0, y 0 = 1.解：對應的特征方程為.所求通解為y =Cie» - C2ex第九節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1求微分方程的通解：1) y -2y -8y = x 1 ex丫二c,e4x - c2ex設 y ' Eb0x b| ex 通解 y = c1e4x c2e Qx -1 x 1 ex92) y -2y -8y = x 1 e"丫 二 qe4x c2e設 y 二 x b0x b1 ex解得 b°1 ,b151236所求通解為 y = Ge% - c2e x1 3x2 5x e363) y -2y y = x2 1exY

16、= ex c1 C2X 設 y = x2 b°x2 b x b2 ex1 11解得 b-,b1一，b2 = 8122得特解 y = x2 1x2 一 x 1 ex1812 2丿所求通解為 y = g c2x e- i -x4 x3 - x2 ex2尸(8122丿4) y _2y 2y = exsin xr =1_i /. -i -是特征方程的根設 y = xex a0 cosx b0 sin x1解得 a0 - - ,b0 =02亠 1特解 y ” 二-xexcosx2、 所求通解為 y =ex c cosx - c2 sin xxexcosx2x2. 設函數(shù)f x連續(xù)，且滿足f x

17、二ex亠It - x f t dt，求f x .XX解：f x = ex tf t dt - x f t dt七0x兩邊對 x 求導，得x 二 ex x f x I f t dt - xf x即 f x =ex- ；f tdt(1)上式兩邊對x求導，得f x = ex - f x即 f x f x = ex由題設f 0 = 1再由(1)式得0=1設y = f x，則yex求滿足初始條件y =1"心=1的特解y y=ex(3) 式為 Pm(x)ex型 Pm(x) =1/ =1(3)式對應的齊次方程為y y =0它們特征方程為解得 r1 二 i,r2 =i齊次方程(4)的通解為由于，=1

18、不是特征方程的根.可設 代入式解得a。= 12(3)式的通解為把yx=i代入上式11 = Ci 1 C202解得Cl = 12把yj衛(wèi)=1代入上式1= 一1 0 c2 1-2 22于是所求 y = f x cosx sin x ex2第九章多元函數(shù)微分法及其應用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念1. 求定義域1(1) (x,y)MxyMe；e22(2) 2k <x +y W2k + 1,k Z ;(3) (x,y,2)| 1：x2 y2z2 乞 9.2 22 x y 2si n佃 2r2ir = 0;x 0 (x2 y2)exysin xycosxy lim.x = 2 .y 二0xy3. 判斷下

19、列極限是否存在，若存在，求出極限值(1)沿直線y=kx趨于點(0, 0)時,2 x1 -k2k2x2，不存在；(2)沿直線y=0極限為1;沿曲線y=、x,極限為0,不存在x yx2 y2y 2 x乩肛丄q”.極限為o.4.因當x2y2-0時,2x y2 x2丄2x + y2丄2x + y0 <故連續(xù).所以 lim f (x, y) =0 = f (0,0)，第二節(jié)偏導數(shù)1. 求下列函數(shù)的偏導數(shù)(1) 2(1 xy).y =2y(1 xy)；2x(1+xy);2(2) yzcos(xyz)+2xy ;xzcos(xyz)+ x ;2(x -y)-2(x -y)(3) 2 , 2 ji611

20、 (x-y)1 (x-y)2.第三節(jié)全微分1. 求下列函數(shù)的全微分解：(1)2解：第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則1解：2解：3.解：4.解：第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式1解：令2.解：令3證明：4. (1)解：方程兩邊對 y求導，得:(2)5證明:dy 二 fxdx ftdt FtdtFxdxFtFt dx由,dydt fx - ftdydxdx代入,第六節(jié)多元函數(shù)微分學的幾何應用1.解:切向量T = （ a sint。，a cos t。，b)x x。切線：y - y。_ z - z。法平面:a sin t。a cos t。在任一點cos =-a sin to（ x_ x。） a cos t o（ y

21、_y。） b（z_z。）= 0.&, y。，z。)處T（0,0,）0,0,1，a2 b2是定數(shù),所以交成定角。2.x 解：令 F x.y, z = y Iny1Fy(1,1,1)=1 y=0,y -切平面方程為：(x-1)-(z-1)=0,即x-z=0x-1 z-1法線方程為：* 1= _1 .y _1 =03.證明：令 F (x, y, z)二.x . y z - . a =0切平面:(z - Zo) = 0.截距和為第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度2.?z121聽= 2x?T2y；5 = 75(2x+4y).解:1.42 +32 +1221(4,3,12)=(4,3,12).:u:u:u&#

22、39;u1coscoscos4yz 3xz 12xy .zx鋼:z133.解:grad x2yz = 2xyz,x2乙 x2y,二 | gradu |. -12 $32 ：；t2-157 .n第八節(jié)多元函數(shù)的極值1.解：令得駐點:(0,0)(02佝0)冷冷 I2 3丿：2f c Ff co o-2y,- -2x,a2x2y,.x：yx .y當a =0時，只有駐點 0,0，不取極值；2 2當 a=0 時，在 0,0 點，A =0,C =0,B =a, AC - B - -a ： 0 ,無極值在 0,a 點，A = -2a,C = 0, B = -a, AC = -a? : 0，無極值.同理，在

23、a,0 點23aa0, A ： 0,取極大值927無極值.在 a,a 點，A=C - _2a,B - -a, AC _B2 =4a23 33392.解：令2x 2y - 4 = 0=2x 8=0二 x2 y2- x 2y -16 2,5得駐點：；廠4,6,2f (_4,6)=(_4 ) +2汽(_4”6_4匯(_4)+8疋6 = 32.在邊界上，當x =0,0三y乞2時，z =8y，取最大值16，最小值0 ；當x =1,0乞y乞2時，z=10y-3,取最大值17,最小值-3;當y = 0,0 x 一1時，z =x2 -4x,取最大值0,最小值-3；2當y = 2,0 一 x 一 1時，z =

24、x 16取最大值17，最小值16 ;所以在該區(qū)域上的最大值為32，最小值為-3.3.解：點x,y到三直線的距離的平方和為：22x x 2y - 16 = 0 ；x5f42y x 2y -16 汁 0 ；:y5解得唯一駐點8,16 ,15 5 .丿故所求點為:'8 16、-,一 I<5 5丿解：設橢圓上的點的坐標為x, y,z ,到原點的距離的平方為:距離的平方的最值點也是距離的最值點，令：Fx =2x +2 入x + 卩=0由$Fy =2y+2好+ 卩=0i Fz = 2z - & + 卩=0解得，x=y代入：1 二.3解出：x = y,z=2_'. 32坐標是可

25、能的兩個極值點，由題意：距離的最大值和最小值一定存在，最值一定是極值， 可能取極值的點只有 2個，所以最長距離為 9 5 3，最短距離為- 5. 3 .第九章綜合題1解:矩形的對角線為：u fjx2 y21當 x =6, y =8, ：x =0.05, y =0.1 時，u ： （6 0.05 8 0.1）=-0.0562 +82所以矩形的對角線約減少5厘米.22.解：因為0蘭(Xy2）sin1x2y2蘭 x2+y2，且(丿)/*2"所以2 2 1（x,y）im（0,0）（xy ）sin=0 = f （0,0）,.所以函數(shù)在(0,0)點連續(xù)同理可得fy(0,0)=0,所以函數(shù)在(0,

26、0)點偏導數(shù)存在在(0,0)點，函數(shù)增量與全微分的差為專si n P2=0,所以函數(shù)在(0,0)點可微.czcz cucz cv1ucosxcosy+xsinxcosy3.(1)解：cos y 2 .ysin x廠rm厶厶ex cu ex cv ex vvycos x(2)解:=f；.2x + f2.yeXy =2xf； +yexyf2 ex汐 ''4.解:f1. cosxf3.eexju；u5證明：s；x.：t-.(xFu 2所以(一)2()2 =(s 1 x1 ；:u I ”'2 訓T2 (3 ；:u 1 ：u、2"!2:x 2 ；:y)2 2:u 1u2

27、1u、3、：2u21u3、(+)(+ 2 1).s 2 ；x2-Xy22.yxy2又因為所以-2:-u-2.s；：2u+rt21 ；：2u 2、3 ：2u 3 ；：2u 3 ；：2u 2.3 ：2u 仁2u+ + +4-2222:x4 :xy 4 ；y 4 :x 4 : x_ y 4 ；yzFx:xFy.:yFz6.證明：因為-1 11 11exFzFx；：zFy:x2-2:u汽-2y所以:z；:x;y:x；:yfz7.證明:'.u'.u型=0+屮'-：x-2:y2 u:t22'-2二 y-2;x所以,-2:y.:t2-2二 y8. ( 1)解：方程兩邊對 x求

28、導，得:dz z -dx3生dx-x-1-x z|y - xdy _-1 3- 3x + z dz2 -12x - y3y -2z"I>dxy z3y - 2z dxy2z3(2 )解：方程兩邊對x求導,得：:2 cu&v3u+ x+ V=0Jex3v2亠宀1:x :xdu13v2|-3v3-xcvy1c23u + vyex3u2x-9u2v2 -xy，3u2x9u v - xyy3v2y3v2所以,-y3v2 xuv xc 23u - v:v - 3u3同理可得:.:y9u2v2 _xy.:y9u2v2 _xy9.解：設曲線的參數(shù)方程為X = X(y)y = y ，切

29、向量為： T =( 1 ) d/ ' dy z = z(y)dz.(a,a,. 2a)dy dy原方程兩邊對y求導,得:c dx 小dz小2x2z2ydy dydx2x dy2 y 二 2adxa -yxdzdy切向量為:_ a/(a")-$ 2皿2)切線方程為:x a = 0 fy - a z- < 2a一、2法平面方程為:-i 2(y - a) (z -2a) = 0,即卩：飛'2y _ z = 010.證明：Fx = Fi.2(x a)宀 2； , Fy1, Fz(x _a)x -F2x -a在任一點(xo，yo，zo)的切平面的法向量為:切平面方程為：

30、點(a,b,c)滿足平面方程，所以曲面上任一點的切平面通過點(a,b,c)。11.解：令 F(x, y,z) = x2 y2 z2 -122b12.解： 冷+乞=1的參數(shù)方程為：x =acost,y =bsint, p(2,2)對應t = a2b2<2 <24a b相應的切向量為：.=(-as in ,bcos) = ( ,)4 4 J2 J2逆時針旋轉(zhuǎn)得內(nèi)法線得方向向量為:2所求方向?qū)?shù)為:氐丨(4)+Jia2 b2)-2. a二 22(aba2 b'z|p Jy a2 b22.bb22a2=r2(a2 b2)abU = y(4_x13.解:令 < 交=x(4 _x

31、 佝-y) -xy = 0,解得駐點:(0,0)(舍),(0,4)(舍),(4,0),(里,-)_ y) _ xy =03 314解:設矩形的一邊長為x,則另一邊長為(p-x)，繞(p-x)旋轉(zhuǎn)，則體積V為：21一、p, - p時，繞短邊旋轉(zhuǎn)體積最33由問題的實際意義知有最大值，且駐點唯一，所以當邊長為大.第九章綜合題1.解:矩形的對角線為：U fjx2y21當 x =6, y =8, Ax =0.05, y = -0.1 時，也U 乏, <62 +82(6 0.05-8 0.1) = -0.05所以矩形的對角線約減少5厘米.2 2 12.解：因為 0 蘭(x +y )sin 2x +

32、y2y,且(側(cè)0,0)y2=01所以(爲叫0,0)(X2閒亍=0 = f (0,0),.所以函數(shù)在(0,0)點連續(xù)同理可得fy(0,0)=0,所以函數(shù)在(0,0)點偏導數(shù)存在.在(0,0)點，函數(shù)增量與全微分的差為專si n P2=0,所以函數(shù)在(0,0)點可微.czcz cucz cv1ucosxcosy+xsinxcosy3.(1)解：cos y 2 .ysin x廠rm厶厶ex cu ex cv ex vvycos x(2)解:=f；.2x + f2.yeXy =2xf； +yexyf2 ex汐 ''4.解:f1. cosxf3.eexju；u5證明：s；x.：t-.(x

33、Fu 2所以(一)2()2 =(s 1 x1 ；:u I ”'2 訓T2 (3 ；:u 1 ：u、2"!2:x 2 ；:y)2 2:u 1u21u、3、：2u21u3、(+)(+ 2 1).s 2 ；x2-Xy22.yxy2又因為所以-2:-u-2.s；：2u+rt21 ；：2u 2、3 ：2u 3 ；：2u 3 ；：2u 2.3 ：2u 仁2u+ + +4-2222:x4 :xy 4 ；y 4 :x 4 : x_ y 4 ；yzFx:xFy.:yFz6.證明：因為-1 11 11exFzFx；：zFy:x2-2:u汽-2y所以:z；:x;y:x；:yfz7.證明:'

34、.u'.u型=0+屮'-：x-2:y2 u:t22'-2二 y-2;x所以,-2:y.:t2-2二 y8. ( 1)解：方程兩邊對 x求導，得:dz z -dx3生dx-x-1-x z|y - xdy _-1 3- 3x + z dz2 -12x - y3y -2z"I>dxy z3y - 2z dxy2z3(2 )解：方程兩邊對x求導,得：:2 cu&v3u+ x+ V=0Jex3v2亠宀1:x :xdu13v2|-3v3-xcvy1c23u + vyex3u2x-9u2v2 -xy，3u2x9u v - xyy3v2y3v2所以,-y3v2

35、xuv xc 23u - v:v - 3u3同理可得:.:y9u2v2 _xy.:y9u2v2 _xy9.解：設曲線的參數(shù)方程為X = X(y)y = y ，切向量為： T =( 1 ) d/ ' dy z = z(y)dz.(a,a,. 2a)dy dy原方程兩邊對y求導,得:c dx 小dz小2x2z2ydy dydx2x dy2 y 二 2adxa -yxdzdy切向量為:_ a/(a")-$ 2皿2)切線方程為:x a = 0 fy - a z- < 2a一、2法平面方程為:-i 2(y - a) (z -2a) = 0,即卩：飛'2y _ z = 01

36、0.證明：Fx = Fi.2(x a)宀 2； , Fy1, Fz(x _a)x -F2x -a在任一點(xo，yo，zo)的切平面的法向量為:切平面方程為： 點(a,b,c)滿足平面方程，所以曲面上任一點的切平面通過點(a,b,c)。11.解：令 F(x, y,z) = x2 y2 z2 -122b12.解： 冷+乞=1的參數(shù)方程為：x =acost,y =bsint, p(2,2)對應t = a2b2<2 <24相應的切向量為:、.2l 2)-nn.=(-as in ,bcos)=(4413.解:令=y(4 _xI &x竺=x(4 _x-y) -xy-y)-xy-0=0

37、，解得駐點：(0,。)(舍),(Q4)(舍5),(爲)逆時針旋轉(zhuǎn)得內(nèi)法線得方向向量為:2氐_b 、+ 鬥(_a )p22p22 丿xa2b2ya2 b2所求方向?qū)?shù)為：2 a2 b_2(b ).2(a2(a2 b2)aJa2 +b2bla2 +b2ab14.解 :設矩形的一邊長為x,則另一邊長為(p-x)，繞(p-x)旋轉(zhuǎn),則體積V為：2 1 一由問題的實際意義知有最大值，且駐點唯一，所以當邊長為p,- p時，繞短邊旋轉(zhuǎn)體積最33大.注:本題也可用條件極值的方法完成.第八章測試題答案1. 選擇題(1) :B(2):B(3):B:C (5):D2. 填空題："(x,y) |x2 y2

38、：1 且4x _y2 _0孑(2): 16x 8y T6z 11=0(3) :f(xy,ey) xyf；(xy,ey)x二 二 二1(4) :極大值 u(,):6 6 68(5) : z(0,_1) =z(-1,0) =1(1):解解:令 F (x, y,z) =X2 sin y - . y ln z - 3,則Az解:fx (0,0)v'Ax2xx卩x,不存在,所以fx(0,0)不存在4解:對方程x y (z)兩邊求微分得當x3 y3 =0,即y = -x時，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在直線y = -x上的所有點處 都間斷，而在其它點處都連續(xù)ux 1(0,0,0) = (2x y 3) |

39、(0,0,0) = 3 Uy 1(0,0,0) =(4y + x - 2) |(0,0,0)= 2Uz 1(0,0,0) = 6z 1(0,0,0) = 0所以gradu(0,0,0) =3i -2j7解:令：第九章測驗題2.( 1)、2 兀；(2)、31y2ody。f(x,rly2 fff (x,y)dx;応 42(3)、0 ； (4)、一a ； ( 5)、253. ( 1)解：由對稱性，有原積分v.(y2D二 R 222 二 49)d；-2od=o(T sin 二 9)帀：=9二R -R(2)解：由對稱性，有：原積分11 亠1 32=4 dx ydy = 2 (x -2x x)dx = &

40、#39;0'0o(3)解：交換積分次序，有：原積分1223214. ( 1)解:ezQv = 2 ezdv = 2 ° dz 11 dxdy = 2 ° 二(1 _ z2)dz = 4 二QQDz0322a -(2) 解：V 二 dv 二 r sin drd d =4 sin d r dr0 0 02222 兀 1035(3) 解：山(y2 Z2)dv ： III2 f dx 二 2 少蘇 rdx- -_00 0 0 25. 解：dl =(y -1) ：、d；二；由對稱性，有2 1 1 2 2 1 6 4105I =2 (y 1)=2r °dX x2(y

41、1)2dy(7 - x6 - 3x4 - 3x2)dxD1%31 31213126. 證明：令 J xf 3(x)dx ° f 2(x)dx- 0 f 3(x)dx°xf2(x)dx同理：J 二 f 3(y)f2(x)(y -x)dxdyD于是，有2J = (x-y) f 2(x) f2 (y) f (x) - f (y)dxdy _ 0D所以，J _0. 得證.第十章重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)13161. 1)、一 兀a ； 2)、一 兀.2.a, <, x633. 1 )、 36兀，100兀；2)、 4(2逅+1)兀，4(22+1)応；3)、 一32,-；3

42、4解：寫D =Qx, y)'x2+y2乞P2 >是有界閉區(qū)域，又f(x, cD .于是由二重積分中值定理，知：，) D ，使 ff f (x, y)dxdy = f (匕)兀P2x2勺m.I呱士. f(x,y)dxdy = l叫土 f( , )*=嘰£(,)=(呷 J(,)=f(0,0).第二節(jié)二重積分的計算法1. (1、解:(2)解:11 1 -x2 dxdy 二 o 1 f x2 dx ° dya b 1 2 2JJxydxdy= 0 xdx0 ydy= a bD413. (1)、0dyLkf(x,y)dx ；(2)、dxf(x, y)dy+ £

43、_dx( f(x,y)dy + 叮dx f (x, y)dy2 x(3)、1 dx J f (x,y)dy34.(1)(22)丹2兀 1解：Jfe"刊)dxdy =JJe_PpdPdH = dH PeD«X2 y2)(2)解:=2二_1e_ 0 =：(1 _e)2. 2 2- . 2 . 2 111 sin x y dxdy 二 (sin)'d'dv= d sinDD0二=2兀 PcosP+sinP/=6兀2=25.(3)解:丑 o3d。解:11 , x2 y2dxdy ： 11 fddv(D 關于 x 軸對稱)% .矜03_2 cosP2dp1=2 $ 丄

44、_3 33.(X2 y2)d .2acos03a帀乃二二2心d='02二宀=于41.(1)解一:解二:第三節(jié)三重積分i i ixzdxdydz 二xdx x2dy 0 zdz= xdx x2 Q1 y2dy 二21 1 (x- x7)dx = 06因為被積函數(shù) f (x,y, z)關于變量x是奇函數(shù)，積分區(qū)域'-1關于yoz面對稱,(2)解:所以 I I i xzdxdydz =02兀RhJJJzdxdydz= JJzPdPdTdz= 田PEydzQQ0©萌=打22 .解：由題設，知：M二 (x y z)dv ；又由對稱性, Q有 111 xdv 二 ydv 二 zd

45、vQ QQ而！.ixdv =21 xdx 1 dy 1 dz = 23. ( 1)解:.x22y dxdydz 二(2)解:(3)解:xyzdv 二Yzcosvsin Md vdz解:zdv= r3 cosin drd dv =4sin ®cos®d吋 r3dr 丄0 8(5)解:x2 y2 111 r sin drd d = o°2siQ3 sind ：匕冷 a_b5(6)解：因為被積函數(shù)f(x,y,z)關于變量z是奇函數(shù)，積分區(qū)域 門關于xoy面對稱，所以積分為零2.解：由第四節(jié)重積分的應用2兀1PHdSMz 二 0 d【0"dz 二紋6z - X2

46、 y2，有Zx 二 22x yx2y2所以 1 (Zx)2 (Zy)2 =1x2y2 2X _+ y2x, y) x2 + y2 蘭2x,x 工0因此,DxyDxy3解:2因為dI =(y 1) d二，所以2.(y 1) d二i2 i9J(y+1) dylxJy54. ( 1)1解：因為 M 二 d；丁 二 0dy1 22dx = .0(1-y2)dy所以3_ 22.yd-D3 ii3ydy 2 dx = 一2 '0y28_ _3 3故，所求質(zhì)心為 (x,y)=(3,35 8(2) 解：由對稱性，有X =0,而ill： idTdrdzd2d：、一dz = 2二。(卡-代心fF6故，所求質(zhì)心為(x,y)=(0,： b)3兀5.解：由對稱性,Fx = 0，而2 2 sin 二 3&- 二 Gm D：'(x y )21所以 F =(