歐拉公式的證明和應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)文化課程報(bào)告歐拉公式的證明與應(yīng)用一.序2.歐拉公式的證明31.1 極限法31.2 指數(shù)函數(shù)定義法 41.3 分離變量積分法41.4 復(fù)數(shù)幕級(jí)數(shù)展開(kāi)法41.5 變上限積分法51.6 類(lèi)比求導(dǎo)法7三. 歐拉公式的應(yīng)用2.1 求高階導(dǎo)數(shù)72.2 積分計(jì)算82.3 高階線(xiàn)性齊次微分方程的通解 92.4 求函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)式92.5 三角級(jí)數(shù)求和函數(shù)102.6 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式10四. 結(jié)語(yǔ) 11參考文獻(xiàn)11歐拉是十八世紀(jì)最杰出的最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一1，留下了數(shù)不勝數(shù)的以其名字命名的公式。ix丄“本文關(guān)注的歐拉公式 e二cos x t sin x，在復(fù)數(shù)域中它把指數(shù)函數(shù)聯(lián)系在一起。特別當(dāng) x二時(shí),歐拉

2、公式便寫(xiě)成了 二7 =0，這個(gè)等式將最富有特色的五個(gè)數(shù)。丄巳二絕妙的聯(lián)系在一起，“ 1是實(shí)數(shù)的基本單位，i是虛數(shù)的基本單位，0是唯一的中性數(shù)，他們都具有獨(dú)特的地位， 都具有代表性。i源于代數(shù)，二源于幾何，e源于分析，e與二在超越數(shù)之中獨(dú)具特色。這五個(gè) 數(shù)看來(lái)是互不相關(guān)的數(shù)，居然和諧的統(tǒng)一在一個(gè)式子中。” 2公式e" - 1-0成為人們公認(rèn)的優(yōu)美公式，被視為數(shù)學(xué)美一個(gè)象征。這充分揭示了數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性、簡(jiǎn)潔性、奇異性等美學(xué)特 性，了解這些豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，對(duì)于通過(guò)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提高大學(xué)生的綜素質(zhì)、提高數(shù)學(xué)教 育質(zhì)量具有重要意義。二.歐拉公式的證明歐拉公式elx = cosx i sinx

3、有廣泛而重要的應(yīng)用， 關(guān)于該公式的證明方法目前有如下六種:首先，歐拉本人是從數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要極限出發(fā)，采用初等方法“推導(dǎo)”出這個(gè)公式的；其次是復(fù)指數(shù)函數(shù)定義法2;另外從對(duì)數(shù)函數(shù)特征性質(zhì)變量積分法；再者采用復(fù)數(shù)幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式法來(lái)驗(yàn)證x匹 J或 竺=ex出發(fā)3,利用微分方程分離 dx x dx3;再其次采用變上限積分法驗(yàn)證；用Lagrange中值定理的推論來(lái)證明3。1.1極限法當(dāng)x =0時(shí)，歐拉公式顯然成立;當(dāng) x=0時(shí)，考慮極限 lim (1 )n,( R,n N),nc方面，令tn "亠 則有IX另一方面，將lim (1%)nn廠 nix1化為三角式，得nix二e ；(1)由棣莫弗公式得

4、(心)nxxx()2cos(arctan(-)i sin(arctan(-)；nnn二1 (_)2 2cos(narctan()i sin(narctan(-),n ，nX、=lim e2nn ：:何1 弋)2 jmi1(n)xx”m cos(narctan)=cosim narctan)= cosx,lim sinn )：:(n arcta ng)= nsin lim n arctanC) = sin x ,精選資料，歡迎下載所以有l(wèi)im(1 與nr：n二 cosx i sinx.由(1)、(2)兩式得eix 二 cosxi sin x。1.2指數(shù)函數(shù)定義法因?yàn)閷?duì)任何復(fù)數(shù)z=x iy,(x,

5、 y R)，復(fù)指數(shù)函數(shù) ez =ex iy =ex(cos y i si ny)4所以，當(dāng)復(fù)數(shù)z的實(shí)部x=0時(shí)，就得eiy = cos y is in y。1.3分離變量積分法設(shè)復(fù)數(shù)z =cosx isin x,（x：二R）,兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得= -sinx i cosx = i2 sinx i cosx 二 i(cosx i sin x) =iz， dx分離變量并對(duì)兩邊積分，1dz = idx , In z = ix c, 'z '取x =0，得z = cosx i sinx = 0,c = 0,故有In z =ix，即eix = cosx i sin x。1.4復(fù)數(shù)幕級(jí)數(shù)展

6、開(kāi)法4xcosx =1( 1)2!4!x2n而！心3 R)， n£(2n)!24,L(ix)丄(ix)cosx =1-2!4!曲.(2n)!八空(x R) n兇(2n)!3 x sin x 二 x - 一 3!5U (_1)n 25!2n 1丄_ -(2n1)!n 2 2n 1寸(T)x / _ c、,(x R)， n£(2n1)!.3.5. 2n 1ix ixn '2IXisin x = ix(T)3!5!(2n +1)!=區(qū)1!.應(yīng).應(yīng)3!2n 1+.* 十(IX)十5!(2n 1)!:（ix）2n 1爲(wèi)亦，（X R）2 e =i .他 1! 2!n!八 a,(

7、x. R) n衛(wèi)n!cosx isinxt 回2n 1 吃蟲(chóng) n 衛(wèi)(2n)! n(2n 1)!2n-n八空卅。n£ n!1.5變上限積分法考慮變上限積分 因?yàn)橛忠驗(yàn)?t1 2 1dty1dty=arctant | = arctany ,4ln2(y i)y21ln( -1)。再設(shè) arcta ny =二由此得y = tanr，即(y i)2y2 1ln (-1)丄(丄)dt1 -2i t - i t -1= ；l n(t i)-l n(t-i)|0=-l n(y i)l n( y i) l n i l n( -i) 2ln (-1)sec2 二2 2ln(cos)-2isin jc

8、osv - sin v)I222ln(cos (-R 2isin(-j)cos(-j) i sin (-)i2ln(cos(_)i sin(_R)=i ln(cos( - v) i sin( -v)；ix = ln( cos x is in x),即有id n(cos(-R isi n(“),ixe cosx i sin x。1.6類(lèi)比求導(dǎo)法構(gòu)造輔助函數(shù)xef (x),為在Icosx +i sinxeix 禾口 cosx - isinx 可導(dǎo)，且cosx i sinxO，所以在區(qū)間1=(-二廠：)上，f (x)處處可導(dǎo)，且f (x)二2(cosx isin x)iex(cosx i sin x

9、) -ex(-sin x i sin x)ixe (i cosx-sin x+sinx-icosx)cos2x i sin 2x根據(jù)Lagrange微分中值定理的一個(gè)重要推論“如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為0 ,那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)”，f(x)在區(qū)間|上是一個(gè)常數(shù)，即存在某個(gè)常數(shù) C，使得-x三I =(-“，,-)，都有f(X)三 C；又因?yàn)閒 (0) =1，所以c = 1,從而f (x)三1，即ixe cosx i sin x。三.歐拉公式在高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用舉例歐拉公式除了在初等數(shù)學(xué)中諸如證明一些三角恒等式有十分重要的應(yīng)用外，在高等數(shù) 學(xué)中也有極為廣泛的應(yīng)用，分以下幾個(gè)方面各

10、舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。2.1求高階導(dǎo)數(shù)設(shè) f (x)二 e“xcos4x,求f (n)(x)。3 4解：設(shè) g(x)二e x sin4x,- - arctaw ,并記 F (x)二 f (x) ig (x)，3根據(jù)歐拉公式，有(-3 4i)xF (x) =ex(cos4x isinAxIreCxF(n)=(-3 4i)ne2 4i)x =(-5d )nen -3x (n '4x)i=(-5) e= (-5)nexcos(n ：4x) isin(n ：4x),分離其實(shí)部和虛部，即可得所求之結(jié)果f(n)=(_5)ne；xcos(4x_ narctanf)。22積分計(jì)算求不定積分：xe2x si

11、n 3xdx 禾口 xe2x cos3xdx。解：記 f (x) = xe2x cos 3xdx , g (x) = xe2x sin 3xdx，則f(x) ig(x)二 xe2xcos3xdx i xe2xsin 3xdx= xe2x(cos3x i sin 3x) dx1 xde(2 3i)x2 3i1 r(243i)x1(2 期)x ix ee c2 3i2 3i1 、，亠(2卞i)x1卞i)x丄亠二x e2 e c2 3i(2 3i)2_ 2 _3i x e(2 3i)x . 512i e(2 樸 c1316926 -39i (2 3i)x 5 12i(2s)x=x ee c16916

12、92xe3ix(26x 5) -(39x-12)i e c1692xe(26x 5) -(39x-12)i (cos3x isin 3x) c1692xe(26x 5)cosx (39x-12)sin 3x1692xe(12-39x)cosx (26x 5)sin 3x c169分離實(shí)部和虛部(上式中 c為任意復(fù)數(shù)，c和c2分別為其實(shí)部和虛部)2xxe2xecos3xdx (26x 5) cosx (39xT2)sin3x169e2xxe2xsin 3xdx(12 -39x) cosx (26x 5)sin 3x C2 。16922.3高階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程的通解求微分方程y(5)-12y

13、" 144y，=0的通解。解：因?yàn)樵匠痰奶卣鞣匠虨?322-12'144 =0,即即 ( 6)108 = 0 ,可知有一個(gè)實(shí)數(shù)特征根為'1 ，其余四個(gè)特征根由=66. 3i =12e 3，可求得另四個(gè)特征根為:2 =2.3e = .、3 3i,=2. 3e_ = _、3 _3i,.匸4 =2.3e 63 _3i, ,5 =2、3e 6 =3 3i,即兩對(duì)共軛復(fù)根3 _3i和_ 3 _3i ,所以原方程組通解為:邁 x,_3xy =G(C2 cos3x + C3sin3x)(C4 cos3x + C5sin3x)。2.4求函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式展開(kāi)函數(shù)f(x) =e4x(4

14、cos3x 5sin3x)為麥克勞林級(jí)數(shù)。解：作輔助函數(shù)g,x) = e4x cos3x ,g2(x)二 e4xsin 3x ,4x 3xi (4 -3i) xG(x) =gdx) ig2(x) =e e、3并記：-arctan ，4則有G(x)的麥克勞林展開(kāi)式；Hn1- n/ ：i5nnG(x) (4 3i)x(5e x)(cosnx 亠isinn、£)xn£n!nn!心 n!分離其實(shí)部和虛部，則有“(X)八：5n=0n!g2(x)八：5xn,n=0n!f (x) =4gi(x) 5g2(x)=所以n34cosn：£ 亠5sinn、冷x ,( : =arcta叮

15、)。2.5三角級(jí)數(shù)求和函數(shù)三角級(jí)數(shù)求和函數(shù)的問(wèn)題是將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的逆問(wèn)題，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題如不用歐拉公式, 一般比較難求解。n求三角級(jí)數(shù) 7sinnx在收斂域(_：,“)上的和函數(shù)s(x)。 経 n!n解：構(gòu)造類(lèi)似于給定三角級(jí)數(shù)在上收斂的三角級(jí)數(shù)<r3 cosnx ，7 n!并設(shè)其和函數(shù)為：(x)，即:3n： 1 3n -二(x) is(x) 八 一(cosnx i sin nx) 八 一enxi心 n!nd n!xixi n 3e3(cosx：i sinx)(3e ) e en衛(wèi)n!= e3cosxcos(3sin x) +i sin(3sin x),煮 3n sin nx分離其實(shí)部

16、和虛部，從而可得所求之三角級(jí)數(shù)為，心 n!其在收斂域(-：,：)上的和函數(shù)為s(x) = e3cosxsi n(3si n x)。2.6傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式若函數(shù)f (x)以2二為周期，在-二，二連續(xù)或至多有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且-二，二上至多有有限個(gè)單調(diào)區(qū)間，則傅里葉級(jí)數(shù)為a0' (an cosnxbn sin nx)，2 n d其中傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算公式為anf (x) cosnxdx, n = 0,1,2,3/ ,Jl -n1 -bnf (x)s inn xdx, n=0,1,2,3,Jl -31在式中，若以(n)代替n，則有a = an, b_n = -bn。這里是傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)數(shù)

17、形式，但在某些場(chǎng)合，復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)更好用一些，這就需要 利用歐拉公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換了，因?yàn)? / inx + -inx、 1 ( inx-inx、cosnx (e e ), sinnx (e -e ),2 2i所以有舒RnCOSnx+bnSin 心加 2(導(dǎo))八(協(xié)",1 i記cnanbn,n二0一1,_2, _3,，則可得函數(shù)f (x)的傅里葉級(jí)數(shù)有如下的復(fù)數(shù)形式2 20_inxcne,n =-：其中系數(shù)計(jì)算公式為：1Cn =2佝-叫)1if (x)(cos nx - i s inn x)dx2 -1 ILinxf (x)e dx。2 二四結(jié)語(yǔ)經(jīng)過(guò)這段時(shí)間的數(shù)學(xué)文化課學(xué)習(xí)，我逐漸了解到了數(shù)學(xué)的美妙之處，盡管有費(fèi)爾馬達(dá)定理，四色問(wèn) 題，哥德巴赫猜想等許多我們無(wú)法求解的難題，但同樣的也有許多如歐拉公式這種我們能證明并使 用的有趣數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)其實(shí)可以稱(chēng)作自然哲學(xué)，它反映了深刻的自然現(xiàn)象，是對(duì)自然，生活的一 種深入研究。能對(duì)這些偉大的研究有所了解，