淺議高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

1、淺議高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)丁寧數(shù)學(xué)概念是對一類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的反映，是數(shù)學(xué)知識中 最基本的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分，它還是構(gòu)建數(shù)學(xué)理 論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)科 系統(tǒng)的精髓和靈魂，而且數(shù)學(xué)概念本身也就是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種 處理問題的數(shù)學(xué)方法。理解、弄通概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考 的重點(diǎn)。那么我們應(yīng)該如何有效地開展概念教學(xué)呢？我認(rèn)為教師要做 好以下三方面工作。1.教師對概念要理解教師做好概念教學(xué)，應(yīng)基于對概念的理解。這里對概念的理解指 的是：概念的背景、發(fā)展；內(nèi)涵和外延；與其它概念的聯(lián)系；概念的 課標(biāo)要求,分哪幾個階段認(rèn)識、理解、掌握概念等。例如

2、函數(shù)這個概 念，它是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要概念，也是高中數(shù)學(xué)的一個核心概念。從常 量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。函數(shù)知 識的學(xué)習(xí)對學(xué)生思維能力的發(fā)展具有重要意義。從對函數(shù)的不同認(rèn)識階段看，初中以“變量說”定義函數(shù)，重點(diǎn) 是借助一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)緊密相關(guān) 的幾類函數(shù)，幫助學(xué)生形成對函數(shù)的直接體驗(yàn)，體會函數(shù)的意義，形成 用函數(shù)解決問題的直接經(jīng)驗(yàn)。高中數(shù)學(xué)以“對應(yīng)說”定義函數(shù)，引進(jìn) 數(shù)字以外的符號(y二f (x)中，f不代表數(shù)，與x ,y的含義不同)表 達(dá)函數(shù)，進(jìn)一步明確函數(shù)的表示法，以函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，周期性 等典型性質(zhì)為載體，給出研究函數(shù)性質(zhì)的方法

3、和過程的示范，進(jìn)一步 體驗(yàn)函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型的作用，使學(xué)生 形成用函數(shù)概念研究具體問題的“基本規(guī)范” o從研究函數(shù)的方法上看，對于“基本初等函數(shù)”的研究，是 通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)的研究， 逐步加深對函數(shù)概念的理解，在“基本初等函數(shù)”的應(yīng)用中，不斷體驗(yàn) 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)、對數(shù) 函數(shù)、三角函數(shù)等與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系性，建立更加廣泛、穩(wěn)固的 函數(shù)本質(zhì)的理解所以，本單元的核心任務(wù)就是:建立一般意義的函數(shù) 概念，了解函數(shù)的抽象符號的意義了解函數(shù)中的問題、內(nèi)容和方法， 形成研究函數(shù)問題的“基本規(guī)范” o從中學(xué)數(shù)學(xué)

4、知識的組織結(jié)構(gòu)看，函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、 方程、不等式、數(shù)列、排列組合、極限和微積分等都與函數(shù)知識有克 接的聯(lián)系。另外，函數(shù)還是數(shù)學(xué)的后續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)，同時在物理、化學(xué)、生 物等自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題時， 也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具。因此，函數(shù)的學(xué)習(xí)非常重要， 教師應(yīng)給予其充分的重視。2、教師對概念教學(xué)要精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的。任何數(shù)學(xué)概念都有它產(chǎn)生的背景, 考察它的來龍去脈，我們能夠發(fā)現(xiàn)它是合情合理的。而要讓學(xué)生理解 概念，首先要了解它產(chǎn)生的背景，通過大量實(shí)例分析概念的本質(zhì)屬性, 讓學(xué)牛概括概念，完善概念，進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用概念，才能使學(xué)牛

5、初 步掌握概念。因此，概念教學(xué)的環(huán)節(jié)應(yīng)包括概念引入一-概念形成 概括概念 明確概念應(yīng)用概念形成認(rèn)知。(1) 引入概念學(xué)習(xí)一個新概念，首先應(yīng)讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)它的意義和作用。因此, 教師應(yīng)設(shè)置合理的教學(xué)情景，使學(xué)生體會學(xué)習(xí)新概念的必要性概念的引入，通常有兩種：一種是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程引入， 一種是從解決實(shí)際問題出發(fā)的引入。從數(shù)學(xué)體系發(fā)展過程角度看，一些概念是從數(shù)學(xué)知識發(fā)展需要引 入的。如復(fù)數(shù)的概念，就是在遇到方程無實(shí)根時引入的。又如：在講1分?jǐn)?shù)指數(shù)幕時，教材上只是給出定義：心臥嘰 為什么引入分 數(shù)指數(shù)幕呢？可以引導(dǎo)學(xué)生回憶我們學(xué)過的加、減、乘、除、乘方、 開方的概念的引入，以及相反數(shù)、倒數(shù)的引

6、入過程。乘法的引入，就 是當(dāng)多個因數(shù)相加時，為了簡化運(yùn)算，引入乘法；當(dāng)多個因數(shù)相乘時, 為了簡化運(yùn)算，引入乘方。還有一些看起來是規(guī)定的概念，也要讓學(xué) 生了解其規(guī)定的合理性。相反數(shù)的引入，將加法和減法統(tǒng)為加法； 倒數(shù)的引入，將乘法和除法統(tǒng)一為乘法；那么分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的引入，將 乘方和開方統(tǒng)一為乘方。學(xué)生就好理解了。另外，許多新概念的研究 是在與之相似的概念類比中進(jìn)行的。例如，類比指數(shù)的運(yùn)算法則引出 對數(shù)的運(yùn)算法則；類比等差數(shù)列概念引出等比數(shù)列概念等。從實(shí)際問題出發(fā)的引入。中學(xué)數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活有著密切的聯(lián) 系，讓學(xué)生了解概念的實(shí)際背景，有利于學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用， 同時也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

7、函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的 重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)概念的引入就可以用學(xué)生熟悉的實(shí)際問題，如時 間、速度、路程的關(guān)系；生產(chǎn)中的函數(shù)關(guān)系等。又如指數(shù)函數(shù)的引入, 教師可以讓學(xué)生做一個折紙游戲：將一張厚度為0. 1毫米的報(bào)紙進(jìn)行 對折1, 2, 3,，30次，你知道會有多高嗎？若對折x次，得到高 度為y,y與x有怎樣的關(guān)系？學(xué)生很感興趣，動手去折，折到7-8 次，就折不動了。用計(jì)算器算一算，對折30次，得到約為1087千米。 并且得到這個函數(shù)。這樣引入，既讓學(xué)生體會到生活中的 指數(shù)函數(shù)，而且還感受到了指數(shù)函數(shù)增加的速度，體會指數(shù)爆炸。再如在橢圓定義的教學(xué)中，可改變教師畫，學(xué)生看的傳統(tǒng)做法， 課前讓學(xué)生

8、做好準(zhǔn)備工作，讓學(xué)生自己動手畫橢圓。這樣，學(xué)生根據(jù) 自己畫圖過程，得出橢圓的定義，加深了學(xué)生對橢圓定義的理解，特 別是對定義中的2a>2c這一條件留下深刻印象。(2) 形成概念概念的形成階段，教師可以通過大量典型、豐富的實(shí)例，讓學(xué)生 進(jìn)行分析、比較、綜合等活動，揭示概念的木質(zhì)。例如，在引入偶函 數(shù)這個概念吋，教師可以讓學(xué)生觀察熟悉的函數(shù)=的圖 像，學(xué)生很容易看出圖像關(guān)于y軸對稱。教師提出問題：你能從數(shù)的 角度說明它為什么關(guān)于y軸對稱嗎？學(xué)生根據(jù)初中對稱知識，發(fā)現(xiàn)自 變量x的值對稱著取，觀察他們的函數(shù)值相等。于是，學(xué)生計(jì)算了， f (1), f (-1), f (2), f (-2), f

9、 (3), f (-3),學(xué)生猜想,x 取互為相反數(shù)的 兩個值，他們的函數(shù)值相等。教師追問：是對所有的x都成立嗎？于 是，學(xué)生計(jì)算f(-x)與f(x),發(fā)現(xiàn)相等。最后教師給出這類函數(shù)的名 稱為偶函數(shù)。(3) 概括概念概括是概念教學(xué)的核心。概括就是在思想上把從某類個別事物中 抽取出來的屬性，推廣到該類的一切事物中去，從而形成關(guān)于這類事 物的普遍性認(rèn)識。概念教學(xué)中把握好概念概括這一環(huán)節(jié)，有利于學(xué)& 概括能力的培養(yǎng)。概括概念就是讓學(xué)生通過前面的分析，比較，把這 類事物的共同特征描述出來，并推廣到一般，即給概念下了個定義。 偶函數(shù)的例子中，學(xué)生就概括：設(shè)函數(shù)=/(力若滿足= 則這個函數(shù)叫偶函數(shù)

10、。雖然不完善，但偶函數(shù)的本質(zhì)已經(jīng)出來了。教 師接著給出問題：函數(shù)是偶函數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生關(guān) 注偶函數(shù)的定義域的特征，進(jìn)一步完善定義。這樣進(jìn)行概念教學(xué)，不 僅能使學(xué)生理解概念，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。(4) 明確概念明確概念即明確概念的內(nèi)涵和外延。要注意在概念中有一些字詞 是切中概念的要害的，對概念起限制、定位的作用。這就是關(guān)鍵詞。 抓住了關(guān)鍵詞，也就基本上領(lǐng)悟到了核心概念的真諦。如函數(shù)概念的 核心詞語是“非空”、“對應(yīng)法則”、“每一個”、“唯一確定”，反映了函 數(shù)的特征。又如偶函數(shù)的定義是：設(shè)函數(shù)y=的定義域?yàn)閐,如果 對d內(nèi)的任意一個x,都有-x& d且了匕)"(x)

11、,則這個函數(shù)叫偶函數(shù)。定義中的“任意”的含義;定義域的特征(關(guān)于原點(diǎn)對稱)；解析式的 特點(diǎn)等都需要學(xué)生明白無誤地理解。因此，教師在教學(xué)中，可以通過 舉例說明，也可以讓學(xué)生舉例，從而發(fā)現(xiàn)問題。特別是舉反例，可以 加深學(xué)生對概念的理解。(5) 應(yīng)用概念在掌握概念的過程中，為了理解概念，需要有一個應(yīng)用概念的過 程，即通過運(yùn)用概念去認(rèn)識同類事物，推進(jìn)對概念本質(zhì)的理解。這是 一個應(yīng)用與理解同步的過程。例如函數(shù)的奇偶性中明確奇函數(shù)和 偶函數(shù)的概念后，可以讓學(xué)生判斷下列函數(shù)的奇偶性：(j) f = x2 4-1 . f (x) = x + x3(g) f (x) = x3 x 4-1 /(x) =|x|,x

12、e-l,3 7(x) = ofxer的目的是讓學(xué)生理解判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：定義和圖像， 并規(guī)范解題格式。是一個奇函數(shù)。滿足f ( 1 ) = f (一 1 ), 但是非奇非偶函數(shù)。具有奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)f原點(diǎn)對稱既 奇又偶函數(shù)。(6 )形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)了一個新概念后，一定要把它與相關(guān)的概念建立聯(lián)系，明確 概念之間的關(guān)系，從而把新概念納入概念體系中，即在概念體系中進(jìn) 行概念教學(xué)。例如，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一種性質(zhì)，它與定義域、 值域、單調(diào)性一樣是函數(shù)性質(zhì)的一種。3.教師要注意概念課的后繼課程教學(xué)對概念的理解與掌握是一個循序漸進(jìn)的過程，需要在概念課的后 繼課程中不斷的反復(fù)應(yīng)用，不斷的加深理解。例如在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)后, 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。?了'，1?,學(xué)生能夠做對，但是說不 清楚為什么。學(xué)生知道利用的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但卻把17巴1尸這 兩個數(shù)當(dāng)成函數(shù)，說明學(xué)生對于函數(shù)概念、函數(shù)值、用函數(shù)觀點(diǎn)看問 題等都需要再次理解。因此，教師在這里就要對函數(shù)等概念再次指導(dǎo) 學(xué)生理解，指導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)觀點(diǎn)看這兩個數(shù)，他們是函數(shù)了的兩 個函數(shù)值，比較函數(shù)值的大小，通過研究