萬能公式推導(dǎo)

1、萬能公式推導(dǎo)This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.萬能公式推導(dǎo)2 u =2sin« cos a =2sin « cos a / (cos"2 ( a ) +sirT2 ( a ) )*,(因?yàn)?cos*2 ( a ) +sin"2 ( a ) =1)再把 * 分式上下同除 cos°2 (a ),可得 sin2a=2a/ (l+tan2 ( a ) 然后用a/2代替«即可。同理可推導(dǎo)的萬能公式。的可通過比余弦得到。三倍角公式推導(dǎo)tan3 a =sin3

2、 a /cos3 u=(sin2 a cos « +cos2 a sin a ) / (cos2 u cos(】-sin2 a sin a )=(2sin« cos'2 ( a ) +cos"2 ( a ) sin« sin*3 ( a ) ) / (cos*3 ( a )cos « sin2 ( « ) 2sin"2 ( a ) cos a )上下同除以cos"3 (a )，得：tan3 « = (3tan « tan*3 (a ) ) / (l-3tan*2 (a )sin3 a =

3、sin (2(】+a ) =sin2 a cos a +cos2 a sin <i=2sin o cos"2 ( a ) + (1 2sin*2 ( a ) ) sin a=2sin« 2sin"3 ( a ) +sin« 2sin 3 ( a )=3sin« 4sin"3 ( a )cos3 a =cos (2(】+(】)=cos2(】cos « sin2 « sin a= 2cos*2 ( a ) lcos o 2cos n sin'2 ( a )=2cos*3 ( a ) cos a + 2co

4、s a 2cos*3 ( a )=4cos*3 ( a ) 3cos a即sin3 « =3sin « 4sin"3 ( a )cos3 n =4cos *3 ( a ) 3cos «和差化積公式推導(dǎo)首先，我們知道 sin (a+b) =sina*cosb+cosa*sinb, sin (a-b) =sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin (a+b) +sin (a-b) =2sina*cosb所以,sina*cosb=sin (a+b) +sin (a-b) /2同理,若把兩式相減，就得到cosa*sinb=sin (a+b)

5、 -sin (a-b) /2同樣的，我們還知道 cos (a-rb) =cosa*cosb-sina*sinbt cos (a-b)=cosa*cosb+sin&*sinb所以，把兩式相加，我們就可以得到cos (a+b) +cos (a-b) =2cosa*cosb所以我們就得到，cosa*cosb=cos (a+b) +cos (a-b) /2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-cos (a+b) -cos (a-b) /2這樣，我們就得到了的四個(gè)公式：sina*cosb二sin (a+b) +sin (a-b) /2cosa*sinb二sin (a+b) -sin (a

6、-b) /2cosa*cosb二cos (a+b) +cos (a-b) /2sina*sinb二-cos (a+b) -cos (a-b) /2好，有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到的四個(gè)公式我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x, a-b設(shè)為y,那么a二(x+y) /2, b二(x-y) /2把a(bǔ), b分別用x, y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式：sinx+siny=2sinL (x+y) /2*cos (x-y) /2sinx-siny=2cosL (x+y) /2*sinE (x-y) /2Jcosx+cosy=2cosE (x+y) /2*cos (x-y) /2

7、cosx-cosy=-2sin (x+y) /2*sin_ (x-y) /2同角的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系a cot a =1a a =1cos a a =1商的關(guān)系sin a /cos a 二tan a =sec a /esc acos a /sin a 二cot « =csc a /sec a平方關(guān)系sin*2 (a ) +cos"2 (a ) =1l+tan"2 ( « )二sec"2 ( a )l+cot*2 ( « )二csc"2 (a )同角六角形構(gòu)造以“上弦、中切、下割；、右余、中間1 “的為模型。倒數(shù)關(guān)系上兩個(gè)函數(shù)

8、互為倒數(shù)；商數(shù)關(guān)系任意一頂點(diǎn)上的等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的的 乘積，下而4個(gè)也存在這種關(guān)系。)。由此，可得關(guān)系式。平方關(guān)系在帶有陰影線的三角形中，上而兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的等于下而頂點(diǎn)上的三角函數(shù) 值的平方。兩角和差公式sin ( a + P ) =sin « cos B +cos a sin B sin ( a B ) =sin u cos B -cos a sin P cos ( a + B ) =cos a cos B -sin a sin 0cos ( a B ) =cos a cos B +sin n sin Ptan ( a +) =

9、(tan o +tan P ) / (1 tan « tan B )tan ( a p ) = (tan a tan P ) / (1+tan a tan B )二倍角的、和公式sin2 a =2sina cos(】cos2 a =cos*2 (】)sin 2 ( a ) =2cos*2 ( a ) 1=1 2sin*2 ( a ) tan2 a =2tan « / (1 tan 2 ( a )tan (1/2*a ) = (sin a ) / (1+cos a )二(1-cos a ) /sin o 半角的正弦、余弦和正切公式sin 2 ( a /2) = (1 cos

10、a ) /2cos*2 ( a /2) = (1+cos a ) /2tan "2 (a /2) = (1 cos a ) / (1+cos a )tan (a/2) = (1cos a ) /sin a 二sin u/1+cos asin a =2tan ( a /2) / (l+tan*2 ( a /2)cos= (1 tan*2 (a /2) ) / (l+tan*2 (a /2)tann = (2tan (】/2) ) / (1tan*2 (a/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 « =3sin « 4sin*3 (】)cos3(】=4cos 3 ( a ) 3cosatan3 n = (3tan « tan*3 (a ) ) / (1 3tan*2 (a )三角函數(shù)的和差化積公式sin« +sinB =2sin ( (a+B)/2) cos ( (aB)/2)sinu sinP =2cos ( ( a + 0 ) /2) sin ( ( a B ) /2)cos a +cos B =2cos (a+B)/2) cos ( ( a p ) /2) cos « cos 3 =2sin ( (