組合數(shù)學波利亞Polya定理實用教案

1、會計學1組合數(shù)學組合數(shù)學(shxu)波利亞波利亞Polya定理定理第一頁，共32頁。24.5 波利亞波利亞(Polya)定理定理(dngl)p p4 4=(c=(c1 1)(c)(c2 2)(c)(c6 6c c5 5c c4 4c c3 3)(c)(c1010c c9 9c c8 8c c7 7)(c)(c1111c c1212) )(c(c1616c c1515c c1414c c1313) )p p1 1=(c=(c1 1)(c)(c2 2)(c)(c3 3)(c)(c4 4)(c)(c5 5)(c)(c6 6)(c)(c7 7)(c)(c8 8) )(c(c9 9)(c)(c1010)

2、(c)(c1111)(c)(c1212)(c)(c1313)(c)(c1414)(c)(c1515)(c)(c1616) )p p2 2=(c=(c1 1)(c)(c2 2)(c)(c3 3c c4 4c c5 5c c6 6)(c)(c7 7c c8 8c c9 9c c1010)(c)(c1111c c1212) )(c(c1313c c1414c c1515c c1616) )p p3 3=(c=(c1 1)(c)(c2 2)(c)(c3 3c c5 5)(c)(c4 4c c6 6)(c)(c7 7c c9 9)(c)(c8 8c c1010) )(c(c1111)(c)(c1212)

3、(c)(c1313c c1515)(c)(c1414c c1616) )第1頁/共32頁第二頁，共32頁。34.5 波利亞波利亞(Polya)定理定理(dngl) Burnside Burnside引理引理. .設設G=a1,a2,.,ag,G=a1,a2,.,ag,是是N=1,2,.,nN=1,2,.,n上的置換群上的置換群,G,G在在N N上可引出上可引出(yn ch)(yn ch)不同不同的等價類的等價類, ,其不同的等價類的個數(shù)為：其不同的等價類的個數(shù)為：)(.)()(112111gacacacGl 在用在用BurnsideBurnside引理解決染色方案數(shù)問題引理解決染色方案數(shù)問題(

4、wnt)(wnt)時，元素是染色方案數(shù)：時，元素是染色方案數(shù)： 例如：對例如：對4 4個方格用兩種顏色染色，方案數(shù)是個方格用兩種顏色染色，方案數(shù)是1616； 如果對如果對6 6個方格用個方格用4 4種顏色進行染色，方案數(shù)是種顏色進行染色，方案數(shù)是40964096；實例實例第2頁/共32頁第三頁，共32頁。4 4.5.1 例子例子,一個一個(y )正方形分成四個格子正方形分成四個格子,如圖所示如圖所示,用兩種顏色對用兩種顏色對4個格子著色個格子著色,問能得到多少種不同的圖像問能得到多少種不同的圖像?經經過旋轉能夠吻合的過旋轉能夠吻合的,算是同一方案。算是同一方案。2 21 13 34 4圖圖4.

5、5.14.5.1 當圖按反時針方向旋轉當圖按反時針方向旋轉0度、度、90度度,180度度,270度時度時,得到得到4個元素的又一種排個元素的又一種排列列,可以看作可以看作(kn zu)是是4個元素的一種個元素的一種置換置換,(a)旋轉旋轉(xunzhun)0度度為不動置換為不動置換 (b)旋轉旋轉90度時度時,1被被4取代取代,2被被1 1取代取代,3,3被被2 2取代取代, 4, 4被被3 3取代取代, ,)4)(3)(2)(1 (1p)4321(2p4.5 波利亞波利亞(Polya)定理定理第3頁/共32頁第四頁，共32頁。5)24)(13(3p)1234(4p2 21 13 34 4圖圖

6、4.94.9 (c)旋轉旋轉(xunzhun)180度時度時,1與與3互換，互換，2與與4互換互換 (d)旋轉旋轉(xunzhun)270度時度時,4被被1取代取代,1被被2取代取代,2被被3取代取代, 3被被4取代取代, 這四種置換分別對應這四種置換分別對應(duyng)16種染色方案的四種置種染色方案的四種置換。換。4.5 波利亞波利亞(Polya)定理定理第4頁/共32頁第五頁，共32頁。6 四個元素的四個元素的4種置換種置換(zhhun)分分別為：別為：)4)(3)(2)(1 (1p)4321(2p)24)(13(3p)1234(4p 這四個置換構成一個置換群，設這個群為這四個置換構成

7、一個置換群，設這個群為,G 4個元素個元素1,2,3,4用兩種顏色用兩種顏色(yns)進行染色，染色方案進行染色，染色方案共有共有16種，這種，這16種方案在旋轉下也形成一個群種方案在旋轉下也形成一個群G，)()()()()()()()()()()()()()()(161514131211109876543211ccccccccccccccccp )()()()()(161514131211109876543212ccccccccccccccccp )()()()()()()()()(161415131211108976453213ccccccccccccccccp )()()()()(131

8、415161211789103456214ccccccccccccccccp 4.5 波利亞波利亞(Polya)定理定理(dngl)實例實例第5頁/共32頁第六頁，共32頁。7 對群對群 與與G進行進行(jnxng)比較比較G (1)GG (2) 對對 中循環(huán)節(jié)數(shù)與中循環(huán)節(jié)數(shù)與G中的一階循環(huán)個數(shù)進行比中的一階循環(huán)個數(shù)進行比較：較：G)4)(3)(2)(1 (1p)()()()()()()()()()()()()()()(161514131211109876543211ccccccccccccccccp 用兩種顏色進行用兩種顏色進行(jnxng)染染色：色： 24=16。4.5 波利亞波利亞(P

9、olya)定理定理(dngl)第6頁/共32頁第七頁，共32頁。8)()()()()(161514131211109876543212ccccccccccccccccp )4321(2p 4轉換成轉換成3，3轉換成轉換成2，2轉換成轉換成1，1轉換成轉換成4； 四個方格四個方格(fn )的顏色必須都相等，共有兩種的顏色必須都相等，共有兩種21； )24)(13(3p)()()()()()()()()(161415131211108976453213ccccccccccccccccp 1轉換成轉換成3，3轉換成轉換成1，2轉換成轉換成4，4轉換成轉換成2； 只要只要1和和3的顏色的顏色(yns)

10、相等，相等，2和和4的顏色的顏色(yns)相相等，等， 共有共有(n yu)4種種22；4.5 波利亞波利亞(Polya)定理定理第7頁/共32頁第八頁，共32頁。9 1轉換成轉換成2，2轉換成轉換成3，3轉換成轉換成4，4轉換成轉換成1；)1234(4p)()()()()(131415161211789103456214ccccccccccccccccp 四個方格的顏色必須都相等四個方格的顏色必須都相等(xingdng)，共有兩種，共有兩種21； (1)GG (2) 對對 中循環(huán)節(jié)數(shù)與中循環(huán)節(jié)數(shù)與G中的一階循環(huán)個數(shù)進行比中的一階循環(huán)個數(shù)進行比較：較：G 對群對群 與與G進行比較進行比較Gip

11、 設設 中循環(huán)節(jié)數(shù)為中循環(huán)節(jié)數(shù)為 )(ipc)(12)(ipcipc4.5 波利亞波利亞(Polya)定理定理(dngl)第8頁/共32頁第九頁，共32頁。10 對群對群 與與G進行進行(jnxng)比較比較 (1)GG (2) 對對 中循環(huán)中循環(huán)(xnhun)節(jié)數(shù)與節(jié)數(shù)與G中的一階中的一階循環(huán)循環(huán)(xnhun)個數(shù)進行比較：個數(shù)進行比較：GGip 設設 中循環(huán)節(jié)數(shù)為中循環(huán)節(jié)數(shù)為 )(ipc)()()()(141312111pcpcpcpcGl)(12)(ipcipc22221)()()()(4321pcpcpcpcG62222411214第9頁/共32頁第十頁，共32頁。114.5 波利亞定

12、理波利亞定理(dngl) 設有設有n個對象個對象(duxing), 是這是這n個對象個對象(duxing)的置換的置換群群,今用今用m種顏色涂染這種顏色涂染這n個對象個對象(duxing),每個對象每個對象(duxing)涂一種顏色涂一種顏色,問有多少種染色方案問有多少種染色方案?一種染色方案在群一種染色方案在群 的作用的作用下變?yōu)榱硪环N方案下變?yōu)榱硪环N方案,則這兩種方案當作是同一種方案。則這兩種方案當作是同一種方案。GG.1)()()(21gacacacmmmGl的循環(huán)節(jié)數(shù)為置換其中kkgaacaaaG)(,.,21 定理定理4.12(Polya4.12(Polya定理定理) ) 設設 是是

13、n n個對象的一個置個對象的一個置換群換群, ,用用m m種顏色涂染這種顏色涂染這n n個對象個對象, ,則不同染色的方案數(shù)為則不同染色的方案數(shù)為: :G第10頁/共32頁第十一頁，共32頁。12 n n個對象可用個對象可用1,2,.,n1,2,.,n編有序號編有序號, ,故故 可當作可當作(dn (dn zu)(1,2,.,n)zu)(1,2,.,n)的一個置換群的一個置換群. .G Polya Polya定理定理(dngl)(dngl)中的中的 群是作用在群是作用在n n個對象上的置個對象上的置換群換群, ,G Burnside Burnside定理中的定理中的G G群是在這群是在這n n

14、個對象上用個對象上用m m種顏色進行種顏色進行(jnxng)(jnxng)染色后的方案集合上的置換群染色后的方案集合上的置換群, , 是定義在是定義在n n個文字上的置換群；個文字上的置換群；GG G是定義在是定義在m mn n個文字上的置換群。個文字上的置換群。4.5 波利亞定理波利亞定理第11頁/共32頁第十二頁，共32頁。13定理定理(dngl)(dngl)的證明的證明: : 假定假定n n個對象個對象(duxing)(duxing)用用m m種顏色進行涂色所得的方種顏色進行涂色所得的方案集合為案集合為S,S,顯然顯然, ,S S=mn.=mn. 每一種變換對應于每一種變換對應于n n個

15、對象的一個個對象的一個(y )(y )置置換換,iaG中的一個元素這個置換是 每一種變換也對應于每一種變換也對應于m mn n個對象的一個置換個對象的一個置換,iaG中的一個元素這個置換是GG 兩個置換群是在同樣的變化下得到的：兩個置換群是在同樣的變化下得到的：4.5 波利亞定理波利亞定理第12頁/共32頁第十三頁，共32頁。14,)()(1iacimac有.1)()()(21gacacacmmmGl 對于每一種對于每一種mnmn個對象的一個置換個對象的一個置換(zhhun)ai(zhhun)ai中的中的1 1階循環(huán)階循環(huán) 也就是染色方案也就是染色方案(fng n)(fng n)在變換下還是自

16、身，在變換下還是自身， 對應著對應著n n個對象的一個置換個對象的一個置換 中每個循環(huán)節(jié)中涂中每個循環(huán)節(jié)中涂同樣染色的方案數(shù)同樣染色的方案數(shù)ia)(.)()(112111gacacacGl 按按BurnsideBurnside引理，引理，G G分成不同分成不同(b tn)(b tn)的等價類的個的等價類的個數(shù)為：數(shù)為：4.5 波利亞定理波利亞定理第13頁/共32頁第十四頁，共32頁。154.6 應用應用(yngyng)舉例舉例 例例4.6.1 長為長為n的透明方格，用紅、藍、黃、綠的透明方格，用紅、藍、黃、綠4種顏種顏色進行色進行(jnxng)染色，試問有多少種不同的方案？染色，試問有多少種不

17、同的方案？ 問題問題(wnt)相當于用相當于用4種顏色構成長為種顏色構成長為n的字符串，的字符串， 如果從左向右看與從右向左看是一樣的，則認為如果從左向右看與從右向左看是一樣的，則認為是一個。是一個。 倒過來能夠重合的算一種方案。倒過來能夠重合的算一種方案。第14頁/共32頁第十五頁，共32頁。16 問題相當于對問題相當于對n個元素用個元素用4種顏色染色，在群種顏色染色，在群G作用下作用下能變成一樣能變成一樣(yyng)的染色方案為一個方案，的染色方案為一個方案， 群群G有兩個元素有兩個元素(yun s)，也就是兩，也就是兩個置換個置換nn.321.3211.21.321nnnn nnn.21

18、.321.321只有一種變換只有一種變換(binhun)：翻轉翻轉4.6 應用舉例應用舉例第15頁/共32頁第十六頁，共32頁。17122.1211.21.321nnnnnnnn如果如果(rgu)n為偶數(shù)為偶數(shù) 2112121.1211.21.321nnnnnnnnn如果如果(rgu)n為奇數(shù)為奇數(shù)循環(huán)循環(huán)(xnhun)節(jié)節(jié)個數(shù)為個數(shù)為21n4.6 應用舉例應用舉例第16頁/共32頁第十七頁，共32頁。18循環(huán)循環(huán)(xnhun)節(jié)個數(shù)為節(jié)個數(shù)為21n)44(2121nn.1)()()(21gacacacmmmGN4.6 應用應用(yngyng)舉舉例例第17頁/共32頁第十八頁，共32頁。19

19、 例例4.6.2 如圖如圖v1v2v3是圓圈是圓圈(yunqun)上上3點的等邊點的等邊三角形，用紅、藍、綠三角形，用紅、藍、綠3種顏色的珠子鑲上，試問有幾種種顏色的珠子鑲上，試問有幾種不同的方案？剛體運動吻合的算一種。不同的方案？剛體運動吻合的算一種。v v1 1v v3 3v v2 2 這個問題相當于圓圈上三點這個問題相當于圓圈上三點v1v2v3用三種顏用三種顏色色(yns)的染色問題的染色問題 構造構造(guzo)G群群4.6 應用舉例應用舉例第18頁/共32頁第十九頁，共32頁。20.1)()()(21gacacacmmmGl33323612310 解解 (1)繞三角形中心繞三角形中心

20、(zhngxn)旋轉旋轉0度，度，120度，度，240度度 (2)還以各點為基點還以各點為基點(jdin)翻轉翻轉 ,321vvv ,321vvvv v1 1v v3 3v v2 2,321vvv,231vvv312vvv 213vvv第19頁/共32頁第二十頁，共32頁。21 例例4.6.3 對正四面體的對正四面體的4個頂點用個頂點用4種顏色著色，求種顏色著色，求置換等價意義置換等價意義(yy)下的不同方案數(shù)。下的不同方案數(shù)。v v1 1v v2 2v v3 3v v4 4x xy yu uv v 解解:構造構造(guzo)G群群 1、繞各面的中垂線旋、繞各面的中垂線旋轉轉(xunzhun)

21、0度、度、120度度和和240度。度。 (v1)(v2)(v3)(v4) (v1)(v2v3v4) (v1)(v2v4v3) (v2)(v1v3v4) (v2)(v1v4v3) (v3)(v1v2v4) (v3)(v1v4v2) (v4)(v1v2v3) (v4)(v1v3v2)4.6 應用舉例應用舉例第20頁/共32頁第二十一頁，共32頁。22v v1 1v v2 2v v3 3v v4 4x xy yu uv v 2、繞過兩對邊的中點、繞過兩對邊的中點(zhn din)旋轉旋轉180度。度。 (v1 v2)(v3v4) (v1 v3)(v2v4) (v1 v4)(v2v3)第21頁/共32

22、頁第二十二頁，共32頁。23 (v1)(v2)(v3)(v4) (v1)(v2v3v4) (v1)(v2v4v3) (v2)(v1v3v4) (v2)(v1v4v3) (v3)(v1v2v4) (v3)(v1v4v2) (v4)(v1v2v3) (v4)(v1v3v2) (v1 v2)(v3v4) (v1 v3)(v2v4) (v1 v4)(v2v3).1)()()(21gacacacmmmGl411412124364.6 應用應用(yngyng)舉舉例例第22頁/共32頁第二十三頁，共32頁。24 例例4.6.2 用用*和對和對33的格子進行布子的格子進行布子,試問試問有多少種不同的布局有多

23、少種不同的布局,旋轉翻轉旋轉翻轉(fn zhun)重合的算重合的算一種方案一種方案? 關于中心關于中心(zhngxn)旋轉旋轉0度，度，90度度,180度度;123456789 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)5)(2684)(1397(369258147123456789)5)(2486)(1793(741852963123456789)5)(46)(37)(28)(19(9876543211234567894.6 應用應用(yngyng)舉舉例例第23頁/共32頁第二十四頁，共32頁。25123456789 關于關于(guny)兩條對角線兩條對角線翻轉

24、翻轉;)68)(37)(24)(9)(5)(1 ()48)(19)(26)(7)(5)(3(關于中間關于中間(zhngjin)行或中行或中間間(zhngjin)列翻轉列翻轉;)79)(46)(13)(8)(5)(2()39)(28)(17)(6)(5)(4(共共8種置換種置換(zhhun)4.6 應用舉例應用舉例第24頁/共32頁第二十五頁，共32頁。26.1)()()(21gacacacmmmGl242222816539 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)5)(2684)(1397()5)(2486)(1793()5)(46)(37)(28)(19()68)(37)(24)(9)(5)(1 ()48)(19)(26)(7)(5)(3()79)(46)(13)(8)(5)(2()39)(28)(17)(6)(5)(4(4.6 應用應用(yngyng)舉舉例例68*第25頁/共32頁第二十六頁，共32頁。27第一章第一章:總復習總復習(fx)1、一一對應的應用、排列、組合、一一對應的應用、