(完整版)浙江高考?xì)v年真題之立體幾何大題(理科)

1、第 1 頁 共 20 頁浙江歷年理科高考題之立體幾何大題（教師版）1、 （2005 年）18如圖， 在三棱錐pabc 中，abbc，abbckpa，點 o、d 分別是 ac、pc 的中點，op底面 abc( )當(dāng) k21時，求直線pa 與平面 pbc 所成角的大小；( ) 當(dāng) k 取何值時， o 在平面 pbc 內(nèi)的射影恰好為pbc 的重心？解：方法一：() o、d 分別為 ac、 pc 中點，odpapapab又平面，odpab平面()abbcoaocq，oaoboc，opabcq又平面，.papbpcepebcpoe取bc 中點 ，連結(jié)，則平面ofpefdfofpbc作于 ，連結(jié)，則平面o

2、dfodpbc是與平面所成的角 .又odpa，pa 與平面 pbc 所成的角的大小等于odf，210sin,30ofrt odfodfod在中，210arcsin.30pbc pa與平面所成的角為（）由 ( )知，ofpbc平面， f 是 o 在平面 pbc 內(nèi)的射影d 是 pc 的中點，若點f 是pbc的重心，則b，f，d 三點共線，直線 ob 在平面 pbc 內(nèi)的射影為直線bd ，,obpcpcbdpbpcq，即1k反之，當(dāng)1k時，三棱錐opbc為正三棱錐，o 在平面 pbc 內(nèi)的射影為pbc的重心方法二：opabcq平面，,oaoc abbc，,.oaob oaop obop以 o 為原

3、點，射線op 為非負(fù) z軸，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz（如圖）efdobcap第 2 頁 共 20 頁dobcapxyz設(shè),aba則222,0,0,0,0,0,0222aabc，設(shè)oph，則0,0,ph()qd 為 pc 的中點，21,0,42odahu uu r，又21,0,/22paahodpaodpauu u ruu u ruu u ruu u r，odpab平面()12kq，即7272 ,0,222paahapaaauu u r，可求得平面pbc 的法向量11, 1,7nr，210cos,30| |pa npa npanu uu r ru uu r ruu u rr，設(shè) pa 與平面

4、pbc 所成的角為，則210sin|cos,|30pa nuu u r r，（）pbc的重心221,663gaah，221,663ogaahuuu r，,ogpbcogpbu uu ru uu rq平面，又2221120,0,2632pbahog pbahhauu u ru uu r uu u r，22paoaha，即1k，反之，當(dāng)1k時，三棱錐opbc為正三棱錐，o 在平面 pbc 內(nèi)的射影為pbc的重心2、 （ 2006 年）如圖，在四棱錐p-abcd 中，底面為直角梯形，ad bc， bad=90 ,pa底面 abcd ，且 paad=ab=2bc,m、n 分別為 pc、pb 的中點 .

5、 ()求證： pbdm; ()求 cd 與平面 admn 所成的角。解： 方法一：（i）因為 n 是 pb 的中點， pa=ab，所以 anpb。因為 ad 平面 pab，所以 adpb，從而 pb平面 admn ，因為 dm平面 admn ，所以 pbdm（ii）取 ad 的中點 g，連結(jié) bg、 ng，則 bgcd，第 3 頁 共 20 頁edcmab所以 bg 與平面 admn 所成的角和cd 與平面 admn 所成的角相等。因為 pb平面 admn，所以 bgn 是 bg 與平面 admn 所成的角。在 rtbgn 中，510sinbgbnbgn故 cd 與平面 admn 所成的角是5

6、10arcsin。方法二： 如圖，以a 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz，設(shè) bc=1，則 a（0， 0，0） ，p（0，0，2） ，b（2，0，0） ，c（2，1，0） ，m（1，21，1） ，d（ 0，2，0）（）因為(2,0,2)(1,1)2pb dmuu u r u uu u2） （3(2, 0,2)(1 ,1)2pbdmuuu ruuuu r0所以 pbdm 。（）因為(2,0,2) (0,2,0)pb adu uu r uuu r0，所以 pbad，又因為 pbdm，所以 pb平面 admn ，因此dcpb的余角即是cd 與平面 admn 所成的角。因為dcpbdcpbdcp

7、bcos=510所以 cd 與平面 admn 所成的角為510arcsin3、 （2007 年）19 （本題 14 分）在如圖所示的幾何體中，ea平面abc，db平面abc，acbc，且2acbcbdae，m是ab的中點（i）求證：cmem；（ii ）求cm與平面cde所成的角解： 方法一：（i）證明：因為acbc，m是ab的中點，所以cmab又ea平面abc，所以cmem（ii ）解：過點m作mh平面cde，垂足是h，連結(jié)ch交延長交ed于點f，第 4 頁 共 20 頁連結(jié)mf，mdfcm是直線cm和平面cde所成的角因為mh平面cde，所以mhed，又因為cm平面edm，所以cmed，則e

8、d平面cmf，因此edmf設(shè)eaa，2bdbcaca，在直角梯形abde中，2 2aba，m是ab的中點，所以3dea，3ema，6mda，得emd是直角三角形，其中90emdo，所以2em mdmfadeg在rtcmf中，tan1mffcmmc，所以45fcmo，故cm與平面cde所成的角是45o方法二：如圖，以點c為坐標(biāo)原點， 以ca，cb分別為x軸和y軸，過點c作與平面abc垂直的直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系cxyz， 設(shè)eaa， 則(2)aa，(0 20)ba， ，(20)eaa，(0 22 )daa， ，(0)m aa， ，（ i）證明：因為()emaaauu uu r， ，(0)cm

9、aauu uu r， ，所以0em cmuu uu r u uu u rg，故emcm（ ii）解：設(shè)向量001yz，n =與平面cde垂直，則ceuu u rn，cdu uu rn，即0ceuuu rgn，0cduuu rgn因為(20)ceaauuu r，(0 22 )cdaauuu r， ，所以02y，02x，即(122)，n，2cos2cmcmcmuuuu ruuu u rguuu u rg，nnn，直線cm與平面cde所成的角是n與cmuuuu r夾角的余角，所以45o，因此直線cm與平面cde所成的角是45oedcmabehedcmabyzx第 5 頁 共 20 頁4、 （ 200

10、8 年）如圖 ,矩形 abcd 和梯形 befc 所在平面互相垂直，be/cf ，bcf=cef=90, ad=3,ef=2。（）求證：ae/平面 dcf；（）當(dāng)ab 的長為何值時 ,二面角 a-ef-c 的大小為60？方法一：（）證明：過點e作egcf交cf于g，連結(jié)dg，可得四邊形bcge為矩形，又abcd為矩形，所以adeg，從而四邊形adge為平行四邊形，故aedg因為ae平面dcf，dg平面dcf，所以ae平面dcf（）解：過點b作bhef交fe的延長線于h，連結(jié)ah由平面abcd平面befc，abbc，得ab平面befc，從而ahef所以ahb為二面角aefc的平面角在rtefg中

11、，因為3egad，2ef，所以60cfeo，1fg又因為ceef，所以4cf，從而3becg于是3 3sin2bhbebehg因為tanabbhahbg，所以當(dāng)ab為92時，二面角aefc的大小為60o方法二：如圖，以點c為坐標(biāo)原點，以cbcf，和cd分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系cxyz設(shè)ababebcfc，則(0 0 0)c，( 3 0)aa，(3 0 0)b，( 30)eb， ，(00)fc， ，（）證明：(0)aebauu u r， ，(3 0 0)cbu uu r，(00)bebuuu r， ，所以0cb ceuuu r u uu rg，0cb beuu u r uu

12、u rg，從而cbae，cbbe，所以cb平面abe因為cb平面dcf，所以平面abe平面dcf故ae平面dcfd a b e f c h g d a b e f c y z x 第 6 頁 共 20 頁（）解：因為(30)efcbu uu r，( 30)cebuuu r， ，所以0ef ceuuu r uuu rg，|2efu uu r，從而23()03()2b cbcb，解得34bc，所以( 3 3 0)e， ，(0 4 0)f，設(shè)(1)nyz， ，與平面aef垂直，則0n aeuuu rg，0n efuuu rg，解得3 3(13)na， ，又因為ba平面befc，(0 0)baauu

13、u r，所以2|3 31|cos|2|427ba nan babanaauu u ruu u rgu uu rg，得到92a所以當(dāng)ab為92時，二面角aefc的大小為60o5、 （ 2009 年）如圖，平面pac平面abc，abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，,e f o分別為pa，pb，ac的中點，16ac，10papc（i）設(shè)g是oc的中點，證明：/ /fg平面boe；（ii）證明：在abo內(nèi)存在一點m，使fm平面boe，并求點m到oa，ob的距離解： 方法一：（）證明：如圖，連結(jié)op，以點o為坐標(biāo)原點，分別以obocop，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz則(0 0

14、 0)(08 0)(8 0 0)(0 8 0)(0 0 6)(04 3)(4 0 3)oabcpef， ，由題意，得(0 4 0)g，因為(8 0 0)(04 3)oboeuuu ru uu r，所以平面boe的法向量(0 3 4)， ，n由( 4 43)fgu uu r，得0fguuu rn又直線fg不在平面boe內(nèi)，所以fg平面boe（）解：設(shè)點m的坐標(biāo)為00(0)xy，則00(43)fmxyu uu u r， ，因為fm 平面boe，所以fmuuu u r nz c p f g e a b o y x 第 7 頁 共 20 頁因此，00944xy，即點m的坐標(biāo)是9404，在平面直角坐標(biāo)系

15、xoy中，aob的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組008xyxy，經(jīng)檢驗，點m的坐標(biāo)滿足上述不等式組所以，在aob內(nèi)存在一點m，使fm 平面boe由點m的坐標(biāo)，得點m到oaob，的距離分別為944，方法二：（）證明：取pe的中點為h，連結(jié)hghf，因為點eogh， ， ，分別是paacocpe，的中點，所以hgoehfeb，因此平面fgh 平面boe因為fc在平面pgh內(nèi)，所以fg平面boe（）解：在平面oap內(nèi)，過點p作pnoe，交oa于點n，交oe于點q連結(jié)bn，過點f作fmpn，交bn于點m下證fm 平面boe由題意，得ob平面pac，所以obpn又因為pnoe，所以pn平面boe因此fm 平面

16、boe在rtoap中，12445cos255pqoepapqnpoop，9tan2onopnpooa，所以點n在線段oa上因為f是pb的中點，所以m是bn的中點因此點m在aob內(nèi)，點m到oaob，的距離分別為1194224obon，c p f g e a b o h c p f g e a b o q n m 第 8 頁 共 20 頁6、 （ 2010 年）如圖，在矩形abcd 中，點 e， f分別在線段ab，ad 上， ae=eb=af=.432fd沿直線ef 將aef翻折成,efa使平面efa平面 bef. （i）求二面角cfda的余弦值；（ii）點 m，n 分別在線段fd， bc 上，若

17、沿直線mn 將四邊形 mncd 向上翻折，使 c 與a重合，求線段fm 的長 . 方法一：（）解：取線段ef 的中點 h，連結(jié)a h因為a ea f及 h 是 ef 的中點，所以a hef又因為平面a ef平面 bef，及a h平面.a ef所以a h平面 bef。如圖建立空間直角坐標(biāo)系.axyz則(2, 2,2 2),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).acfd故( 2, 2,2 2),(6,0,0)fnfdu uu ru uu r設(shè)( , , )nx y zr為平面a fd的一個法向量所以222 2060 xyzx，取2,(0, 2,2)znr則又平面 bef 的一個法向量

18、(0,0,1)mu r，故3cos,3| |n mn mnmr u rr u rru r所以二面角的余弦值為3.3（）解：設(shè) ?(4,0,0)fmxmx則因為翻折后，c 與 a 重合，所以cm=a m故222222(6)80( 2)2(22)xx，得214x經(jīng)檢驗，此時點n 在線段 bg 上，所以21.4fm方法二：（）解：取截段ef 的中點 h，af 的中點 g，連結(jié)a g，nh，gh 因為a ea f及 h 是 ef 的中點，所以ah/ef。第 9 頁 共 20 頁又因為平面aef平面 bef，所以ah平面 bef，又af平面 bef，故a haf，又因為 g，h 是 af， ef 的中點

19、，易知 gh/ab ，所以 ghaf，于是af面agh 所以a gh為二面角adfc 的平面角，在rt a gh中，2 2,2,2 3a hgha g所以3cos.3a gh故二面角adfc 的余弦值為33。（）解：設(shè)fmx，因為翻折后，g 與a重合，所以cma m，而222228(6)cmdcdmx222222222(22)(2)2a ma hmha hmgghx，得214x經(jīng)檢驗，此時點n 在線段 bc 上，所以21.4fm7、 （ 2011 年）如圖，在三棱錐p-abc 中， abac，d 為 bc 的中點， po平面 abc ，垂足 o 落在線段ad 上，已知bc8， po4，ao 3

20、，od2 （）證明： apbc；（）在線段ap 上是否存在點m，使得二面角a-mc-b為直二面角？若存在，求出am 的長；若不存在，請說明理由。第 10 頁 共 20 頁8、 （ 2012 年）如圖，在四棱錐pabcd中，底面是邊長為2 3的菱形，120bado，且pa平面abcd，2 6pa,mn分別為,pb pd的中點。（1）證明：/mn平面abcd；（2）過點 a 作 aq pc，垂足為點q，求二面角a-mn-q的平面角的余弦值。第 11 頁 共 20 頁第 12 頁 共 20 頁第 13 頁 共 20 頁浙江歷年理科高考題之立體幾何大題（教師版）1、 （2005 年）18如圖， 在三棱

21、錐pabc 中，abbc，abbckpa，點 o、d 分別是 ac、pc 的中點，op底面 abc( )當(dāng) k21時，求直線pa 與平面 pbc 所成角的大??；( ) 當(dāng) k 取何值時， o 在平面 pbc 內(nèi)的射影恰好為pbc 的重心？2、 （ 2006 年）如圖，在四棱錐p-abcd 中，底面為直角梯形，ad bc， bad=90 ,pa底面 abcd ，且 paad=ab=2bc,m、n 分別為 pc、pb 的中點 . ()求證： pbdm; ()求 cd 與平面 admn 所成的角。第 14 頁 共 20 頁edcmab3、 （2007 年）19 （本題 14 分）在如圖所示的幾何體中

22、，ea平面abc，db平面abc，acbc，且2acbcbdae，m是ab的中點（i）求證：cmem；（ii ）求cm與平面cde所成的角4、 （ 2008 年）如圖 ,矩形 abcd 和梯形 befc 所在平面互相垂直，be/cf ，bcf=cef=90, ad=3,ef=2。（）求證：ae/平面 dcf；（）當(dāng)ab 的長為何值時 ,二面角 a-ef-c 的大小為60？第 15 頁 共 20 頁5、 （ 2009 年）如圖，平面pac平面abc，abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，,e f o分別為pa，pb，ac的中點，16ac，10papc（i）設(shè)g是oc的中點，證明：/ /fg平面b

23、oe；（ii）證明：在abo內(nèi)存在一點m，使fm平面boe，并求點m到oa，ob的距離6、 （ 2010 年）如圖，在矩形abcd 中，點 e， f分別在線段ab，ad 上， ae=eb=af=.432fd沿直線ef 將aef翻折成,efa使平面efa平面 bef. （i）求二面角cfda的余弦值；（ii）點 m，n 分別在線段fd，bc 上，若沿直線mn 將四邊形mncd 向上翻折，使c 與a重合，求線段 fm 的長 . 第 16 頁 共 20 頁7、 （ 2011 年）如圖，在三棱錐p-abc 中， abac，d 為 bc 的中點， po平面 abc ，垂足 o 落在線段ad 上，已知bc

24、8， po4，ao 3，od2 （）證明： apbc；（）在線段ap 上是否存在點m，使得二面角a-mc-b為直二面角？若存在，求出am 的長；若不存在，請說明理由。8、 （ 2012 年）如圖，在四棱錐pabcd中，底面是邊長為2 3的菱形，120bado，且pa平面abcd，2 6pa,mn分別為,pb pd的中點。（1）證明：/mn平面abcd；（2）過點 a 作 aq pc，垂足為點q，求二面角a-mn-q的平面角的余弦值。9(2013 浙江，理20)(本題滿分15 分)如圖，在四面體abcd 中， ad平面 bcd，bccd，ad2，bd2 2.m 是 ad 的中點， p 是 bm

25、的中點，點q 在線段 ac 上，且 aq 3qc(1)證明： pq平面 bcd；(2)若二面角cbm d 的大小為60 ，求 bdc 的大小第 17 頁 共 20 頁方法一： (1)證明：取 bd 的中點 o，在線段 cd 上取點 f，使得 df3fc，連結(jié) op，of， fq，因為aq3qc，所以 qf ad，且 qf14ad因為 o，p 分別為 bd， bm 的中點，所以 op 是 bdm 的中位線，所以 opdm ，且 op12dm. 又點 m 為 ad 的中點，所以opad，且 op14ad從而 opfq，且 opfq，所以四邊形opqf 為平行四邊形，故pqof . 又 pq平面 b

26、cd ，of平面 bcd ，所以 pq平面 bcd(2)解：作 cgbd 于點 g，作 chbm 于點 h，連結(jié) ch. 因為 ad 平面 bcd，cg平面 bcd ，所以 ad cg，又 cgbd，adbdd，故 cg平面 abd ，又 bm平面 abd，所以 cgbm. 又 ghbm，cgghg，故 bm平面 cgh，所以 ghbm，ch bm. 所以 chg 為二面角 c bmd 的平面角，即chg60 . 設(shè) bdc . 在 rtbcd 中， cdbdcos 2 2cos ，cgcdsin 2 2cos sin ，bgbcsin 22sin2 . 在 rtbdm 中，22 2sin3b

27、g dmhgbm. 在 rtchg 中， tanchg3cos3sincghg. 所以 tan 3. 從而 60 .即 bdc 60 . 方法二： (1)證明：如圖，取bd 的中點 o，以 o 為原點， od，op 所在射線為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz. 第 18 頁 共 20 頁由題意知a(0，2， 2)，b(0，2，0)， d(0，2，0)設(shè)點 c 的坐標(biāo)為 (x0，y0,0)因為3aqqcuuu ruuu r，所以 q003231,4442xy. 因為 m 為 ad 的中點，故m(0，2，1)又 p 為 bm 的中點，故p10,0,2，所以pquuu r00323,04

28、44xy. 又平面 bcd 的一個法向量為u(0,0,1)，故pquuu r u0. 又 pq平面 bcd ，所以 pq平面 bcd(2)解：設(shè) m(x，y， z)為平面 bmc 的一個法向量由cmuu u u r(x0，02y,1)，bmuuu u r(0,2 2，1)，知0020,2 20.x xyyzyz取 y 1，得 m002, 1,22yx. 又平面 bdm 的一個法向量為n(1,0,0)，于是 |cosm，n|002002|1|229yxyxm nmn，即20023yx.又 bccd，所以cbu uu rcduuu r0，故(x0，02y,0) (x0，02y,0)0，即 x02y02 2.聯(lián)立，解得000,2,xy(舍去 )或006,22.2xy第 19 頁 共 20 頁所以 tanbdc0032xy. 又 bdc 是銳角，所以bdc60 . 10（ 2014 年）如 圖 ， 在 四 棱 錐abcde中 ， 平 面abc平 面bcde,90cdebed，2abcd,1debe,2ac. () 證明：de平面acd; () 求二面角bade的大小 . 證明：（ ）在直角梯形bcde中，由de=be=1 ， cd=2 ，得bd=bc=2，由2ac， ab=2 得222abacbc，即ac bc ，又平面abc 平面bcde ，從而ac 平面b