用LINGO求解線性規(guī)劃的例子

1、附1:用LINGO求解線性規(guī)劃的例子一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn) A 1、A 2兩種奶制品， 1桶牛奶可以在設備甲上用 12小時加工成 3 公斤 A1， 或者在設備乙上用 8小時加工成4公斤A2。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的 Ai、A2能全部售出，且每公斤 Ai獲利 24元，每公斤A2獲利16元?，F(xiàn)在加工廠每天能得到 50桶牛奶的供應，每天正式工人總的勞動時間為 480 小時，并且設備甲每天至多能加工 100公斤Ai，設備乙的加工能力沒有限制。試為該廠制定一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大，并進一步討論以下3 個附加問題：1 ）若用 35 元可以購買到 1 桶牛奶，應否作這項投資？若投資，每天最多購買多少桶牛奶

2、？2）若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小時幾元？3）由于市場需求變化，每公斤 Ai的獲利增加到30元，應否改變生產(chǎn)計劃？數(shù)學模型：設每天用Xi桶牛奶生產(chǎn)A1，用X2桶牛奶生產(chǎn) A2目標函數(shù)：設每天獲利為z元。Xi桶牛奶可生產(chǎn)3xi公斤A1，獲利24*3xi, x?桶牛奶可生產(chǎn)4*x?公 斤 A2 ，獲利 16*4X 2，故 z=72X1+64X 2約束條件：原料供應：生產(chǎn) Ai、A2的原料（牛奶）總量不超過每天的供應50桶，即Xi+X2 50勞動時間：生產(chǎn) A. A2的總加工時間不超過每天正式工人總的勞動時間480小時，即i2x 1+8X2W 480設備能力： Ai

3、 的產(chǎn)量不得超過設備甲每天的加工能力i00 小時，即3xi< i00非負約束：xi> x2均不能為負值，即 xi > 0, X2> 0綜上所述可得max z=72xi+64x2s.t.xi+x2< 5012xi+8x2 w 4803xi < 100xi >0, X2>0顯然，目標函數(shù)和約束條件都是線性的，這是一個線性規(guī)劃（LP）,求出的最優(yōu)解將給出使凈利潤最大的生產(chǎn)計劃，要討論的問題需要考慮參數(shù)的變化對最優(yōu)解和影響，一般稱為敏感性（或靈敏度）分析。LINGO 求解線性規(guī)劃用 LINGO 求解線性規(guī)劃時，首先在 LINGO 軟件的模型窗口輸入一個

4、LP 模型，模型以 MAX 或 MIN 開始，按線性規(guī)劃問題的自然形式輸入（見下面例子所示） 。以下解加工奶制品的生產(chǎn)計劃問題：由于 LINGO 中已假設所有的變量都是非負的，所以非負約束條件不必輸入； LINGO 也不區(qū)分變量中 的大小寫字符（實際上任何小寫字符將被轉(zhuǎn)換為大寫字符）；約束條件中的“ =”及“ =”可用“”及”代替。在 LINGO 模型窗口輸入如下：max=72*x1+64*x2;x1+x2<=50;12*x1 +8*x2<=480;3*x1<=100;用鼠標單擊菜單中的求解命令（ Solve ）就可以得到解答，結果窗口顯示如下：LP OPTIMUM FOUN

5、D AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1)VARIABLEX1X2ROW2)3)4)NO. ITERATIONS=3360.000VALUE20.00000030.000000SLACK OR SURPLUS0.0000000.00000040.0000002REDUCED COST0.0000000.000000DUAL PRICES 48.000000 2.000000 0.000000計算結果表明：“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2 ”表示單純形法在兩次迭代（旋轉(zhuǎn)）后得到最優(yōu)解?！?OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1

6、） 3360.000 ”表示最優(yōu)目標值為 3360.000（ LINGO 中將目標函數(shù) 自動看作第 1 行，從第二行開始才是真正的約束條件） ?！癡ALUE ”給出最優(yōu)解中各變量（ VARIABLE ）的值： x1=20.000000，x2=30.000000 ?！?REDUCED COST'的含義是（對 MAX 型問題）：基變量的 REDUCED COST 值為0，對于非基變量， 相應的 REDUCED COST 值表示當非基變量增加一個單位時 （其它非基變量保持不變） 目標函數(shù)減少的量。 本例中兩個變量都是基變量?！癝LACK OR SURPLUS '給出松弛（或剩余）變量

7、的值，表示約束是否取等式約束；第 2、第 3 行松 弛變量均為 0，說明對于最優(yōu)解而言，兩個約束均取等式約束；第 4 行松弛變量為 40.000000，說明對于最 優(yōu)解而言，這個約束取不等式約束?！癉UAL PRICES '給出約束的影子價格（也稱為對偶價格）的值：第2、第3、第 4行（約束）對應的影子價格分別 48.000000， 2.000000， 0.000000。“ NO. ITERATIONS=2'表示用單純形法進行了兩次迭代（旋轉(zhuǎn)） 。靈敏度分析，則 LINGO 還會輸出以下結果：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ

8、COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEX172.00000024.000000X264.0000008.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLERHSINCREASE250.00000010.0000003480.00000053.3333324100.000000INFINITY以上顯示的是當前最優(yōu)基（矩陣）保持不變的充分條件（ UNCHANGED ）， 包括目標函數(shù)中決策變量應的系數(shù)的變化范圍 的右端項的變化范圍 （RIGHTHAND SIDE RAN

9、GES ）兩部分。DECREASE8.00000016.000000ALLOWABLEDECREASE6.66666780.00000040.000000RANGES IN WHICH THE BASIS IS ( OBJ COEFFICIENT RANGES ) 和約束前一部分的輸出行X172.00000024.0000008.000000表示決策變量 X1 當前在目標函數(shù)中對應的系數(shù)為 72，允許增加 24 和減少 8。也就是說， 當該系數(shù)在 區(qū)間64， 96上變化時（假設其它條件均不變） ，當前最優(yōu)基矩陣保持不變。對 X2 對應的輸出行也可以類 似地解釋。由于此時約束沒有任何改變，所以最

10、優(yōu)基矩陣保持不變意味著最優(yōu)解不變（當然，由于目標函 數(shù)中的系數(shù)發(fā)生變化，最優(yōu)值還是會變的） 。后一部分的輸出行2 50.000000 10.000000 6.666667表示約束 2 當前右端項為 50，允許增加 10 和減少 6.666667。也就是說，當該系數(shù)在區(qū)間 43.333333 ， 60 上變化時（假設其它條件均不變） ，當前最優(yōu)基矩陣保持不變。對約束3、約束 4 對應的輸出行也可以類似地解釋。由于此時約束已經(jīng)改變，雖然最優(yōu)基矩陣保持不變，最優(yōu)解和最優(yōu)值還是會變的。但是，由于最優(yōu)基矩陣保持不變，所以前面的“ DUAL PRICES ”給出的約束的影子價格此時仍然是有效的。 用 LINGO 求解加工奶制品的生產(chǎn)計劃，結果如下：20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元。1）35 元可買到 1 桶牛奶，要買嗎？由于原料的影子價格為 48， 35 <48, 應