第3講等比數(shù)列及其前n項和

1、魯知識丁住回顧最新考綱考向預(yù)測1理解尋化戳列胡豊忠*韋尋比敢列的11廂公 盍與初“昭崛孌it2.能崔貝律的問朝悄境中VUM散內(nèi)的零比關(guān)耐 卸救列的超爻卻祝解決相謚的何Qt1 了耕吊比股列T冊撿匝過的)t黑一4H©5車踴戲第豪坤比故列的通瑁"禰”陽剛&性龐為主*裁比數(shù)弭的證 明血呈咼巻的烙點本佛內(nèi)容槎胡粵'I1阮町氐燈腥稈IS.取空題的 廉式逬行詈壷"IknfLIUWW的證進和琴査.斡客趣柱往與導(dǎo) 基弦列農(nóng)種.%專戎爭何剋切合智生素養(yǎng)J第3講等比數(shù)列及其前n項和理較町軒理型帝知識、知識梳理1. 等比數(shù)列的有關(guān)概念(1) 定義如果一個數(shù)列從第2項起，每

2、一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個q表示.數(shù)列就叫作等比數(shù)列這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母等比中項如果a、G、b成等比數(shù)列，那么 G叫做a與b的等比中項.即：G是a與b的等比中 項? G2= ab.“a, G , b成等比數(shù)列”是“ G是a與b的等比中項”的充分不必要條件.2. 等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an= aiqn 1na1, q= 1,前 n 項和公式：Sn= a1 (1 qn)a1 anq-=-,qz 1.1 q1 q3. 等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列 an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和(m, n, p, q, r, k N +(1)若 m + n = p

3、+ q= 2r，貝U am - an= ap - aq = ar.(2)數(shù)列am, am + k, am+ 2k, am+ 3k,仍是等比數(shù)列.(3) 數(shù)列Sm, S2m- Sm, S3m S2m ,仍是等比數(shù)列(此時an的公比q工一1). 常用結(jié)論1. 正確理解等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q>1, a1>0或0<q<1, a1<0時, an是遞增數(shù)列;當(dāng)q>1, a1<0或0<q<1, a1>0時， an是遞減數(shù)列;當(dāng)q = 1時，an是常數(shù)列;當(dāng)q = 1時，an是擺動數(shù)列.2 記住等比數(shù)列的幾個常用結(jié)論若an, bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列

4、，則入加(將0), 1，an, an bn,詈仍是 等比數(shù)列.在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an, an+ k, an+ 2k , an+ 3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(3)個等比數(shù)列各項的 k次幕，仍組成一個等比數(shù)列，新公比是原公比的 k次幕.(4) an為等比數(shù)列，若ai a2 - - a n= Tn,則Tn ,辛，g,成等比數(shù)列.ai(5) 當(dāng)q豐0, q1時，Sn= k k qn(k 0)是an成等比數(shù)列的充要條件 ，此時k=-1 q(6) 有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時還等于中間項的平方.二、教材衍化1 在3與192中

5、間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為 解析：設(shè)該數(shù)列的公比為 q,由題意知，192= 3X q3, q3= 64,所以 q = 4.所以插入的兩個數(shù)分別為3X 4 = 12, 12X 4= 48.答案：12, 4812. 已知an是等比數(shù)列，a2= 2, a5 = 4,則公比q =解析:S10 S5S5132因為S5 , S10 S5, S15 S10成等比數(shù)列且公解析：由題意知q3 =匪=1,所以q=；.a2 82答案：123.等比數(shù)列an的首項a1 = 1,前n項和為Sn,若§ =五，則an的通項公式an =1 1 11比為 q5,所以 q5 = 32，q =

6、2，則 an= 1 x -= -1 n-1答案：1走出逞區(qū)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“V”，錯誤的打“x”)(1) 與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列的各項可以是任意一個實數(shù).()(2) 公比q是任意一個常數(shù)，它可以是任意實數(shù). ()三個數(shù)a, b, c成等比數(shù)列的充要條件是b2= ac.()答案：(1)x (2) x (3) x二、易錯糾偏常見誤區(qū)|K (1)忽視項的符號判斷；(2)忽視公比q= 1的特殊情況；忽視等比數(shù)列的項不為 0.1. 在等比數(shù)列an中，a3= 4, a7= 16,則a3與a7的等比中項為 .解析：設(shè)a3與a7的等比中項為 G ,因為a3 = 4, a7= 16,所以G2=

7、4x 16= 64,所以G =±8.答案：拐2. 數(shù)列an的通項公式是an= an(a豐0)，則其前n項和Sn=解析:因為a0, an= an,所以an是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列.當(dāng) a = 1時,Sn= n;當(dāng)a (1 an)a工1時Sn =答案:3.已知n, a= 1,a (1 an)c ,1a ，a 工 0，護 1x, 2x+ 2, 3x+ 3是一個等比數(shù)列的前三項，貝Ux的值為解析：因為x, 2x+ 2, 3x+ 3是一個等比數(shù)列的前三項，所以(2x+ 2)2= x(3x+ 3),即 x2 + 5x+ 4= 0,解得x= 1或x= 4.當(dāng)x = 1時，數(shù)列的前三項為一1

8、 , 0, 0,不是等比數(shù)列，舍去.答案：4考點H等比數(shù)列基本量的運算(師生共研)I (1)(2019高考全國卷 川)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15,且a5= 3a3 + 4ai，貝U a3=()A. 16B. 8C. 4D. 2(2)等比數(shù)列an中，a1= 1, a5= 4a3. 求an的通項公式； 記Sn為an的前n項和.若Sm= 63，求m.【解】選C.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a5= 3a3+ 4a1得q4= 3q2+ 4,得q2= 4,因為數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以q =2,又a1+a2+a3+a4=a1(1+ q+ q2 + q3)=a1(1 + 2+ 4 +

9、8)= 15,所以 a1= 1,所以 a3= a1q2= 4.(2)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an= qn1.由已知得q4= 4q2,解得q= 0(舍去)或q= 2或q= 2.故 an= ( 2)n 1 或 an= 2n 1.若 an= ( 2)n 1，則 Sn =1( 2)3_n-由 Sm = 63 得(2)m = 188,此方程沒有正整數(shù)解.若 an= 2n 1,則 Sn = 2n 1.由 Sm= 63 得 2m= 64,解得 m= 6.綜上，m = 6.解決等比數(shù)列有關(guān)問題的2種常用思想方程的思想等比數(shù)列中有五個量a1, n, q, an, Sn, 一般可以知一求一，通過列方程(組)求關(guān)

10、鍵量a1和q,冋題可迎刃而解分類討論的思想等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比 q的分類討論，當(dāng)q= 1 時，an的前n項和 3= na1 ;當(dāng)q豐1時，an的前n項和Sna1 (1 qn)a1 anq1 q1 q1 21.（一題多解）（2019高考全國卷I ）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若ai = 3，a a6, 則 S5=.解析：通解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為a4= a6,所以（aiq3）2= aiq5,所以aiq= 1,1又a1 = 3,所以q = 3,1齊(1 - 35)1-31211優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為a2= a6,所以a2a6= a6,所以a2= 1,又a1=

11、 3,1a1 (1 - q5)3X (1 - 35)所以q= 3,所以S5=答案:1211213 .1-q1 - 32.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn, a1 = - 1, b1= 1, a2 + b2 = 2.(1)若a3+ b3= 5,求bn的通項公式；若T3= 21,求S3.解：設(shè)an的公差為d, bn的公比為q,則an=- 1 + (n 1)d, bn= qn-1由 a2+ b2= 2 得 d+ q = 3.(1) 由 a3+ b3= 5 得 2d + q2= 6.d = 3,d= 1,聯(lián)立和解得(舍去),q= 0q= 2.因此bn的通項公式為 bn=

12、2n-1.(2)由 b1= 1 , T3= 21 得 q2+ q 20= 0, 解得q= - 5或q = 4.當(dāng)q = - 5時，由得d= 8,貝U S3 = 21. 當(dāng)q = 4時，由得d=- 1,貝U S3 = -6.考點等比數(shù)列的判定與證明（師生共研）例2 （2018咼考全國卷I ）已知數(shù)列an滿足ai= 1, nan+1 = 2（n+1）an.設(shè)bn=.求 b1, b2, b3；判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；求an的通項公式.2 （n + 1）【解】（1）由條件可得an+ 1=an.n將n = 1代入得，a2= 4a1,而 a1= 1,所以，a2= 4.將n = 2代入得，a

13、3= 3a2,所以，a3= 12.從而 b1= 1, b2= 2, b3 = 4.（2） bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.an+ 12an由條件可得=n + 1二 ? n即 bn+ 1 = 2bn ,又b1= 1,所以bn是首項為1 ,公比為2的等比數(shù)列.（3）由（2）可得 an= 2ni,所以 an= n 2n1.113等比數(shù)列的4種常用判定方法定義法an+1an右a = q（q為非零常數(shù),n N+）或=q（q為非零常數(shù)且n2,anan-1n N+）,則an是等比數(shù)列中項公式法右數(shù)列 an中，an0且a2+1 an an + 2（n N+）,則數(shù)列 an是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列通項公式

14、可寫成an= cqn-1（c, q均是不為0的常數(shù)，n N+）,則an是等比數(shù)列前n項和若數(shù)列 an的前n項和Sn= k qn- k（k為常數(shù)且0, q丸，1）,公式法則an是等比數(shù)列提醒(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定.若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.1 .已知數(shù)列an的前 n項和為 Sn, ai= 1, Sn+i= 4an+ 2(n N*),若 bn= an+1 -2an,求 證：bn是等比數(shù)列.證明：因為 an + 2 = Sn + 2 Sn+ 1 = 4an + 1 + 2 4an- 2=

15、 4an + 1 4an,bn + 1 an+ 2 2an+ 1 4an + 1 4an 2an+ 1所以 =bnan + 1 2anan+1 2an2an+1 4an= =2.an+1 2an因為 S2= a1 + a2= 4a1 + 2,所以 a2= 5.所以 b1= a2 2a1 = 3.所以數(shù)列bn是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.2.已知數(shù)列an的前n項和為 3,且Sn= 2an 3n(n N+).(1)求 a1, a2, a3 的值；是否存在常數(shù) 人使得an+莎為等比數(shù)列？若存在，求出入的值和通項公式 an,若不存在，請說明理由.解：(1)當(dāng) n= 1 時，S = a1 = 2a1

16、3,解得 a1 = 3,當(dāng) n = 2 時，S2= a1+ a2= 2a2 6,解得 a2= 9,當(dāng) n = 3 時，S3= a1+ a2+ a3= 2a3 9,解得 a3= 21.假設(shè)an + %是等比數(shù)列,則(a2 +片2= (a1 + /)(a3 +為,即(9 + ?)2= (3 +為(21 + ?),解 得 %= 3.下面證明an+ 3為等比數(shù)列：因為 Sn= 2an 3n,所以 Sn+1 = 2an +1 3n 3,所以 an+1 = Sn+1 Sn= 2an+1 2an 3, 即 2an+ 3 = an+1,an+1 + 3所以 2(an+ 3) = an+1+ 3,所以=2,an

17、+ 3所以存在 匸3,使得數(shù)列an+ 3是首項為ai+ 3 = 6,公比為2的等比數(shù)列.所以 an+ 3 = 6 x 2nT ,即 an= 3(2n 1)(n N+).老占曰等比數(shù)列的性質(zhì)(多維探究)角度一等比數(shù)列項的性質(zhì)t I (1)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且aioaii+ a9ai2= 2e5，貝V In ai+ ln a2+ In a20 =.等比數(shù)列an的前 n 項和為 3,若 an>O,q>i, a3+ a5= 20, a2a6= 64,則 S5=.【解析】因為 aioaii+ a9ai2= 2aioaii = 2e5,所以 aioaii = e5.所以 ln ai

18、+ ln a2 + + ln a2o=In (aia2 a2o)=ln(aia20) (a2ai9)(aioaii)10=ln (aioaii)= i0l n( aioaii)=i0ln e5= 50ln e = 50.a3 + a5= 20,(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5= a2a6= 64,于是由且an>0, q>i,得a3a3a5= 64,aiq2= 4,ai = i,i x (i 25)=4, a5= i6,所以解得所以S5= 3i.aiq4= i6,q= 2.i 2【答案】(i)50 (2)3i角度二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(i)( 一題多解)等比數(shù)列an中，前n項和為

19、48，前2n項和為60,則其前3n項和為.數(shù)列an是一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和是偶數(shù)項之和的4倍，前三項之積為64,則此數(shù)列的通項公式為an=.【解析】法一：設(shè)數(shù)列an的前n項和為S.因為 S2n#2Sn ,所以qM i,由前n項和公式得1i-qai (1 -q2n)=60,i-q5十，得1 + qn= 5,1所以qn= 將將入，得社=64.所以 S3n=刊("=64 X1-q11 4 = 63.法二：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,因為an為等比數(shù)列，所以Sn， S2n- Sn， S3n- S2n也成等比數(shù)列，所以(S2n Sn)2 = Sn (S3n S2n),(S2n-S

20、n) 2( 60 - 48) 2即 S3n=+ S2n=+ 60= 63.Sn48法三：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,因為 S2n= Sn+ qnSn ,所以qn=S2n Sn1Sn= 4,所以S3n= S2n+ q1"Sn= 60+ 12X 48= 63.設(shè)此數(shù)列an的公比為q, 由題意,知S奇+ S偶=4S偶, 所以S奇=3S偶,S禺1所以q=S：= 1 又 a1a2a3= 64,即 a1(a1q)(a1q2) = a3q3= 64, 所以 aiq = 4.又 q = 3，所以 ai= 12,1 n T 所以 an= aiqni= 12 x 3.1 n 1【答案】(1)6312 x

21、 3等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類 (1)通項公式的變形.等比中項的變形.(3) 前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.提醒在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.I(題多解)已知等比數(shù)列an滿足 a1 = 4 a3a5= 4(a4 1),則 a2=()A. 2B. 11C.11D. 1解析：選 C.法 ：因為 a3a5= a4, a3a5= 4(a4 1),所以 a4 = 4(a4 1),所以 a4 4a4 + 4 = 0,所以a4= 2.又因為q3 = =

22、 2 = 8,a1 14所以 q= 2,所以 a2= a1q = 丁x 2= 丁,故選 C.法二： 因為 a3a5= 4(a4 1), 所以 a1q2 a1q4= 4(a1q3 1),將a1 = 4代入上式并整理，得q6 16q3+ 64= 0,1解得q= 2,所以a2= a1q = ?,故選C.窗自目曰數(shù)列與數(shù)學(xué)文化及實際應(yīng)用1. 等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化駛'（2020陜西漢中二模）我國古代名著九章算術(shù)中有這樣一段話：“今有金箠， 長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：現(xiàn)有一根金箠，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤若該金箠從頭到尾，每一尺的質(zhì)量構(gòu)成等差數(shù)列，則該 金

23、箠共重（）A . 6斤B . 7斤C. 9 斤D . 15 斤【解析】 設(shè)從頭到尾每一尺的質(zhì)量構(gòu)成等差數(shù)列an,則有a1= 4, a5= 2,所以a1a1 + a5+ a5= 6,數(shù)列an的前5項和為Ss= 5X = 5X 3= 15,即該金 箠共重15斤.故選D.【答案】 D園OE3陽是會脫去數(shù)學(xué)文化的背景，讀懂題以數(shù)學(xué)文化為背景的等差數(shù)列模型題的求解關(guān)鍵:意；二是構(gòu)建模型，即由題意構(gòu)建等差數(shù)列的模型；三是解模,即把文字語言轉(zhuǎn)化為求等差數(shù)列的相關(guān)問題，如求指定項、公差或項數(shù)、通項公式或前n項和等.2. 等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化停（2020湖南衡陽三模）中國古代數(shù)學(xué)名著 九章算術(shù)中有如下問題.今有牛

24、、馬、 羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰 償之，問各出幾何？此問題的譯文如下：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠"我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中,斗為10升，則償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:所以馬主人應(yīng)償還粟的量為a2= 2a1 =100,故選D.馬主人應(yīng)償還的粟（單位：升）為（）255031007【解析】 5斗=50升.設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還粟的量分別為a1,a2, a3,由題意a1 （1-23） 可知a1, a2, a3構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列

25、，且S3 = 50,則50,解得a1=50=7，1 2【答案】Dpi以數(shù)學(xué)文化為背景的等比數(shù)列模型題的求解關(guān)鍵：一是會透過數(shù)學(xué)文化的“表象”看“本質(zhì)”；二是構(gòu)建模型，即盯準題眼，構(gòu)建等比數(shù)列的模型；三是解模，即把文字語言轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的相關(guān)問題 ，如求指定項、公比或項數(shù)、通項公式或前n項和等.3. 遞推數(shù)列與數(shù)學(xué)文化凹二(2020北京市石景山區(qū) 3月模擬)九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎丹鉛總錄記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一.”在某種玩法中，用an表示解下n(nw 9, n N+)2an-1 -1, n為偶數(shù)，個

26、圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，數(shù)列an滿足ai= 1，且an=貝懈下42an-1 + 2, n為奇數(shù)，個環(huán)所需的最少移動次數(shù)a4為()A . 7B.10C. 12D.222an-1 -1, n為偶數(shù)，【解析】 因為數(shù)列an滿足a1= 1,且an=所以a2 = 2a1- 1 = 22an-1+ 2, n為奇數(shù),1 = 1,所以 a3= 2a2+ 2= 2x 1 + 2= 4,所以 a4= 2a3- 1 = 2X4- 1 = 7故選 A.【答案】 AE以數(shù)學(xué)文化為背景的已知遞推公式的數(shù)列模型的求解關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題,只有弄清題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行解答,“盯緊”題目條件中的遞推公式

27、，利用此遞推公式往要求的量轉(zhuǎn)化，如本題，剝?nèi)?shù)學(xué)文化背景，實質(zhì)就是已知a1= 1,且an2an-1 - 1, n為偶數(shù)，=求a4的問題.2an-1 + 2, n為奇數(shù),4. 周期數(shù)列與數(shù)學(xué)文化例13 (2020山東臨沂三模)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,即 F(1) = F(2) = 1, F(n) = F(n- 1) + F(n-2)(n> 3, n N+).此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列an，則數(shù)列an的前2 019項的和為()A . 672B

28、 . 673C. 1 346D. 2 019【解析】由于an是數(shù)列1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,各項除以2的余數(shù)，故an為 1, 1, 0, 1 , 1, 0, 1 , 1 , 0, 1，所以an是周期為3的周期數(shù)列，且一個周期中的三項之和為1 + 1 + 0= 2.因為 2 019= 673X 3,所以數(shù)列an的前2 019項的和為673X 2= 1 346.故選C.【答案】 C,建立數(shù)學(xué)模型，并會適時脫以數(shù)學(xué)文化為背景的周期數(shù)列模型題的求解關(guān)鍵是細審題去背景，如本題，脫去背景，實質(zhì)是利用斐波那契數(shù)列的各項除以2的余數(shù)的特征，得出新 數(shù)列的周期性，進而求

29、出結(jié)果.5. 數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用訶i -私家車具有申請報廢制度一車主購買車輛時花費15萬，每年的保險費、路橋費、汽油費等約1.5萬元，每年的維修費是一個公差為3 000元的等差數(shù)列，第一年維修費為3 000元，則該車主申請車輛報廢的最佳年限(使用多少年的年平均費用最少)是年.【解析】設(shè)這輛汽車報廢的最佳年限為n年，第n年的費用為an,則an= 1.5+ 0.3n.前 n 年的總費用為 Sn= 15+ 1.5n+ 號(0.3 + 0.3n)= 0.15n2+ 1.65n+ 15,年平均費用：詈=0.15n+ 15 + 1.65>20.15nX 15+ 1.65 = 4.65,當(dāng)且僅當(dāng)

30、0.15n = 5,即 n= 10 時，年平均費用 Snnn'nn取得最小值所以這輛汽車報廢的最佳年限是10年.【答案】10數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實問題進行抽象,用數(shù)學(xué)語言表達和解決實際問題的過程.有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，是讓學(xué)生能夠在實際情境中,用數(shù)學(xué)的思想分析數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)的語言表達數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)的知識得到數(shù)列模型,用數(shù)列的方法得到結(jié)論，驗證數(shù)學(xué)結(jié)論與實際問題的相符程度，最終得到符合實際規(guī)律的結(jié)果.龍高效分層基礎(chǔ)題組練1. (2020江西宜春一模)在等比數(shù)列an中，aia3= a4= 4,貝U a6的所有可能值構(gòu)成的集合是()A . 6B. 8, 8C. 8D. 8解析：選 D.因為 a

31、ia3= a2 = 4, a4= 4,所以 a2= 2,所以 q2= = 2,所以 a6= a2q4= 2 x 4 =8,故a6的所有可能值構(gòu)成的集合是 8,故選D.2. 在等比數(shù)列an中，如果 ai+ a2= 40, a3+ a4= 60,那么 a7+ a8=（）A . 135B. 100C. 95D. 80解析：選A.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知，ai+ a2, a3 + a4, a5 + a6, a7 + a8成等比數(shù)3列，其首項為40,公比為60= 3,所以a7 + a8 = 40x | = 135.3. （2020山西3月高考考前適應(yīng)性測試 ）正項等比數(shù)列an中，a1a5 + 2a3a

32、7+ a5a9= 16, 且a5與a9的等差中項為4,則an的公比是（）A . 1B. 2C子D . .2解析：選D.設(shè)公比為q,由正項等比數(shù)列an中，a1a5 + 2a3a7+ a5a9= 16,可得a3+ 2a3a7+ a2= (a3 + a7)2= 16,即a3+a7= 4,由a5 與a9的等差中項為 4,得 a5 +a9= 8,貝Uq2(a3 + a7) =4q2= 8,則q =邁（舍負）,故選D.4. （2020湘贛十四校第二次聯(lián)考）中國古代著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三 百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請 公仔細算相還.”其意思為：

33、有一個人走 378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問最后一天走了（）A . 6 里B . 12 里C. 24 里D. 96 里解析：選A.由題意可得，每天行走的路程構(gòu)成等比數(shù)列，記作數(shù)列an,設(shè)等比數(shù)列an1 a1 （1 q6）1 5的首項為a1,公比為q,則q = 2，依題意有=378，解得a1= 192,則a6= 192x （2）52 1 q2=6,最后一天走了 6里，故選A.5. 個等比數(shù)列的前三項的積為3,最后三項的積為 9,且所有項的積為 729,則該數(shù)列的項數(shù)是（）A. 13B. 12 C. 11D. 10解析：選B.設(shè)該等比

34、數(shù)列為an，其前n項積為Tn,則由已知得a1 a2 a3= 3, an 2 an1 an=9, (a1an)3= 3x 9 = 33,所以a1an = 3,又 Tn= a1a2an-1an= anan 1 a2a1,所以 T2 = an)n,即 7292= 3n,所以 n = 12.6. （2020黃岡模擬）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為 3,且a1a6= 2a3, a4與2a6的3等差中項為3,則S5=解析：設(shè) an的公比為q（q>0）,因為a1a6= 2a3, 而 a1a6= a3a4, 所以a3a4= 2a3,所以a4= 2.又 a4+ 2a6 = 3,所以a6= 2,所以q=

35、2,a1= 16,所以 S5=161 (1) 531.答案：317. (一題多解)已知an為等比數(shù)列，a4 + a7= 2, a5a6= 8,貝U a1+ a10=.36a4+ a7= a1q3+ a1q6= 2, 解析：法一：設(shè)數(shù)列an的公比為q，則由題意得所以a5a6= ag4x a1q5= a1q（2020安徽安慶模擬）數(shù)列an滿足：an+1=入n1（n N + ,入 R且 存0），若數(shù)列an 1是等比數(shù)列，則 入的值為.2 解析：由外+1 =入n 1,得an+1 1 =入n 2 =入an）.由于數(shù)列an 1是等比數(shù)列，= 8,3q = 2,q3 =1a1 = 1a1 =2, 所以 a1

36、+ a10= a1(1 + q9)= 7.8,a4 + a7= 2, 法二：由a5a6= a4a7= 8,a4= 2,a4 = 4,解得或a7 = 4a7= 2.q3= 2,3 1q = 2所以或所以 a1 + a10= a1(1 + q9) = 7a1 = 1a1 = 8,答案:7所以= 1 ,得入=2.答案：29. 已知數(shù)列an的前n項和Sn= 1+入n,其中 將0.(1)證明 an是等比數(shù)列，并求其通項公式;31若S5= 32，求入解：(1)證明：由題意得a1= S1= 1+入1,存1, a1=士 故a1M0.Sn= 1 + 入 n, Sn+ 1 = 1 + 入 n + 1 得 an+1

37、 =入 n+1 入 n,an+1( 11)=入 aaiMO,入工0 得 an0,an+ 1入所以=二1因此an是首項為,1入公比為亡的等比數(shù)列1_丄 n 1于是an=二門入(2)由(1)得 Sn= 1 口31S5= 32 得 1531 日口=32即=32.解得入1.10. (2019高考全國卷n )已知數(shù)列an和bn滿足ai= 1,bi = 0, 4an+1 = 3an bn + 4,4bn +1 = 3bn an 4.(1)證明：an+ bn是等比數(shù)列，an bn是等差數(shù)列;求an和bn的通項公式.解：(1)證明： 由題設(shè)得 4(an+ 1 + bn+1)= 2(an+ bn),即 an+

38、1+ bn+1 = (an+ bn).1又因為a1+ b1= 1,所以an+ bn是首項為1,公比為步的等比數(shù)列.由題設(shè)得 4(an+ 1 bn +1)= 4(an bn) + 8,即 an+ 1 bn+ 1 = an bn + 2.又因為a1 b1= 1,所以an bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.由(1)知，an+ 5 =十,an bn= 2n 1.、 1 1 1所以 an= 2【(an+ bn) + (an bn) = ?n+ n 2,1 1 1 bn = 2【(an+ bn) (an bn)=尹一n +綜合題組練1.已知等比數(shù)列an中a2= 1,則其前3項的和S3的取值范圍是（）(-

39、m，- 1(g, 0) U 1 ,+s )C.3,+g )( g, 1 U 3 ,+g )解析：選D.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則 S3= a1+ a2+ a3= a2(+ 1 + q)= 1 + q +1q q當(dāng)公比q>0時，S3 = 1+ q+1 > 1 + 2-，1= 3,當(dāng)且僅當(dāng)q = 1時，等號成立;當(dāng)公比 q<0 時，S3= 1 ( q弓< 1 2". ( q) ( 1 )= 1,當(dāng)且僅當(dāng) q = 1 時, 等號成立.所以 S3 ( g, 1 U 3 , +g).2.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1, 令 bn= an+ 1（n = 1

40、, 2,），若數(shù)列bn有連 續(xù)四項在集合 53, 23, 19, 37, 82中，貝U q等于（）C. 3解析：選 C.bn有連續(xù)四項在 53, 23, 19, 37, 82中且 bn = an + 1.an= bn 1,則 an有連續(xù)四項在 54, 24, 18, 36, 81 中.因為an是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項，則q<0 ,且負數(shù)項為相隔兩項，所以等比 數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減.按絕對值的順序排列上述數(shù)值18, 24, 36, 54, 81,24436相鄰兩項相除右=-3 3'2, 36= 2,= 2 則可得24, 36, 54,2362 一 5422'81是an中連續(xù)的四項.32q= 2或q = 3（因為|q|>1,所以此種情況應(yīng)舍）,3 所以q= 2.故選C.3在遞增的等比數(shù)列an中，已知ai + an = 34, a3 an-2= 64,且前n項和Sn= 42,則n=解析：因為an為等比數(shù)列，所以 a3 an 2=